Theorem fvprmselelfz 16998

Description: The value of the prime selection function is in a finite sequence of integers if the argument is in this finite sequence of integers. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselelfz	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselelfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
4	2, 3	ifbieq1d 4548	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
5		iftrue 4530	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	4, 6	sylan9eqr 2789	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
8		elfznn 13548	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	1, 7, 10, 10	fvmptd2 7007	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
12		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ (1...𝑁))
13	11, 12	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))
14		iffalse 4533	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
16	4, 15	sylan9eqr 2789	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
17	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
18		1nn 12239	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
20	1, 16, 17, 19	fvmptd2 7007	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) = 1)
21		elnnuz 12882	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
22		eluzfz1 13526	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ (1...𝑁))
26	20, 25	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))
27	13, 26	pm2.61ian 811	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11125  ℕcn 12228  ℤ_≥cuz 12838  ...cfz 13502  ℙcprime 16627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503

This theorem is referenced by: (None)