Theorem fvprmselelfz 17100

Description: The value of the prime selection function is in a finite sequence of integers if the argument is in this finite sequence of integers. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselelfz	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselelfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2		eleq1 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
3		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
4	2, 3	ifbieq1d 4514	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
5		iftrue 4495	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
6	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	4, 6	sylan9eqr 2826	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
8		elfznn 13577	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	8	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	1, 7, 10, 10	fvmptd2 6996	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
12		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ (1...𝑁))
13	11, 12	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))
14		iffalse 4498	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
16	4, 15	sylan9eqr 2826	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
17	9	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
18		1nn 12240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
20	1, 16, 17, 19	fvmptd2 6996	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) = 1)
21		elnnuz 12898	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
22		eluzfz1 13555	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
24	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
25	24	adantl 486	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ (1...𝑁))
26	20, 25	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))
27	13, 26	pm2.61ian 823	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ifcif 4489   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1c1 11097  ℕcn 12229  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532

This theorem is referenced by: (None)