Theorem fvprmselelfz 17091

Description: The value of the prime selection function is in a finite sequence of integers if the argument is in this finite sequence of integers. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselelfz	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselelfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
4	2, 3	ifbieq1d 4572	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
5		iftrue 4554	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	4, 6	sylan9eqr 2802	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
8		elfznn 13613	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	1, 7, 10, 10	fvmptd2 7037	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
12		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ (1...𝑁))
13	11, 12	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))
14		iffalse 4557	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
16	4, 15	sylan9eqr 2802	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
17	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
18		1nn 12304	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
20	1, 16, 17, 19	fvmptd2 7037	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) = 1)
21		elnnuz 12947	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
22		eluzfz1 13591	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ (1...𝑁))
26	20, 25	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))
27	13, 26	pm2.61ian 811	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ifcif 4548   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185  ℕcn 12293  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by: (None)