Theorem elfznn 13593

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13564	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13567	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12643	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  1c1 11156   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  elfz1end  13594  fz1ssnn  13595  bcm1k  14354  bcpasc  14360  seqcoll  14503  pfxfv0  14730  pfxfvlsw  14733  isercolllem2  15702  isercolllem3  15703  isercoll  15704  sumeq2ii  15729  summolem3  15750  summolem2a  15751  fsum  15756  sumz  15758  fsumconst  15826  o1fsum  15849  binomlem  15865  incexc2  15874  climcndslem1  15885  climcndslem2  15886  climcnds  15887  harmonic  15895  arisum2  15897  trireciplem  15898  pwdif  15904  geo2sum  15909  geo2lim  15911  prodeq2ii  15947  prodmolem3  15969  prodmolem2a  15970  fprod  15977  prod1  15980  fprodfac  16009  fprodconst  16014  risefallfac  16060  risefacfac  16071  fallfacval4  16079  bpolydiflem  16090  rpnnen2lem10  16259  fzm1ndvds  16359  pwp1fsum  16428  lcmflefac  16685  prmdvdsbc  16763  phicl  16806  prmdivdiv  16824  pcfac  16937  pcbc  16938  prmreclem2  16955  prmreclem3  16956  prmreclem4  16957  prmreclem5  16958  prmreclem6  16959  prmrec  16960  4sqlem13  16995  vdwlem2  17020  vdwlem3  17021  vdwlem10  17028  vdwlem12  17030  prmocl  17072  prmop1  17076  fvprmselelfz  17082  fvprmselgcd1  17083  prmolefac  17084  prmodvdslcmf  17085  prmgapprmo  17100  mulgnngsum  19097  mulgnnsubcl  19104  mulgnn0z  19119  mulgnndir  19121  oddvdsnn0  19562  odnncl  19563  gexcl3  19605  efgsres  19756  mulgnn0di  19843  gsumconst  19952  srgbinomlem4  20226  freshmansdream  21593  chfacfscmulgsum  22866  chfacfpmmulgsum  22870  chfacfpmmulgsum2  22871  cayhamlem1  22872  cpmadugsumlemF  22882  lebnumii  24998  ovollb2lem  25523  ovolunlem1a  25531  ovoliunlem1  25537  ovoliunlem2  25538  ovoliun2  25541  ovolscalem1  25548  ovolicc2lem4  25555  voliunlem1  25585  volsup  25591  ioombl1lem4  25596  uniioovol  25614  uniioombllem3a  25619  uniioombllem3  25620  uniioombllem4  25621  uniioombllem5  25622  uniioombllem6  25623  dvply1  26325  aaliou3lem5  26389  aaliou3lem6  26390  dvtaylp  26412  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  pserdvlem2  26472  logfac  26643  atantayl  26980  birthdaylem2  26995  emcllem1  27039  emcllem2  27040  emcllem3  27041  emcllem5  27043  emcllem7  27045  harmoniclbnd  27052  harmonicubnd  27053  harmonicbnd4  27054  fsumharmonic  27055  lgamcvg2  27098  gamcvg2lem  27102  wilthlem1  27111  wilthlem2  27112  ftalem5  27120  basellem1  27124  basellem8  27131  chpf  27166  efchpcl  27168  chpp1  27198  chpwordi  27200  prmorcht  27221  dvdsflf1o  27230  dvdsflsumcom  27231  chtlepsi  27250  fsumvma2  27258  pclogsum  27259  vmasum  27260  logfac2  27261  chpval2  27262  chpchtsum  27263  logfaclbnd  27266  logexprlim  27269  logfacrlim2  27270  pcbcctr  27320  bposlem1  27328  bposlem2  27329  lgscllem  27348  lgsval2lem  27351  lgsval4a  27363  lgsneg  27365  lgsdir  27376  lgsdilem2  27377  lgsdi  27378  lgsne0  27379  lgsqrlem2  27391  lgseisenlem1  27419  lgseisenlem2  27420  lgseisenlem3  27421  lgseisenlem4  27422  lgseisen  27423  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  lgsquadlem3  27426  2lgslem1a1  27433  chebbnd1lem1  27513  vmadivsum  27526  vmadivsumb  27527  rplogsumlem2  27529  dchrisum0lem1a  27530  rpvmasumlem  27531  dchrisumlem2  27534  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem1  27539  dchrvmasum2lem  27540  dchrvmasum2if  27541  dchrvmasumlem2  27542  dchrvmasumlem3  27543  dchrvmasumiflem1  27545  dchrvmasumiflem2  27546  dchrisum0fno1  27555  rpvmasum2  27556  dchrisum0re  27557  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem1  27560  dchrisum0lem2a  27561  dchrisum0lem2  27562  dchrisum0lem3  27563  dchrisum0  27564  dchrmusumlem  27566  dchrvmasumlem  27567  rplogsum  27571  mudivsum  27574  mulogsumlem  27575  mulogsum  27576  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  mulog2sumlem3  27580  vmalogdivsum2  27582  vmalogdivsum  27583  2vmadivsumlem  27584  log2sumbnd  27588  selberglem1  27589  selberglem2  27590  selberglem3  27591  selberg  27592  selbergb  27593  selberg2lem  27594  selberg2  27595  selberg2b  27596  chpdifbndlem1  27597  logdivbnd  27600  selberg3lem1  27601  selberg3lem2  27602  selberg3  27603  selberg4lem1  27604  selberg4  27605  pntrsumo1  27609  pntrsumbnd  27610  pntrsumbnd2  27611  selbergr  27612  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntsf  27617  pntsval2  27620  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntpbnd2  27631  pntlemf  27649  pntlemk  27650  pntlemo  27651  eucrct2eupth  30264  dipcl  30731  dipcn  30739  esumpcvgval  34079  esumpmono  34080  esumcvg  34087  esumcvgsum  34089  eulerpartlemgc  34364  ballotlemfc0  34495  ballotlemfcc  34496  ballotlemic  34509  ballotlem1c  34510  ballotlemsel1i  34515  ballotlemsf1o  34516  erdszelem4  35199  erdszelem8  35203  erdsze2lem2  35209  cvmliftlem2  35291  cvmliftlem6  35295  cvmliftlem8  35297  cvmliftlem9  35298  cvmliftlem10  35299  bcprod  35738  faclim  35746  poimirlem6  37633  poimirlem7  37634  poimirlem8  37635  poimirlem9  37636  poimirlem11  37638  poimirlem13  37640  poimirlem14  37641  poimirlem15  37642  poimirlem16  37643  poimirlem17  37644  poimirlem18  37645  poimirlem22  37649  poimirlem32  37659  mblfinlem2  37665  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1  42077  aks4d1p3  42079  aks4d1p4  42080  aks4d1p5  42081  aks4d1p6  42082  aks4d1p7d1  42083  aks4d1p7  42084  aks4d1p8  42088  aks4d1p9  42089  primrootlekpowne0  42106  hashscontpow1  42122  hashscontpow  42123  sticksstones1  42147  sticksstones2  42148  sticksstones3  42149  sticksstones6  42152  sticksstones7  42153  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  sticksstones12  42159  metakunt1  42206  metakunt2  42207  metakunt6  42211  metakunt7  42212  metakunt8  42213  metakunt9  42214  metakunt11  42216  metakunt15  42220  metakunt16  42221  metakunt21  42226  metakunt22  42227  metakunt27  42232  metakunt29  42234  metakunt30  42235  oddnumth  42345  nicomachus  42346  sumcubes  42347  eldioph3b  42776  diophin  42783  diophun  42784  eldiophss  42785  irrapxlem4  42836  sumnnodd  45645  stoweidlem34  46049  wallispilem4  46083  wallispi  46085  wallispi2lem1  46086  wallispi2  46088  stirlinglem5  46093  stirlinglem7  46095  stirlinglem10  46098  stirlinglem12  46100  fourierdlem83  46204  fourierdlem112  46233  caratheodorylem2  46542  hoidmvlelem2  46611  hoidmvlelem3  46612  stgrusgra  47926  isubgr3stgrlem7  47939  altgsumbcALT  48269  nn0sumshdiglemA  48540  nn0sumshdiglemB  48541