Theorem elfznn 13589

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13560	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13563	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12640	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  1c1 11153   ≤ cle 11293  ℕcn 12263  ℤcz 12610  ...cfz 13543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544

This theorem is referenced by:  elfz1end  13590  fz1ssnn  13591  bcm1k  14350  bcpasc  14356  seqcoll  14499  pfxfv0  14726  pfxfvlsw  14729  isercolllem2  15698  isercolllem3  15699  isercoll  15700  sumeq2ii  15725  summolem3  15746  summolem2a  15747  fsum  15752  sumz  15754  fsumconst  15822  o1fsum  15845  binomlem  15861  incexc2  15870  climcndslem1  15881  climcndslem2  15882  climcnds  15883  harmonic  15891  arisum2  15893  trireciplem  15894  pwdif  15900  geo2sum  15905  geo2lim  15907  prodeq2ii  15943  prodmolem3  15965  prodmolem2a  15966  fprod  15973  prod1  15976  fprodfac  16005  fprodconst  16010  risefallfac  16056  risefacfac  16067  fallfacval4  16075  bpolydiflem  16086  rpnnen2lem10  16255  fzm1ndvds  16355  pwp1fsum  16424  lcmflefac  16681  prmdvdsbc  16759  phicl  16802  prmdivdiv  16820  pcfac  16932  pcbc  16933  prmreclem2  16950  prmreclem3  16951  prmreclem4  16952  prmreclem5  16953  prmreclem6  16954  prmrec  16955  4sqlem13  16990  vdwlem2  17015  vdwlem3  17016  vdwlem10  17023  vdwlem12  17025  prmocl  17067  prmop1  17071  fvprmselelfz  17077  fvprmselgcd1  17078  prmolefac  17079  prmodvdslcmf  17080  prmgapprmo  17095  mulgnngsum  19109  mulgnnsubcl  19116  mulgnn0z  19131  mulgnndir  19133  oddvdsnn0  19576  odnncl  19577  gexcl3  19619  efgsres  19770  mulgnn0di  19857  gsumconst  19966  srgbinomlem4  20246  freshmansdream  21610  chfacfscmulgsum  22881  chfacfpmmulgsum  22885  chfacfpmmulgsum2  22886  cayhamlem1  22887  cpmadugsumlemF  22897  lebnumii  25011  ovollb2lem  25536  ovolunlem1a  25544  ovoliunlem1  25550  ovoliunlem2  25551  ovoliun2  25554  ovolscalem1  25561  ovolicc2lem4  25568  voliunlem1  25598  volsup  25604  ioombl1lem4  25609  uniioovol  25627  uniioombllem3a  25632  uniioombllem3  25633  uniioombllem4  25634  uniioombllem5  25635  uniioombllem6  25636  dvply1  26339  aaliou3lem5  26403  aaliou3lem6  26404  dvtaylp  26426  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  pserdvlem2  26486  logfac  26657  atantayl  26994  birthdaylem2  27009  emcllem1  27053  emcllem2  27054  emcllem3  27055  emcllem5  27057  emcllem7  27059  harmoniclbnd  27066  harmonicubnd  27067  harmonicbnd4  27068  fsumharmonic  27069  lgamcvg2  27112  gamcvg2lem  27116  wilthlem1  27125  wilthlem2  27126  ftalem5  27134  basellem1  27138  basellem8  27145  chpf  27180  efchpcl  27182  chpp1  27212  chpwordi  27214  prmorcht  27235  dvdsflf1o  27244  dvdsflsumcom  27245  chtlepsi  27264  fsumvma2  27272  pclogsum  27273  vmasum  27274  logfac2  27275  chpval2  27276  chpchtsum  27277  logfaclbnd  27280  logexprlim  27283  logfacrlim2  27284  pcbcctr  27334  bposlem1  27342  bposlem2  27343  lgscllem  27362  lgsval2lem  27365  lgsval4a  27377  lgsneg  27379  lgsdir  27390  lgsdilem2  27391  lgsdi  27392  lgsne0  27393  lgsqrlem2  27405  lgseisenlem1  27433  lgseisenlem2  27434  lgseisenlem3  27435  lgseisenlem4  27436  lgseisen  27437  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  lgsquadlem3  27440  2lgslem1a1  27447  chebbnd1lem1  27527  vmadivsum  27540  vmadivsumb  27541  rplogsumlem2  27543  dchrisum0lem1a  27544  rpvmasumlem  27545  dchrisumlem2  27548  dchrmusum2  27552  dchrvmasumlem1  27553  dchrvmasum2lem  27554  dchrvmasum2if  27555  dchrvmasumlem2  27556  dchrvmasumlem3  27557  dchrvmasumiflem1  27559  dchrvmasumiflem2  27560  dchrisum0fno1  27569  rpvmasum2  27570  dchrisum0re  27571  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem2  27576  dchrisum0lem3  27577  dchrisum0  27578  dchrmusumlem  27580  dchrvmasumlem  27581  rplogsum  27585  mudivsum  27588  mulogsumlem  27589  mulogsum  27590  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  mulog2sumlem3  27594  vmalogdivsum2  27596  vmalogdivsum  27597  2vmadivsumlem  27598  log2sumbnd  27602  selberglem1  27603  selberglem2  27604  selberglem3  27605  selberg  27606  selbergb  27607  selberg2lem  27608  selberg2  27609  selberg2b  27610  chpdifbndlem1  27611  logdivbnd  27614  selberg3lem1  27615  selberg3lem2  27616  selberg3  27617  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  pntrsumo1  27623  pntrsumbnd  27624  pntrsumbnd2  27625  selbergr  27626  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntsf  27631  pntsval2  27634  pntrlog2bndlem1  27635  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd2  27645  pntlemf  27663  pntlemk  27664  pntlemo  27665  eucrct2eupth  30273  dipcl  30740  dipcn  30748  esumpcvgval  34058  esumpmono  34059  esumcvg  34066  esumcvgsum  34068  eulerpartlemgc  34343  ballotlemfc0  34473  ballotlemfcc  34474  ballotlemic  34487  ballotlem1c  34488  ballotlemsel1i  34493  ballotlemsf1o  34494  erdszelem4  35178  erdszelem8  35182  erdsze2lem2  35188  cvmliftlem2  35270  cvmliftlem6  35274  cvmliftlem8  35276  cvmliftlem9  35277  cvmliftlem10  35278  bcprod  35717  faclim  35725  poimirlem6  37612  poimirlem7  37613  poimirlem8  37614  poimirlem9  37615  poimirlem11  37617  poimirlem13  37619  poimirlem14  37620  poimirlem15  37621  poimirlem16  37622  poimirlem17  37623  poimirlem18  37624  poimirlem22  37628  poimirlem32  37638  mblfinlem2  37644  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1  42057  aks4d1p3  42059  aks4d1p4  42060  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  primrootlekpowne0  42086  hashscontpow1  42102  hashscontpow  42103  sticksstones1  42127  sticksstones2  42128  sticksstones3  42129  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  metakunt1  42186  metakunt2  42187  metakunt6  42191  metakunt7  42192  metakunt8  42193  metakunt9  42194  metakunt11  42196  metakunt15  42200  metakunt16  42201  metakunt21  42206  metakunt22  42207  metakunt27  42212  metakunt29  42214  metakunt30  42215  oddnumth  42323  nicomachus  42324  sumcubes  42325  eldioph3b  42752  diophin  42759  diophun  42760  eldiophss  42761  irrapxlem4  42812  sumnnodd  45585  stoweidlem34  45989  wallispilem4  46023  wallispi  46025  wallispi2lem1  46026  wallispi2  46028  stirlinglem5  46033  stirlinglem7  46035  stirlinglem10  46038  stirlinglem12  46040  fourierdlem83  46144  fourierdlem112  46173  caratheodorylem2  46482  hoidmvlelem2  46551  hoidmvlelem3  46552  stgrusgra  47861  isubgr3stgrlem7  47874  altgsumbcALT  48197  nn0sumshdiglemA  48468  nn0sumshdiglemB  48469