Theorem elfznn 13521

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13492	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13495	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12566	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  1c1 11076   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by:  elfz1end  13522  fz1ssnn  13523  bcm1k  14287  bcpasc  14293  seqcoll  14436  pfxfv0  14664  pfxfvlsw  14667  isercolllem2  15639  isercolllem3  15640  isercoll  15641  sumeq2ii  15666  summolem3  15687  summolem2a  15688  fsum  15693  sumz  15695  fsumconst  15763  o1fsum  15786  binomlem  15802  incexc2  15811  climcndslem1  15822  climcndslem2  15823  climcnds  15824  harmonic  15832  arisum2  15834  trireciplem  15835  pwdif  15841  geo2sum  15846  geo2lim  15848  prodeq2ii  15884  prodmolem3  15906  prodmolem2a  15907  fprod  15914  prod1  15917  fprodfac  15946  fprodconst  15951  risefallfac  15997  risefacfac  16008  fallfacval4  16016  bpolydiflem  16027  rpnnen2lem10  16198  fzm1ndvds  16299  pwp1fsum  16368  lcmflefac  16625  prmdvdsbc  16703  phicl  16746  prmdivdiv  16764  pcfac  16877  pcbc  16878  prmreclem2  16895  prmreclem3  16896  prmreclem4  16897  prmreclem5  16898  prmreclem6  16899  prmrec  16900  4sqlem13  16935  vdwlem2  16960  vdwlem3  16961  vdwlem10  16968  vdwlem12  16970  prmocl  17012  prmop1  17016  fvprmselelfz  17022  fvprmselgcd1  17023  prmolefac  17024  prmodvdslcmf  17025  prmgapprmo  17040  mulgnngsum  19018  mulgnnsubcl  19025  mulgnn0z  19040  mulgnndir  19042  oddvdsnn0  19481  odnncl  19482  gexcl3  19524  efgsres  19675  mulgnn0di  19762  gsumconst  19871  srgbinomlem4  20145  freshmansdream  21491  chfacfscmulgsum  22754  chfacfpmmulgsum  22758  chfacfpmmulgsum2  22759  cayhamlem1  22760  cpmadugsumlemF  22770  lebnumii  24872  ovollb2lem  25396  ovolunlem1a  25404  ovoliunlem1  25410  ovoliunlem2  25411  ovoliun2  25414  ovolscalem1  25421  ovolicc2lem4  25428  voliunlem1  25458  volsup  25464  ioombl1lem4  25469  uniioovol  25487  uniioombllem3a  25492  uniioombllem3  25493  uniioombllem4  25494  uniioombllem5  25495  uniioombllem6  25496  dvply1  26198  aaliou3lem5  26262  aaliou3lem6  26263  dvtaylp  26285  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  pserdvlem2  26345  logfac  26517  atantayl  26854  birthdaylem2  26869  emcllem1  26913  emcllem2  26914  emcllem3  26915  emcllem5  26917  emcllem7  26919  harmoniclbnd  26926  harmonicubnd  26927  harmonicbnd4  26928  fsumharmonic  26929  lgamcvg2  26972  gamcvg2lem  26976  wilthlem1  26985  wilthlem2  26986  ftalem5  26994  basellem1  26998  basellem8  27005  chpf  27040  efchpcl  27042  chpp1  27072  chpwordi  27074  prmorcht  27095  dvdsflf1o  27104  dvdsflsumcom  27105  chtlepsi  27124  fsumvma2  27132  pclogsum  27133  vmasum  27134  logfac2  27135  chpval2  27136  chpchtsum  27137  logfaclbnd  27140  logexprlim  27143  logfacrlim2  27144  pcbcctr  27194  bposlem1  27202  bposlem2  27203  lgscllem  27222  lgsval2lem  27225  lgsval4a  27237  lgsneg  27239  lgsdir  27250  lgsdilem2  27251  lgsdi  27252  lgsne0  27253  lgsqrlem2  27265  lgseisenlem1  27293  lgseisenlem2  27294  lgseisenlem3  27295  lgseisenlem4  27296  lgseisen  27297  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  lgsquadlem3  27300  2lgslem1a1  27307  chebbnd1lem1  27387  vmadivsum  27400  vmadivsumb  27401  rplogsumlem2  27403  dchrisum0lem1a  27404  rpvmasumlem  27405  dchrisumlem2  27408  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem1  27413  dchrvmasum2lem  27414  dchrvmasum2if  27415  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumlem3  27417  dchrvmasumiflem1  27419  dchrvmasumiflem2  27420  dchrisum0fno1  27429  rpvmasum2  27430  dchrisum0re  27431  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  dchrisum0lem3  27437  dchrisum0  27438  dchrmusumlem  27440  dchrvmasumlem  27441  rplogsum  27445  mudivsum  27448  mulogsumlem  27449  mulogsum  27450  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  mulog2sumlem3  27454  vmalogdivsum2  27456  vmalogdivsum  27457  2vmadivsumlem  27458  log2sumbnd  27462  selberglem1  27463  selberglem2  27464  selberglem3  27465  selberg  27466  selbergb  27467  selberg2lem  27468  selberg2  27469  selberg2b  27470  chpdifbndlem1  27471  logdivbnd  27474  selberg3lem1  27475  selberg3lem2  27476  selberg3  27477  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  pntrsumo1  27483  pntrsumbnd  27484  pntrsumbnd2  27485  selbergr  27486  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntsf  27491  pntsval2  27494  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd2  27505  pntlemf  27523  pntlemk  27524  pntlemo  27525  eucrct2eupth  30181  dipcl  30648  dipcn  30656  esumpcvgval  34075  esumpmono  34076  esumcvg  34083  esumcvgsum  34085  eulerpartlemgc  34360  ballotlemfc0  34491  ballotlemfcc  34492  ballotlemic  34505  ballotlem1c  34506  ballotlemsel1i  34511  ballotlemsf1o  34512  erdszelem4  35188  erdszelem8  35192  erdsze2lem2  35198  cvmliftlem2  35280  cvmliftlem6  35284  cvmliftlem8  35286  cvmliftlem9  35287  cvmliftlem10  35288  bcprod  35732  faclim  35740  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem8  37629  poimirlem9  37630  poimirlem11  37632  poimirlem13  37634  poimirlem14  37635  poimirlem15  37636  poimirlem16  37637  poimirlem17  37638  poimirlem18  37639  poimirlem22  37643  poimirlem32  37653  mblfinlem2  37659  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p1  42071  aks4d1p3  42073  aks4d1p4  42074  aks4d1p5  42075  aks4d1p6  42076  aks4d1p7d1  42077  aks4d1p7  42078  aks4d1p8  42082  aks4d1p9  42083  primrootlekpowne0  42100  hashscontpow1  42116  hashscontpow  42117  sticksstones1  42141  sticksstones2  42142  sticksstones3  42143  sticksstones6  42146  sticksstones7  42147  sticksstones10  42150  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  oddnumth  42306  nicomachus  42307  sumcubes  42308  eldioph3b  42760  diophin  42767  diophun  42768  eldiophss  42769  irrapxlem4  42820  sumnnodd  45635  stoweidlem34  46039  wallispilem4  46073  wallispi  46075  wallispi2lem1  46076  wallispi2  46078  stirlinglem5  46083  stirlinglem7  46085  stirlinglem10  46088  stirlinglem12  46090  fourierdlem83  46194  fourierdlem112  46223  caratheodorylem2  46532  hoidmvlelem2  46601  hoidmvlelem3  46602  stgrusgra  47962  isubgr3stgrlem7  47975  altgsumbcALT  48345  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613