Theorem elfznn 13498

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13469	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13472	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12544	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  1c1 11030   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  elfz1end  13499  fz1ssnn  13500  bcm1k  14268  bcpasc  14274  seqcoll  14417  pfxfv0  14645  pfxfvlsw  14648  isercolllem2  15619  isercolllem3  15620  isercoll  15621  sumeq2ii  15646  summolem3  15667  summolem2a  15668  fsum  15673  sumz  15675  fsumconst  15743  o1fsum  15767  binomlem  15785  incexc2  15794  climcndslem1  15805  climcndslem2  15806  climcnds  15807  harmonic  15815  arisum2  15817  trireciplem  15818  pwdif  15824  geo2sum  15829  geo2lim  15831  prodeq2ii  15867  prodmolem3  15889  prodmolem2a  15890  fprod  15897  prod1  15900  fprodfac  15929  fprodconst  15934  risefallfac  15980  risefacfac  15991  fallfacval4  15999  bpolydiflem  16010  rpnnen2lem10  16181  fzm1ndvds  16282  pwp1fsum  16351  lcmflefac  16608  prmdvdsbc  16687  phicl  16730  prmdivdiv  16748  pcfac  16861  pcbc  16862  prmreclem2  16879  prmreclem3  16880  prmreclem4  16881  prmreclem5  16882  prmreclem6  16883  prmrec  16884  4sqlem13  16919  vdwlem2  16944  vdwlem3  16945  vdwlem10  16952  vdwlem12  16954  prmocl  16996  prmop1  17000  fvprmselelfz  17006  fvprmselgcd1  17007  prmolefac  17008  prmodvdslcmf  17009  prmgapprmo  17024  mulgnngsum  19046  mulgnnsubcl  19053  mulgnn0z  19068  mulgnndir  19070  oddvdsnn0  19510  odnncl  19511  gexcl3  19553  efgsres  19704  mulgnn0di  19791  gsumconst  19900  srgbinomlem4  20201  freshmansdream  21549  chfacfscmulgsum  22843  chfacfpmmulgsum  22847  chfacfpmmulgsum2  22848  cayhamlem1  22849  cpmadugsumlemF  22859  lebnumii  24951  ovollb2lem  25473  ovolunlem1a  25481  ovoliunlem1  25487  ovoliunlem2  25488  ovoliun2  25491  ovolscalem1  25498  ovolicc2lem4  25505  voliunlem1  25535  volsup  25541  ioombl1lem4  25546  uniioovol  25564  uniioombllem3a  25569  uniioombllem3  25570  uniioombllem4  25571  uniioombllem5  25572  uniioombllem6  25573  dvply1  26268  aaliou3lem5  26331  aaliou3lem6  26332  dvtaylp  26353  taylthlem2  26357  pserdvlem2  26411  logfac  26583  atantayl  26919  birthdaylem2  26934  emcllem1  26977  emcllem2  26978  emcllem3  26979  emcllem5  26981  emcllem7  26983  harmoniclbnd  26990  harmonicubnd  26991  harmonicbnd4  26992  fsumharmonic  26993  lgamcvg2  27036  gamcvg2lem  27040  wilthlem1  27049  wilthlem2  27050  ftalem5  27058  basellem1  27062  basellem8  27069  chpf  27104  efchpcl  27106  chpp1  27136  chpwordi  27138  prmorcht  27159  dvdsflf1o  27168  dvdsflsumcom  27169  chtlepsi  27187  fsumvma2  27195  pclogsum  27196  vmasum  27197  logfac2  27198  chpval2  27199  chpchtsum  27200  logfaclbnd  27203  logexprlim  27206  logfacrlim2  27207  pcbcctr  27257  bposlem1  27265  bposlem2  27266  lgscllem  27285  lgsval2lem  27288  lgsval4a  27300  lgsneg  27302  lgsdir  27313  lgsdilem2  27314  lgsdi  27315  lgsne0  27316  lgsqrlem2  27328  lgseisenlem1  27356  lgseisenlem2  27357  lgseisenlem3  27358  lgseisenlem4  27359  lgseisen  27360  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  lgsquadlem3  27363  2lgslem1a1  27370  chebbnd1lem1  27450  vmadivsum  27463  vmadivsumb  27464  rplogsumlem2  27466  dchrisum0lem1a  27467  rpvmasumlem  27468  dchrisumlem2  27471  dchrmusum2  27475  dchrvmasumlem1  27476  dchrvmasum2lem  27477  dchrvmasum2if  27478  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumlem3  27480  dchrvmasumiflem1  27482  dchrvmasumiflem2  27483  dchrisum0fno1  27492  rpvmasum2  27493  dchrisum0re  27494  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2a  27498  dchrisum0lem2  27499  dchrisum0lem3  27500  dchrisum0  27501  dchrmusumlem  27503  dchrvmasumlem  27504  rplogsum  27508  mudivsum  27511  mulogsumlem  27512  mulogsum  27513  mulog2sumlem1  27515  mulog2sumlem2  27516  mulog2sumlem3  27517  vmalogdivsum2  27519  vmalogdivsum  27520  2vmadivsumlem  27521  log2sumbnd  27525  selberglem1  27526  selberglem2  27527  selberglem3  27528  selberg  27529  selbergb  27530  selberg2lem  27531  selberg2  27532  selberg2b  27533  chpdifbndlem1  27534  logdivbnd  27537  selberg3lem1  27538  selberg3lem2  27539  selberg3  27540  selberg4lem1  27541  selberg4  27542  pntrsumo1  27546  pntrsumbnd  27547  pntrsumbnd2  27548  selbergr  27549  selberg3r  27550  selberg4r  27551  selberg34r  27552  pntsf  27554  pntsval2  27557  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd2  27568  pntlemf  27586  pntlemk  27587  pntlemo  27588  eucrct2eupth  30333  dipcl  30801  dipcn  30809  gsummptp1  33138  gsummulsubdishift1  33149  esplyind  33759  esumpcvgval  34262  esumpmono  34263  esumcvg  34270  esumcvgsum  34272  eulerpartlemgc  34546  ballotlemfc0  34677  ballotlemfcc  34678  ballotlemic  34691  ballotlem1c  34692  ballotlemsel1i  34697  ballotlemsf1o  34698  erdszelem4  35422  erdszelem8  35426  erdsze2lem2  35432  cvmliftlem2  35514  cvmliftlem6  35518  cvmliftlem8  35520  cvmliftlem9  35521  cvmliftlem10  35522  bcprod  35966  faclim  35974  poimirlem6  37993  poimirlem7  37994  poimirlem8  37995  poimirlem9  37996  poimirlem11  37998  poimirlem13  38000  poimirlem14  38001  poimirlem15  38002  poimirlem16  38003  poimirlem17  38004  poimirlem18  38005  poimirlem22  38009  poimirlem32  38019  mblfinlem2  38025  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p4  42556  aks4d1p1  42561  aks4d1p3  42563  aks4d1p4  42564  aks4d1p5  42565  aks4d1p6  42566  aks4d1p7d1  42567  aks4d1p7  42568  aks4d1p8  42572  aks4d1p9  42573  primrootlekpowne0  42590  hashscontpow1  42606  hashscontpow  42607  sticksstones1  42631  sticksstones2  42632  sticksstones3  42633  sticksstones6  42636  sticksstones7  42637  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  sticksstones12  42643  oddnumth  42788  nicomachus  42789  sumcubes  42790  eldioph3b  43214  diophin  43221  diophun  43222  eldiophss  43223  irrapxlem4  43270  sumnnodd  46075  stoweidlem34  46477  wallispilem4  46511  wallispi  46513  wallispi2lem1  46514  wallispi2  46516  stirlinglem5  46521  stirlinglem7  46523  stirlinglem10  46526  stirlinglem12  46528  fourierdlem83  46632  fourierdlem112  46661  caratheodorylem2  46970  hoidmvlelem2  47039  hoidmvlelem3  47040  elfz2nn  47785  stgrusgra  48450  isubgr3stgrlem7  48463  altgsumbcALT  48844  nn0sumshdiglemA  49110  nn0sumshdiglemB  49111