Theorem elfznn 13490

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13461	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13464	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12535	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  1c1 11045   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  elfz1end  13491  fz1ssnn  13492  bcm1k  14256  bcpasc  14262  seqcoll  14405  pfxfv0  14633  pfxfvlsw  14636  isercolllem2  15608  isercolllem3  15609  isercoll  15610  sumeq2ii  15635  summolem3  15656  summolem2a  15657  fsum  15662  sumz  15664  fsumconst  15732  o1fsum  15755  binomlem  15771  incexc2  15780  climcndslem1  15791  climcndslem2  15792  climcnds  15793  harmonic  15801  arisum2  15803  trireciplem  15804  pwdif  15810  geo2sum  15815  geo2lim  15817  prodeq2ii  15853  prodmolem3  15875  prodmolem2a  15876  fprod  15883  prod1  15886  fprodfac  15915  fprodconst  15920  risefallfac  15966  risefacfac  15977  fallfacval4  15985  bpolydiflem  15996  rpnnen2lem10  16167  fzm1ndvds  16268  pwp1fsum  16337  lcmflefac  16594  prmdvdsbc  16672  phicl  16715  prmdivdiv  16733  pcfac  16846  pcbc  16847  prmreclem2  16864  prmreclem3  16865  prmreclem4  16866  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  prmrec  16869  4sqlem13  16904  vdwlem2  16929  vdwlem3  16930  vdwlem10  16937  vdwlem12  16939  prmocl  16981  prmop1  16985  fvprmselelfz  16991  fvprmselgcd1  16992  prmolefac  16993  prmodvdslcmf  16994  prmgapprmo  17009  mulgnngsum  18987  mulgnnsubcl  18994  mulgnn0z  19009  mulgnndir  19011  oddvdsnn0  19450  odnncl  19451  gexcl3  19493  efgsres  19644  mulgnn0di  19731  gsumconst  19840  srgbinomlem4  20114  freshmansdream  21460  chfacfscmulgsum  22723  chfacfpmmulgsum  22727  chfacfpmmulgsum2  22728  cayhamlem1  22729  cpmadugsumlemF  22739  lebnumii  24841  ovollb2lem  25365  ovolunlem1a  25373  ovoliunlem1  25379  ovoliunlem2  25380  ovoliun2  25383  ovolscalem1  25390  ovolicc2lem4  25397  voliunlem1  25427  volsup  25433  ioombl1lem4  25438  uniioovol  25456  uniioombllem3a  25461  uniioombllem3  25462  uniioombllem4  25463  uniioombllem5  25464  uniioombllem6  25465  dvply1  26167  aaliou3lem5  26231  aaliou3lem6  26232  dvtaylp  26254  taylthlem2  26258  taylthlem2OLD  26259  pserdvlem2  26314  logfac  26486  atantayl  26823  birthdaylem2  26838  emcllem1  26882  emcllem2  26883  emcllem3  26884  emcllem5  26886  emcllem7  26888  harmoniclbnd  26895  harmonicubnd  26896  harmonicbnd4  26897  fsumharmonic  26898  lgamcvg2  26941  gamcvg2lem  26945  wilthlem1  26954  wilthlem2  26955  ftalem5  26963  basellem1  26967  basellem8  26974  chpf  27009  efchpcl  27011  chpp1  27041  chpwordi  27043  prmorcht  27064  dvdsflf1o  27073  dvdsflsumcom  27074  chtlepsi  27093  fsumvma2  27101  pclogsum  27102  vmasum  27103  logfac2  27104  chpval2  27105  chpchtsum  27106  logfaclbnd  27109  logexprlim  27112  logfacrlim2  27113  pcbcctr  27163  bposlem1  27171  bposlem2  27172  lgscllem  27191  lgsval2lem  27194  lgsval4a  27206  lgsneg  27208  lgsdir  27219  lgsdilem2  27220  lgsdi  27221  lgsne0  27222  lgsqrlem2  27234  lgseisenlem1  27262  lgseisenlem2  27263  lgseisenlem3  27264  lgseisenlem4  27265  lgseisen  27266  lgsquadlem1  27267  lgsquadlem2  27268  lgsquadlem3  27269  2lgslem1a1  27276  chebbnd1lem1  27356  vmadivsum  27369  vmadivsumb  27370  rplogsumlem2  27372  dchrisum0lem1a  27373  rpvmasumlem  27374  dchrisumlem2  27377  dchrmusum2  27381  dchrvmasumlem1  27382  dchrvmasum2lem  27383  dchrvmasum2if  27384  dchrvmasumlem2  27385  dchrvmasumlem3  27386  dchrvmasumiflem1  27388  dchrvmasumiflem2  27389  dchrisum0fno1  27398  rpvmasum2  27399  dchrisum0re  27400  dchrisum0lem1b  27402  dchrisum0lem1  27403  dchrisum0lem2a  27404  dchrisum0lem2  27405  dchrisum0lem3  27406  dchrisum0  27407  dchrmusumlem  27409  dchrvmasumlem  27410  rplogsum  27414  mudivsum  27417  mulogsumlem  27418  mulogsum  27419  mulog2sumlem1  27421  mulog2sumlem2  27422  mulog2sumlem3  27423  vmalogdivsum2  27425  vmalogdivsum  27426  2vmadivsumlem  27427  log2sumbnd  27431  selberglem1  27432  selberglem2  27433  selberglem3  27434  selberg  27435  selbergb  27436  selberg2lem  27437  selberg2  27438  selberg2b  27439  chpdifbndlem1  27440  logdivbnd  27443  selberg3lem1  27444  selberg3lem2  27445  selberg3  27446  selberg4lem1  27447  selberg4  27448  pntrsumo1  27452  pntrsumbnd  27453  pntrsumbnd2  27454  selbergr  27455  selberg3r  27456  selberg4r  27457  selberg34r  27458  pntsf  27460  pntsval2  27463  pntrlog2bndlem1  27464  pntrlog2bndlem2  27465  pntrlog2bndlem3  27466  pntrlog2bndlem4  27467  pntrlog2bndlem5  27468  pntrlog2bndlem6  27470  pntrlog2bnd  27471  pntpbnd2  27474  pntlemf  27492  pntlemk  27493  pntlemo  27494  eucrct2eupth  30147  dipcl  30614  dipcn  30622  esumpcvgval  34041  esumpmono  34042  esumcvg  34049  esumcvgsum  34051  eulerpartlemgc  34326  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  ballotlemic  34471  ballotlem1c  34472  ballotlemsel1i  34477  ballotlemsf1o  34478  erdszelem4  35154  erdszelem8  35158  erdsze2lem2  35164  cvmliftlem2  35246  cvmliftlem6  35250  cvmliftlem8  35252  cvmliftlem9  35253  cvmliftlem10  35254  bcprod  35698  faclim  35706  poimirlem6  37593  poimirlem7  37594  poimirlem8  37595  poimirlem9  37596  poimirlem11  37598  poimirlem13  37600  poimirlem14  37601  poimirlem15  37602  poimirlem16  37603  poimirlem17  37604  poimirlem18  37605  poimirlem22  37609  poimirlem32  37619  mblfinlem2  37625  aks4d1p1p2  42031  aks4d1p1p4  42032  aks4d1p1  42037  aks4d1p3  42039  aks4d1p4  42040  aks4d1p5  42041  aks4d1p6  42042  aks4d1p7d1  42043  aks4d1p7  42044  aks4d1p8  42048  aks4d1p9  42049  primrootlekpowne0  42066  hashscontpow1  42082  hashscontpow  42083  sticksstones1  42107  sticksstones2  42108  sticksstones3  42109  sticksstones6  42112  sticksstones7  42113  sticksstones10  42116  sticksstones12a  42118  sticksstones12  42119  oddnumth  42272  nicomachus  42273  sumcubes  42274  eldioph3b  42726  diophin  42733  diophun  42734  eldiophss  42735  irrapxlem4  42786  sumnnodd  45601  stoweidlem34  46005  wallispilem4  46039  wallispi  46041  wallispi2lem1  46042  wallispi2  46044  stirlinglem5  46049  stirlinglem7  46051  stirlinglem10  46054  stirlinglem12  46056  fourierdlem83  46160  fourierdlem112  46189  caratheodorylem2  46498  hoidmvlelem2  46567  hoidmvlelem3  46568  stgrusgra  47931  isubgr3stgrlem7  47944  altgsumbcALT  48314  nn0sumshdiglemA  48581  nn0sumshdiglemB  48582