Theorem elfznn 13453

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13424	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13427	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12498	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  1c1 11007   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  ℤcz 12468  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  elfz1end  13454  fz1ssnn  13455  bcm1k  14222  bcpasc  14228  seqcoll  14371  pfxfv0  14599  pfxfvlsw  14602  isercolllem2  15573  isercolllem3  15574  isercoll  15575  sumeq2ii  15600  summolem3  15621  summolem2a  15622  fsum  15627  sumz  15629  fsumconst  15697  o1fsum  15720  binomlem  15736  incexc2  15745  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  climcnds  15758  harmonic  15766  arisum2  15768  trireciplem  15769  pwdif  15775  geo2sum  15780  geo2lim  15782  prodeq2ii  15818  prodmolem3  15840  prodmolem2a  15841  fprod  15848  prod1  15851  fprodfac  15880  fprodconst  15885  risefallfac  15931  risefacfac  15942  fallfacval4  15950  bpolydiflem  15961  rpnnen2lem10  16132  fzm1ndvds  16233  pwp1fsum  16302  lcmflefac  16559  prmdvdsbc  16637  phicl  16680  prmdivdiv  16698  pcfac  16811  pcbc  16812  prmreclem2  16829  prmreclem3  16830  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  prmrec  16834  4sqlem13  16869  vdwlem2  16894  vdwlem3  16895  vdwlem10  16902  vdwlem12  16904  prmocl  16946  prmop1  16950  fvprmselelfz  16956  fvprmselgcd1  16957  prmolefac  16958  prmodvdslcmf  16959  prmgapprmo  16974  mulgnngsum  18992  mulgnnsubcl  18999  mulgnn0z  19014  mulgnndir  19016  oddvdsnn0  19456  odnncl  19457  gexcl3  19499  efgsres  19650  mulgnn0di  19737  gsumconst  19846  srgbinomlem4  20147  freshmansdream  21511  chfacfscmulgsum  22775  chfacfpmmulgsum  22779  chfacfpmmulgsum2  22780  cayhamlem1  22781  cpmadugsumlemF  22791  lebnumii  24892  ovollb2lem  25416  ovolunlem1a  25424  ovoliunlem1  25430  ovoliunlem2  25431  ovoliun2  25434  ovolscalem1  25441  ovolicc2lem4  25448  voliunlem1  25478  volsup  25484  ioombl1lem4  25489  uniioovol  25507  uniioombllem3a  25512  uniioombllem3  25513  uniioombllem4  25514  uniioombllem5  25515  uniioombllem6  25516  dvply1  26218  aaliou3lem5  26282  aaliou3lem6  26283  dvtaylp  26305  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  pserdvlem2  26365  logfac  26537  atantayl  26874  birthdaylem2  26889  emcllem1  26933  emcllem2  26934  emcllem3  26935  emcllem5  26937  emcllem7  26939  harmoniclbnd  26946  harmonicubnd  26947  harmonicbnd4  26948  fsumharmonic  26949  lgamcvg2  26992  gamcvg2lem  26996  wilthlem1  27005  wilthlem2  27006  ftalem5  27014  basellem1  27018  basellem8  27025  chpf  27060  efchpcl  27062  chpp1  27092  chpwordi  27094  prmorcht  27115  dvdsflf1o  27124  dvdsflsumcom  27125  chtlepsi  27144  fsumvma2  27152  pclogsum  27153  vmasum  27154  logfac2  27155  chpval2  27156  chpchtsum  27157  logfaclbnd  27160  logexprlim  27163  logfacrlim2  27164  pcbcctr  27214  bposlem1  27222  bposlem2  27223  lgscllem  27242  lgsval2lem  27245  lgsval4a  27257  lgsneg  27259  lgsdir  27270  lgsdilem2  27271  lgsdi  27272  lgsne0  27273  lgsqrlem2  27285  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem2  27314  lgseisenlem3  27315  lgseisenlem4  27316  lgseisen  27317  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  lgsquadlem3  27320  2lgslem1a1  27327  chebbnd1lem1  27407  vmadivsum  27420  vmadivsumb  27421  rplogsumlem2  27423  dchrisum0lem1a  27424  rpvmasumlem  27425  dchrisumlem2  27428  dchrmusum2  27432  dchrvmasumlem1  27433  dchrvmasum2lem  27434  dchrvmasum2if  27435  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumlem3  27437  dchrvmasumiflem1  27439  dchrvmasumiflem2  27440  dchrisum0fno1  27449  rpvmasum2  27450  dchrisum0re  27451  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem1  27454  dchrisum0lem2a  27455  dchrisum0lem2  27456  dchrisum0lem3  27457  dchrisum0  27458  dchrmusumlem  27460  dchrvmasumlem  27461  rplogsum  27465  mudivsum  27468  mulogsumlem  27469  mulogsum  27470  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  mulog2sumlem3  27474  vmalogdivsum2  27476  vmalogdivsum  27477  2vmadivsumlem  27478  log2sumbnd  27482  selberglem1  27483  selberglem2  27484  selberglem3  27485  selberg  27486  selbergb  27487  selberg2lem  27488  selberg2  27489  selberg2b  27490  chpdifbndlem1  27491  logdivbnd  27494  selberg3lem1  27495  selberg3lem2  27496  selberg3  27497  selberg4lem1  27498  selberg4  27499  pntrsumo1  27503  pntrsumbnd  27504  pntrsumbnd2  27505  selbergr  27506  selberg3r  27507  selberg4r  27508  selberg34r  27509  pntsf  27511  pntsval2  27514  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntrlog2bndlem6  27521  pntrlog2bnd  27522  pntpbnd2  27525  pntlemf  27543  pntlemk  27544  pntlemo  27545  eucrct2eupth  30225  dipcl  30692  dipcn  30700  esumpcvgval  34091  esumpmono  34092  esumcvg  34099  esumcvgsum  34101  eulerpartlemgc  34375  ballotlemfc0  34506  ballotlemfcc  34507  ballotlemic  34520  ballotlem1c  34521  ballotlemsel1i  34526  ballotlemsf1o  34527  erdszelem4  35238  erdszelem8  35242  erdsze2lem2  35248  cvmliftlem2  35330  cvmliftlem6  35334  cvmliftlem8  35336  cvmliftlem9  35337  cvmliftlem10  35338  bcprod  35782  faclim  35790  poimirlem6  37674  poimirlem7  37675  poimirlem8  37676  poimirlem9  37677  poimirlem11  37679  poimirlem13  37681  poimirlem14  37682  poimirlem15  37683  poimirlem16  37684  poimirlem17  37685  poimirlem18  37686  poimirlem22  37690  poimirlem32  37700  mblfinlem2  37706  aks4d1p1p2  42111  aks4d1p1p4  42112  aks4d1p1  42117  aks4d1p3  42119  aks4d1p4  42120  aks4d1p5  42121  aks4d1p6  42122  aks4d1p7d1  42123  aks4d1p7  42124  aks4d1p8  42128  aks4d1p9  42129  primrootlekpowne0  42146  hashscontpow1  42162  hashscontpow  42163  sticksstones1  42187  sticksstones2  42188  sticksstones3  42189  sticksstones6  42192  sticksstones7  42193  sticksstones10  42196  sticksstones12a  42198  sticksstones12  42199  oddnumth  42352  nicomachus  42353  sumcubes  42354  eldioph3b  42806  diophin  42813  diophun  42814  eldiophss  42815  irrapxlem4  42866  sumnnodd  45678  stoweidlem34  46080  wallispilem4  46114  wallispi  46116  wallispi2lem1  46117  wallispi2  46119  stirlinglem5  46124  stirlinglem7  46126  stirlinglem10  46129  stirlinglem12  46131  fourierdlem83  46235  fourierdlem112  46264  caratheodorylem2  46573  hoidmvlelem2  46642  hoidmvlelem3  46643  stgrusgra  47998  isubgr3stgrlem7  48011  altgsumbcALT  48392  nn0sumshdiglemA  48659  nn0sumshdiglemB  48660