Theorem elfznn 13613

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13584	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13587	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12669	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  1c1 11185   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  elfz1end  13614  fz1ssnn  13615  bcm1k  14364  bcpasc  14370  seqcoll  14513  pfxfv0  14740  pfxfvlsw  14743  isercolllem2  15714  isercolllem3  15715  isercoll  15716  sumeq2ii  15741  summolem3  15762  summolem2a  15763  fsum  15768  sumz  15770  fsumconst  15838  o1fsum  15861  binomlem  15877  incexc2  15886  climcndslem1  15897  climcndslem2  15898  climcnds  15899  harmonic  15907  arisum2  15909  trireciplem  15910  pwdif  15916  geo2sum  15921  geo2lim  15923  prodeq2ii  15959  prodmolem3  15981  prodmolem2a  15982  fprod  15989  prod1  15992  fprodfac  16021  fprodconst  16026  risefallfac  16072  risefacfac  16083  fallfacval4  16091  bpolydiflem  16102  rpnnen2lem10  16271  fzm1ndvds  16370  pwp1fsum  16439  lcmflefac  16695  prmdvdsbc  16773  phicl  16816  prmdivdiv  16834  pcfac  16946  pcbc  16947  prmreclem2  16964  prmreclem3  16965  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  prmreclem6  16968  prmrec  16969  4sqlem13  17004  vdwlem2  17029  vdwlem3  17030  vdwlem10  17037  vdwlem12  17039  prmocl  17081  prmop1  17085  fvprmselelfz  17091  fvprmselgcd1  17092  prmolefac  17093  prmodvdslcmf  17094  prmgapprmo  17109  mulgnngsum  19119  mulgnnsubcl  19126  mulgnn0z  19141  mulgnndir  19143  oddvdsnn0  19586  odnncl  19587  gexcl3  19629  efgsres  19780  mulgnn0di  19867  gsumconst  19976  srgbinomlem4  20256  freshmansdream  21616  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmulgsum  22891  chfacfpmmulgsum2  22892  cayhamlem1  22893  cpmadugsumlemF  22903  lebnumii  25017  ovollb2lem  25542  ovolunlem1a  25550  ovoliunlem1  25556  ovoliunlem2  25557  ovoliun2  25560  ovolscalem1  25567  ovolicc2lem4  25574  voliunlem1  25604  volsup  25610  ioombl1lem4  25615  uniioovol  25633  uniioombllem3a  25638  uniioombllem3  25639  uniioombllem4  25640  uniioombllem5  25641  uniioombllem6  25642  dvply1  26343  aaliou3lem5  26407  aaliou3lem6  26408  dvtaylp  26430  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  pserdvlem2  26490  logfac  26661  atantayl  26998  birthdaylem2  27013  emcllem1  27057  emcllem2  27058  emcllem3  27059  emcllem5  27061  emcllem7  27063  harmoniclbnd  27070  harmonicubnd  27071  harmonicbnd4  27072  fsumharmonic  27073  lgamcvg2  27116  gamcvg2lem  27120  wilthlem1  27129  wilthlem2  27130  ftalem5  27138  basellem1  27142  basellem8  27149  chpf  27184  efchpcl  27186  chpp1  27216  chpwordi  27218  prmorcht  27239  dvdsflf1o  27248  dvdsflsumcom  27249  chtlepsi  27268  fsumvma2  27276  pclogsum  27277  vmasum  27278  logfac2  27279  chpval2  27280  chpchtsum  27281  logfaclbnd  27284  logexprlim  27287  logfacrlim2  27288  pcbcctr  27338  bposlem1  27346  bposlem2  27347  lgscllem  27366  lgsval2lem  27369  lgsval4a  27381  lgsneg  27383  lgsdir  27394  lgsdilem2  27395  lgsdi  27396  lgsne0  27397  lgsqrlem2  27409  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem2  27438  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  lgseisen  27441  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  lgsquadlem3  27444  2lgslem1a1  27451  chebbnd1lem1  27531  vmadivsum  27544  vmadivsumb  27545  rplogsumlem2  27547  dchrisum0lem1a  27548  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem2  27552  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem1  27557  dchrvmasum2lem  27558  dchrvmasum2if  27559  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumlem3  27561  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmasumiflem2  27564  dchrisum0fno1  27573  rpvmasum2  27574  dchrisum0re  27575  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  dchrisum0  27582  dchrmusumlem  27584  dchrvmasumlem  27585  rplogsum  27589  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulogsum  27594  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  mulog2sumlem3  27598  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  log2sumbnd  27606  selberglem1  27607  selberglem2  27608  selberglem3  27609  selberg  27610  selbergb  27611  selberg2lem  27612  selberg2  27613  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  logdivbnd  27618  selberg3lem1  27619  selberg3lem2  27620  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd  27628  pntrsumbnd2  27629  selbergr  27630  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntsf  27635  pntsval2  27638  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd2  27649  pntlemf  27667  pntlemk  27668  pntlemo  27669  eucrct2eupth  30277  dipcl  30744  dipcn  30752  esumpcvgval  34042  esumpmono  34043  esumcvg  34050  esumcvgsum  34052  eulerpartlemgc  34327  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  ballotlemic  34471  ballotlem1c  34472  ballotlemsel1i  34477  ballotlemsf1o  34478  erdszelem4  35162  erdszelem8  35166  erdsze2lem2  35172  cvmliftlem2  35254  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  bcprod  35700  faclim  35708  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem9  37589  poimirlem11  37591  poimirlem13  37593  poimirlem14  37594  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem18  37598  poimirlem22  37602  poimirlem32  37612  mblfinlem2  37618  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1  42033  aks4d1p3  42035  aks4d1p4  42036  aks4d1p5  42037  aks4d1p6  42038  aks4d1p7d1  42039  aks4d1p7  42040  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  primrootlekpowne0  42062  hashscontpow1  42078  hashscontpow  42079  sticksstones1  42103  sticksstones2  42104  sticksstones3  42105  sticksstones6  42108  sticksstones7  42109  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  metakunt1  42162  metakunt2  42163  metakunt6  42167  metakunt7  42168  metakunt8  42169  metakunt9  42170  metakunt11  42172  metakunt15  42176  metakunt16  42177  metakunt21  42182  metakunt22  42183  metakunt27  42188  metakunt29  42190  metakunt30  42191  oddnumth  42299  nicomachus  42300  sumcubes  42301  eldioph3b  42721  diophin  42728  diophun  42729  eldiophss  42730  irrapxlem4  42781  sumnnodd  45551  stoweidlem34  45955  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  wallispi2  45994  stirlinglem5  45999  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem12  46006  fourierdlem83  46110  fourierdlem112  46139  caratheodorylem2  46448  hoidmvlelem2  46517  hoidmvlelem3  46518  altgsumbcALT  48078  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354