Theorem elfznn 13490

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13461	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13464	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12535	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  1c1 11045   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  elfz1end  13491  fz1ssnn  13492  bcm1k  14256  bcpasc  14262  seqcoll  14405  pfxfv0  14633  pfxfvlsw  14636  isercolllem2  15608  isercolllem3  15609  isercoll  15610  sumeq2ii  15635  summolem3  15656  summolem2a  15657  fsum  15662  sumz  15664  fsumconst  15732  o1fsum  15755  binomlem  15771  incexc2  15780  climcndslem1  15791  climcndslem2  15792  climcnds  15793  harmonic  15801  arisum2  15803  trireciplem  15804  pwdif  15810  geo2sum  15815  geo2lim  15817  prodeq2ii  15853  prodmolem3  15875  prodmolem2a  15876  fprod  15883  prod1  15886  fprodfac  15915  fprodconst  15920  risefallfac  15966  risefacfac  15977  fallfacval4  15985  bpolydiflem  15996  rpnnen2lem10  16167  fzm1ndvds  16268  pwp1fsum  16337  lcmflefac  16594  prmdvdsbc  16672  phicl  16715  prmdivdiv  16733  pcfac  16846  pcbc  16847  prmreclem2  16864  prmreclem3  16865  prmreclem4  16866  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  prmrec  16869  4sqlem13  16904  vdwlem2  16929  vdwlem3  16930  vdwlem10  16937  vdwlem12  16939  prmocl  16981  prmop1  16985  fvprmselelfz  16991  fvprmselgcd1  16992  prmolefac  16993  prmodvdslcmf  16994  prmgapprmo  17009  mulgnngsum  18993  mulgnnsubcl  19000  mulgnn0z  19015  mulgnndir  19017  oddvdsnn0  19458  odnncl  19459  gexcl3  19501  efgsres  19652  mulgnn0di  19739  gsumconst  19848  srgbinomlem4  20149  freshmansdream  21516  chfacfscmulgsum  22780  chfacfpmmulgsum  22784  chfacfpmmulgsum2  22785  cayhamlem1  22786  cpmadugsumlemF  22796  lebnumii  24898  ovollb2lem  25422  ovolunlem1a  25430  ovoliunlem1  25436  ovoliunlem2  25437  ovoliun2  25440  ovolscalem1  25447  ovolicc2lem4  25454  voliunlem1  25484  volsup  25490  ioombl1lem4  25495  uniioovol  25513  uniioombllem3a  25518  uniioombllem3  25519  uniioombllem4  25520  uniioombllem5  25521  uniioombllem6  25522  dvply1  26224  aaliou3lem5  26288  aaliou3lem6  26289  dvtaylp  26311  taylthlem2  26315  taylthlem2OLD  26316  pserdvlem2  26371  logfac  26543  atantayl  26880  birthdaylem2  26895  emcllem1  26939  emcllem2  26940  emcllem3  26941  emcllem5  26943  emcllem7  26945  harmoniclbnd  26952  harmonicubnd  26953  harmonicbnd4  26954  fsumharmonic  26955  lgamcvg2  26998  gamcvg2lem  27002  wilthlem1  27011  wilthlem2  27012  ftalem5  27020  basellem1  27024  basellem8  27031  chpf  27066  efchpcl  27068  chpp1  27098  chpwordi  27100  prmorcht  27121  dvdsflf1o  27130  dvdsflsumcom  27131  chtlepsi  27150  fsumvma2  27158  pclogsum  27159  vmasum  27160  logfac2  27161  chpval2  27162  chpchtsum  27163  logfaclbnd  27166  logexprlim  27169  logfacrlim2  27170  pcbcctr  27220  bposlem1  27228  bposlem2  27229  lgscllem  27248  lgsval2lem  27251  lgsval4a  27263  lgsneg  27265  lgsdir  27276  lgsdilem2  27277  lgsdi  27278  lgsne0  27279  lgsqrlem2  27291  lgseisenlem1  27319  lgseisenlem2  27320  lgseisenlem3  27321  lgseisenlem4  27322  lgseisen  27323  lgsquadlem1  27324  lgsquadlem2  27325  lgsquadlem3  27326  2lgslem1a1  27333  chebbnd1lem1  27413  vmadivsum  27426  vmadivsumb  27427  rplogsumlem2  27429  dchrisum0lem1a  27430  rpvmasumlem  27431  dchrisumlem2  27434  dchrmusum2  27438  dchrvmasumlem1  27439  dchrvmasum2lem  27440  dchrvmasum2if  27441  dchrvmasumlem2  27442  dchrvmasumlem3  27443  dchrvmasumiflem1  27445  dchrvmasumiflem2  27446  dchrisum0fno1  27455  rpvmasum2  27456  dchrisum0re  27457  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem1  27460  dchrisum0lem2a  27461  dchrisum0lem2  27462  dchrisum0lem3  27463  dchrisum0  27464  dchrmusumlem  27466  dchrvmasumlem  27467  rplogsum  27471  mudivsum  27474  mulogsumlem  27475  mulogsum  27476  mulog2sumlem1  27478  mulog2sumlem2  27479  mulog2sumlem3  27480  vmalogdivsum2  27482  vmalogdivsum  27483  2vmadivsumlem  27484  log2sumbnd  27488  selberglem1  27489  selberglem2  27490  selberglem3  27491  selberg  27492  selbergb  27493  selberg2lem  27494  selberg2  27495  selberg2b  27496  chpdifbndlem1  27497  logdivbnd  27500  selberg3lem1  27501  selberg3lem2  27502  selberg3  27503  selberg4lem1  27504  selberg4  27505  pntrsumo1  27509  pntrsumbnd  27510  pntrsumbnd2  27511  selbergr  27512  selberg3r  27513  selberg4r  27514  selberg34r  27515  pntsf  27517  pntsval2  27520  pntrlog2bndlem1  27521  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem3  27523  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntrlog2bndlem6  27527  pntrlog2bnd  27528  pntpbnd2  27531  pntlemf  27549  pntlemk  27550  pntlemo  27551  eucrct2eupth  30224  dipcl  30691  dipcn  30699  esumpcvgval  34061  esumpmono  34062  esumcvg  34069  esumcvgsum  34071  eulerpartlemgc  34346  ballotlemfc0  34477  ballotlemfcc  34478  ballotlemic  34491  ballotlem1c  34492  ballotlemsel1i  34497  ballotlemsf1o  34498  erdszelem4  35174  erdszelem8  35178  erdsze2lem2  35184  cvmliftlem2  35266  cvmliftlem6  35270  cvmliftlem8  35272  cvmliftlem9  35273  cvmliftlem10  35274  bcprod  35718  faclim  35726  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem8  37615  poimirlem9  37616  poimirlem11  37618  poimirlem13  37620  poimirlem14  37621  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem18  37625  poimirlem22  37629  poimirlem32  37639  mblfinlem2  37645  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1  42057  aks4d1p3  42059  aks4d1p4  42060  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  primrootlekpowne0  42086  hashscontpow1  42102  hashscontpow  42103  sticksstones1  42127  sticksstones2  42128  sticksstones3  42129  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  oddnumth  42292  nicomachus  42293  sumcubes  42294  eldioph3b  42746  diophin  42753  diophun  42754  eldiophss  42755  irrapxlem4  42806  sumnnodd  45621  stoweidlem34  46025  wallispilem4  46059  wallispi  46061  wallispi2lem1  46062  wallispi2  46064  stirlinglem5  46069  stirlinglem7  46071  stirlinglem10  46074  stirlinglem12  46076  fourierdlem83  46180  fourierdlem112  46209  caratheodorylem2  46518  hoidmvlelem2  46587  hoidmvlelem3  46588  stgrusgra  47951  isubgr3stgrlem7  47964  altgsumbcALT  48334  nn0sumshdiglemA  48601  nn0sumshdiglemB  48602