Theorem elfznn 13598

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13568	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13571	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12635	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  1c1 11116   ≤ cle 11259  ℕcn 12248  ℤcz 12606  ...cfz 13551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552

This theorem is used by:  elfz1end  13599  fz1ssnn  13600  bcm1k  14369  bcpasc  14375  seqcoll  14519  pfxfv0  14751  pfxfvlsw  14754  isercolllem2  15741  isercolllem3  15742  isercoll  15743  sumeq2ii  15768  summolem3  15788  summolem2a  15789  fsum  15794  sumz  15796  fsumconst  15864  o1fsum  15888  binomlem  15906  incexc2  15915  climcndslem1  15926  climcndslem2  15927  climcnds  15928  harmonic  15936  arisum2  15938  trireciplem  15939  pwdif  15945  geo2sum  15950  geo2lim  15952  prodeq2ii  15988  prodmolem3  16010  prodmolem2a  16011  fprod  16018  prod1  16021  fprodfac  16050  fprodconst  16055  risefallfac  16101  risefacfac  16111  fallfacval4  16119  bpolydiflem  16130  rpnnen2lem10  16301  fzm1ndvds  16402  pwp1fsum  16471  lcmflefac  16728  prmdvdsbc  16807  phicl  16850  prmdivdiv  16868  pcfac  16981  pcbc  16982  prmreclem2  16999  prmreclem3  17000  prmreclem4  17001  prmreclem5  17002  prmreclem6  17003  prmrec  17004  4sqlem13  17039  vdwlem2  17064  vdwlem3  17065  vdwlem10  17072  vdwlem12  17074  prmocl  17116  prmop1  17120  fvprmselelfz  17126  fvprmselgcd1  17127  prmolefac  17128  prmodvdslcmf  17129  prmgapprmo  17144  mulgnngsum  19189  mulgnnsubcl  19196  mulgnn0z  19211  mulgnndir  19213  oddvdsnn0  19658  odnncl  19659  gexcl3  19701  efgsres  19852  mulgnn0di  19939  gsumconst  20048  srgbinomlem4  20355  freshmansdream  21774  chfacfscmulgsum  23067  chfacfpmmulgsum  23071  chfacfpmmulgsum2  23072  cayhamlem1  23073  cpmadugsumlemF  23083  lebnumii  25176  ovollb2lem  25698  ovolunlem1a  25706  ovoliunlem1  25712  ovoliunlem2  25713  ovoliun2  25716  ovolscalem1  25723  ovolicc2lem4  25730  voliunlem1  25760  volsup  25766  ioombl1lem4  25771  uniioovol  25789  uniioombllem3a  25794  uniioombllem3  25795  uniioombllem4  25796  uniioombllem5  25797  uniioombllem6  25798  dvply1  26496  aaliou3lem5  26561  aaliou3lem6  26562  dvtaylp  26584  taylthlem2  26588  pserdvlem2  26642  logfac  26817  atantayl  27153  birthdaylem2  27168  emcllem1  27211  emcllem2  27212  emcllem3  27213  emcllem5  27215  emcllem7  27217  harmoniclbnd  27224  harmonicubnd  27225  harmonicbnd4  27226  fsumharmonic  27227  lgamcvg2  27270  gamcvg2lem  27274  wilthlem1  27283  wilthlem2  27284  ftalem5  27292  basellem1  27296  basellem8  27303  chpf  27338  efchpcl  27340  chpp1  27370  chpwordi  27372  prmorcht  27393  dvdsflf1o  27402  dvdsflsumcom  27403  chtlepsi  27421  fsumvma2  27429  pclogsum  27430  vmasum  27431  logfac2  27432  chpval2  27433  chpchtsum  27434  logfaclbnd  27437  logexprlim  27440  logfacrlim2  27441  pcbcctr  27491  bposlem1  27499  bposlem2  27500  lgscllem  27519  lgsval2lem  27522  lgsval4a  27534  lgsneg  27536  lgsdir  27547  lgsdilem2  27548  lgsdi  27549  lgsne0  27550  lgsqrlem2  27562  lgseisenlem1  27590  lgseisenlem2  27591  lgseisenlem3  27592  lgseisenlem4  27593  lgseisen  27594  lgsquadlem1  27595  lgsquadlem2  27596  lgsquadlem3  27597  2lgslem1a1  27604  chebbnd1lem1  27684  vmadivsum  27697  vmadivsumb  27698  rplogsumlem2  27700  dchrisum0lem1a  27701  rpvmasumlem  27702  dchrisumlem2  27705  dchrmusum2  27709  dchrvmasumlem1  27710  dchrvmasum2lem  27711  dchrvmasum2if  27712  dchrvmasumlem2  27713  dchrvmasumlem3  27714  dchrvmasumiflem1  27716  dchrvmasumiflem2  27717  dchrisum0fno1  27726  rpvmasum2  27727  dchrisum0re  27728  dchrisum0lem1b  27730  dchrisum0lem1  27731  dchrisum0lem2a  27732  dchrisum0lem2  27733  dchrisum0lem3  27734  dchrisum0  27735  dchrmusumlem  27737  dchrvmasumlem  27738  rplogsum  27742  mudivsum  27745  mulogsumlem  27746  mulogsum  27747  mulog2sumlem1  27749  mulog2sumlem2  27750  mulog2sumlem3  27751  vmalogdivsum2  27753  vmalogdivsum  27754  2vmadivsumlem  27755  log2sumbnd  27759  selberglem1  27760  selberglem2  27761  selberglem3  27762  selberg  27763  selbergb  27764  selberg2lem  27765  selberg2  27766  selberg2b  27767  chpdifbndlem1  27768  logdivbnd  27771  selberg3lem1  27772  selberg3lem2  27773  selberg3  27774  selberg4lem1  27775  selberg4  27776  pntrsumo1  27780  pntrsumbnd  27781  pntrsumbnd2  27782  selbergr  27783  selberg3r  27784  selberg4r  27785  selberg34r  27786  pntsf  27788  pntsval2  27791  pntrlog2bndlem1  27792  pntrlog2bndlem2  27793  pntrlog2bndlem3  27794  pntrlog2bndlem4  27795  pntrlog2bndlem5  27796  pntrlog2bndlem6  27798  pntrlog2bnd  27799  pntpbnd2  27802  pntlemf  27820  pntlemk  27821  pntlemo  27822  eucrct2eupth  30667  dipcl  31135  dipcn  31143  gsummptp1  33441  gsummulsubdishift1  33452  esplyind  34029  esumpcvgval  34532  esumpmono  34533  esumcvg  34540  esumcvgsum  34542  eulerpartlemgc  34817  ballotlemfc0  34948  ballotlemfcc  34949  ballotlemic  34962  ballotlem1c  34963  ballotlemsel1i  34968  ballotlemsf1o  34969  erdszelem4  35723  erdszelem8  35727  erdsze2lem2  35733  cvmliftlem2  35815  cvmliftlem6  35819  cvmliftlem8  35821  cvmliftlem9  35822  cvmliftlem10  35823  bcprod  36267  faclim  36275  poimirlem6  38334  poimirlem7  38335  poimirlem8  38336  poimirlem9  38337  poimirlem11  38339  poimirlem13  38341  poimirlem14  38342  poimirlem15  38343  poimirlem16  38344  poimirlem17  38345  poimirlem18  38346  poimirlem22  38350  poimirlem32  38360  mblfinlem2  38366  aks4d1p1p2  42895  aks4d1p1p4  42896  aks4d1p1  42901  aks4d1p3  42903  aks4d1p4  42904  aks4d1p5  42905  aks4d1p6  42906  aks4d1p7d1  42907  aks4d1p7  42908  aks4d1p8  42912  aks4d1p9  42913  primrootlekpowne0  42930  hashscontpow1  42946  hashscontpow  42947  sticksstones1  42971  sticksstones2  42972  sticksstones3  42973  sticksstones6  42976  sticksstones7  42977  sticksstones10  42980  sticksstones12a  42982  sticksstones12  42983  oddnumth  43130  nicomachus  43131  sumcubes  43132  eldioph3b  43554  diophin  43561  diophun  43562  eldiophss  43563  irrapxlem4  43610  sumnnodd  46404  stoweidlem34  46806  wallispilem4  46840  wallispi  46842  wallispi2lem1  46843  wallispi2  46845  stirlinglem5  46850  stirlinglem7  46852  stirlinglem10  46855  stirlinglem12  46857  fourierdlem83  46961  fourierdlem112  46990  caratheodorylem2  47299  hoidmvlelem2  47368  hoidmvlelem3  47369  elfz2nn  48117  stgrusgra  48782  isubgr3stgrlem7  48795  altgsumbcALT  49190  nn0sumshdiglemA  49456  nn0sumshdiglemB  49457