Theorem elfznn 13534

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13505	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13508	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12592	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  1c1 11113   ≤ cle 11253  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ...cfz 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489

This theorem is referenced by:  elfz1end  13535  fz1ssnn  13536  bcm1k  14279  bcpasc  14285  seqcoll  14429  pfxfv0  14646  pfxfvlsw  14649  isercolllem2  15616  isercolllem3  15617  isercoll  15618  sumeq2ii  15643  summolem3  15664  summolem2a  15665  fsum  15670  sumz  15672  fsumconst  15740  o1fsum  15763  binomlem  15779  incexc2  15788  climcndslem1  15799  climcndslem2  15800  climcnds  15801  harmonic  15809  arisum2  15811  trireciplem  15812  pwdif  15818  geo2sum  15823  geo2lim  15825  prodeq2ii  15861  prodmolem3  15881  prodmolem2a  15882  fprod  15889  prod1  15892  fprodfac  15921  fprodconst  15926  risefallfac  15972  risefacfac  15983  fallfacval4  15991  bpolydiflem  16002  rpnnen2lem10  16170  fzm1ndvds  16269  pwp1fsum  16338  lcmflefac  16589  phicl  16706  prmdivdiv  16724  pcfac  16836  pcbc  16837  prmreclem2  16854  prmreclem3  16855  prmreclem4  16856  prmreclem5  16857  prmreclem6  16858  prmrec  16859  4sqlem13  16894  vdwlem2  16919  vdwlem3  16920  vdwlem10  16927  vdwlem12  16929  prmocl  16971  prmop1  16975  fvprmselelfz  16981  fvprmselgcd1  16982  prmolefac  16983  prmodvdslcmf  16984  prmgapprmo  16999  mulgnngsum  18995  mulgnnsubcl  19002  mulgnn0z  19017  mulgnndir  19019  oddvdsnn0  19453  odnncl  19454  gexcl3  19496  efgsres  19647  mulgnn0di  19734  gsumconst  19843  srgbinomlem4  20123  chfacfscmulgsum  22582  chfacfpmmulgsum  22586  chfacfpmmulgsum2  22587  cayhamlem1  22588  cpmadugsumlemF  22598  lebnumii  24712  ovollb2lem  25237  ovolunlem1a  25245  ovoliunlem1  25251  ovoliunlem2  25252  ovoliun2  25255  ovolscalem1  25262  ovolicc2lem4  25269  voliunlem1  25299  volsup  25305  ioombl1lem4  25310  uniioovol  25328  uniioombllem3a  25333  uniioombllem3  25334  uniioombllem4  25335  uniioombllem5  25336  uniioombllem6  25337  dvply1  26033  aaliou3lem5  26096  aaliou3lem6  26097  dvtaylp  26118  taylthlem2  26122  pserdvlem2  26176  logfac  26345  atantayl  26678  birthdaylem2  26693  emcllem1  26736  emcllem2  26737  emcllem3  26738  emcllem5  26740  emcllem7  26742  harmoniclbnd  26749  harmonicubnd  26750  harmonicbnd4  26751  fsumharmonic  26752  lgamcvg2  26795  gamcvg2lem  26799  wilthlem1  26808  wilthlem2  26809  ftalem5  26817  basellem1  26821  basellem8  26828  chpf  26863  efchpcl  26865  chpp1  26895  chpwordi  26897  prmorcht  26918  dvdsflf1o  26927  dvdsflsumcom  26928  chtlepsi  26945  fsumvma2  26953  pclogsum  26954  vmasum  26955  logfac2  26956  chpval2  26957  chpchtsum  26958  logfaclbnd  26961  logexprlim  26964  logfacrlim2  26965  pcbcctr  27015  bposlem1  27023  bposlem2  27024  lgscllem  27043  lgsval2lem  27046  lgsval4a  27058  lgsneg  27060  lgsdir  27071  lgsdilem2  27072  lgsdi  27073  lgsne0  27074  lgsqrlem2  27086  lgseisenlem1  27114  lgseisenlem2  27115  lgseisenlem3  27116  lgseisenlem4  27117  lgseisen  27118  lgsquadlem1  27119  lgsquadlem2  27120  lgsquadlem3  27121  2lgslem1a1  27128  chebbnd1lem1  27208  vmadivsum  27221  vmadivsumb  27222  rplogsumlem2  27224  dchrisum0lem1a  27225  rpvmasumlem  27226  dchrisumlem2  27229  dchrmusum2  27233  dchrvmasumlem1  27234  dchrvmasum2lem  27235  dchrvmasum2if  27236  dchrvmasumlem2  27237  dchrvmasumlem3  27238  dchrvmasumiflem1  27240  dchrvmasumiflem2  27241  dchrisum0fno1  27250  rpvmasum2  27251  dchrisum0re  27252  dchrisum0lem1b  27254  dchrisum0lem1  27255  dchrisum0lem2a  27256  dchrisum0lem2  27257  dchrisum0lem3  27258  dchrisum0  27259  dchrmusumlem  27261  dchrvmasumlem  27262  rplogsum  27266  mudivsum  27269  mulogsumlem  27270  mulogsum  27271  mulog2sumlem1  27273  mulog2sumlem2  27274  mulog2sumlem3  27275  vmalogdivsum2  27277  vmalogdivsum  27278  2vmadivsumlem  27279  log2sumbnd  27283  selberglem1  27284  selberglem2  27285  selberglem3  27286  selberg  27287  selbergb  27288  selberg2lem  27289  selberg2  27290  selberg2b  27291  chpdifbndlem1  27292  logdivbnd  27295  selberg3lem1  27296  selberg3lem2  27297  selberg3  27298  selberg4lem1  27299  selberg4  27300  pntrsumo1  27304  pntrsumbnd  27305  pntrsumbnd2  27306  selbergr  27307  selberg3r  27308  selberg4r  27309  selberg34r  27310  pntsf  27312  pntsval2  27315  pntrlog2bndlem1  27316  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem3  27318  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntrlog2bndlem6  27322  pntrlog2bnd  27323  pntpbnd2  27326  pntlemf  27344  pntlemk  27345  pntlemo  27346  eucrct2eupth  29765  dipcl  30232  dipcn  30240  prmdvdsbc  32289  freshmansdream  32651  esumpcvgval  33374  esumpmono  33375  esumcvg  33382  esumcvgsum  33384  eulerpartlemgc  33659  ballotlemfc0  33789  ballotlemfcc  33790  ballotlemic  33803  ballotlem1c  33804  ballotlemsel1i  33809  ballotlemsf1o  33810  erdszelem4  34483  erdszelem8  34487  erdsze2lem2  34493  cvmliftlem2  34575  cvmliftlem6  34579  cvmliftlem8  34581  cvmliftlem9  34582  cvmliftlem10  34583  bcprod  35012  faclim  35020  poimirlem6  36797  poimirlem7  36798  poimirlem8  36799  poimirlem9  36800  poimirlem11  36802  poimirlem13  36804  poimirlem14  36805  poimirlem15  36806  poimirlem16  36807  poimirlem17  36808  poimirlem18  36809  poimirlem22  36813  poimirlem32  36823  mblfinlem2  36829  aks4d1p1p2  41241  aks4d1p1p4  41242  aks4d1p1  41247  aks4d1p3  41249  aks4d1p4  41250  aks4d1p5  41251  aks4d1p6  41252  aks4d1p7d1  41253  aks4d1p7  41254  aks4d1p8  41258  aks4d1p9  41259  sticksstones1  41268  sticksstones2  41269  sticksstones3  41270  sticksstones6  41273  sticksstones7  41274  sticksstones10  41277  sticksstones12a  41279  sticksstones12  41280  metakunt1  41291  metakunt2  41292  metakunt6  41296  metakunt7  41297  metakunt8  41298  metakunt9  41299  metakunt11  41301  metakunt15  41305  metakunt16  41306  metakunt21  41311  metakunt22  41312  metakunt27  41317  metakunt29  41319  metakunt30  41320  oddnumth  41511  nicomachus  41512  sumcubes  41513  eldioph3b  41805  diophin  41812  diophun  41813  eldiophss  41814  irrapxlem4  41865  sumnnodd  44644  stoweidlem34  45048  wallispilem4  45082  wallispi  45084  wallispi2lem1  45085  wallispi2  45087  stirlinglem5  45092  stirlinglem7  45094  stirlinglem10  45097  stirlinglem12  45099  fourierdlem83  45203  fourierdlem112  45232  caratheodorylem2  45541  hoidmvlelem2  45610  hoidmvlelem3  45611  altgsumbcALT  47117  nn0sumshdiglemA  47392  nn0sumshdiglemB  47393