Theorem elfznn 13507

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13478	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13481	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12553	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  1c1 11039   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  elfz1end  13508  fz1ssnn  13509  bcm1k  14277  bcpasc  14283  seqcoll  14426  pfxfv0  14654  pfxfvlsw  14657  isercolllem2  15628  isercolllem3  15629  isercoll  15630  sumeq2ii  15655  summolem3  15676  summolem2a  15677  fsum  15682  sumz  15684  fsumconst  15752  o1fsum  15776  binomlem  15794  incexc2  15803  climcndslem1  15814  climcndslem2  15815  climcnds  15816  harmonic  15824  arisum2  15826  trireciplem  15827  pwdif  15833  geo2sum  15838  geo2lim  15840  prodeq2ii  15876  prodmolem3  15898  prodmolem2a  15899  fprod  15906  prod1  15909  fprodfac  15938  fprodconst  15943  risefallfac  15989  risefacfac  16000  fallfacval4  16008  bpolydiflem  16019  rpnnen2lem10  16190  fzm1ndvds  16291  pwp1fsum  16360  lcmflefac  16617  prmdvdsbc  16696  phicl  16739  prmdivdiv  16757  pcfac  16870  pcbc  16871  prmreclem2  16888  prmreclem3  16889  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  prmrec  16893  4sqlem13  16928  vdwlem2  16953  vdwlem3  16954  vdwlem10  16961  vdwlem12  16963  prmocl  17005  prmop1  17009  fvprmselelfz  17015  fvprmselgcd1  17016  prmolefac  17017  prmodvdslcmf  17018  prmgapprmo  17033  mulgnngsum  19055  mulgnnsubcl  19062  mulgnn0z  19077  mulgnndir  19079  oddvdsnn0  19519  odnncl  19520  gexcl3  19562  efgsres  19713  mulgnn0di  19800  gsumconst  19909  srgbinomlem4  20210  freshmansdream  21554  chfacfscmulgsum  22825  chfacfpmmulgsum  22829  chfacfpmmulgsum2  22830  cayhamlem1  22831  cpmadugsumlemF  22841  lebnumii  24933  ovollb2lem  25455  ovolunlem1a  25463  ovoliunlem1  25469  ovoliunlem2  25470  ovoliun2  25473  ovolscalem1  25480  ovolicc2lem4  25487  voliunlem1  25517  volsup  25523  ioombl1lem4  25528  uniioovol  25546  uniioombllem3a  25551  uniioombllem3  25552  uniioombllem4  25553  uniioombllem5  25554  uniioombllem6  25555  dvply1  26250  aaliou3lem5  26313  aaliou3lem6  26314  dvtaylp  26335  taylthlem2  26339  pserdvlem2  26393  logfac  26565  atantayl  26901  birthdaylem2  26916  emcllem1  26959  emcllem2  26960  emcllem3  26961  emcllem5  26963  emcllem7  26965  harmoniclbnd  26972  harmonicubnd  26973  harmonicbnd4  26974  fsumharmonic  26975  lgamcvg2  27018  gamcvg2lem  27022  wilthlem1  27031  wilthlem2  27032  ftalem5  27040  basellem1  27044  basellem8  27051  chpf  27086  efchpcl  27088  chpp1  27118  chpwordi  27120  prmorcht  27141  dvdsflf1o  27150  dvdsflsumcom  27151  chtlepsi  27169  fsumvma2  27177  pclogsum  27178  vmasum  27179  logfac2  27180  chpval2  27181  chpchtsum  27182  logfaclbnd  27185  logexprlim  27188  logfacrlim2  27189  pcbcctr  27239  bposlem1  27247  bposlem2  27248  lgscllem  27267  lgsval2lem  27270  lgsval4a  27282  lgsneg  27284  lgsdir  27295  lgsdilem2  27296  lgsdi  27297  lgsne0  27298  lgsqrlem2  27310  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem3  27340  lgseisenlem4  27341  lgseisen  27342  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  lgsquadlem3  27345  2lgslem1a1  27352  chebbnd1lem1  27432  vmadivsum  27445  vmadivsumb  27446  rplogsumlem2  27448  dchrisum0lem1a  27449  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem2  27453  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem1  27458  dchrvmasum2lem  27459  dchrvmasum2if  27460  dchrvmasumlem2  27461  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmasumiflem2  27465  dchrisum0fno1  27474  rpvmasum2  27475  dchrisum0re  27476  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  dchrisum0  27483  dchrmusumlem  27485  dchrvmasumlem  27486  rplogsum  27490  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  mulogsum  27495  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  mulog2sumlem3  27499  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  log2sumbnd  27507  selberglem1  27508  selberglem2  27509  selberglem3  27510  selberg  27511  selbergb  27512  selberg2lem  27513  selberg2  27514  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  logdivbnd  27519  selberg3lem1  27520  selberg3lem2  27521  selberg3  27522  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrsumo1  27528  pntrsumbnd  27529  pntrsumbnd2  27530  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntsf  27536  pntsval2  27539  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd2  27550  pntlemf  27568  pntlemk  27569  pntlemo  27570  eucrct2eupth  30315  dipcl  30783  dipcn  30791  gsummptp1  33118  gsummulsubdishift1  33129  esplyind  33719  esumpcvgval  34222  esumpmono  34223  esumcvg  34230  esumcvgsum  34232  eulerpartlemgc  34506  ballotlemfc0  34637  ballotlemfcc  34638  ballotlemic  34651  ballotlem1c  34652  ballotlemsel1i  34657  ballotlemsf1o  34658  erdszelem4  35376  erdszelem8  35380  erdsze2lem2  35386  cvmliftlem2  35468  cvmliftlem6  35472  cvmliftlem8  35474  cvmliftlem9  35475  cvmliftlem10  35476  bcprod  35920  faclim  35928  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  poimirlem9  37950  poimirlem11  37952  poimirlem13  37954  poimirlem14  37955  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem18  37959  poimirlem22  37963  poimirlem32  37973  mblfinlem2  37979  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1  42515  aks4d1p3  42517  aks4d1p4  42518  aks4d1p5  42519  aks4d1p6  42520  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  primrootlekpowne0  42544  hashscontpow1  42560  hashscontpow  42561  sticksstones1  42585  sticksstones2  42586  sticksstones3  42587  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  oddnumth  42743  nicomachus  42744  sumcubes  42745  eldioph3b  43197  diophin  43204  diophun  43205  eldiophss  43206  irrapxlem4  43253  sumnnodd  46060  stoweidlem34  46462  wallispilem4  46496  wallispi  46498  wallispi2lem1  46499  wallispi2  46501  stirlinglem5  46506  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  stirlinglem12  46513  fourierdlem83  46617  fourierdlem112  46646  caratheodorylem2  46955  hoidmvlelem2  47024  hoidmvlelem3  47025  elfz2nn  47770  stgrusgra  48435  isubgr3stgrlem7  48448  altgsumbcALT  48829  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096