Theorem elfznn 13727

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13696	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 13700	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 12762	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  1c1 11240   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℤcz 12733  ...cfz 13679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680

This theorem is used by:  elfz1end  13728  fz1ssnn  13729  bcm1k  14500  bcpasc  14506  seqcoll  14650  pfxfv0  14883  pfxfvlsw  14886  isercolllem2  15877  isercolllem3  15878  isercoll  15879  sumeq2ii  15904  summolem3  15924  summolem2a  15925  fsum  15930  sumz  15932  fsumconst  16000  o1fsum  16024  binomlem  16042  incexc2  16051  climcndslem1  16062  climcndslem2  16063  climcnds  16064  harmonic  16072  arisum2  16074  trireciplem  16075  pwdif  16081  geo2sum  16086  geo2lim  16088  prodeq2ii  16124  prodmolem3  16144  prodmolem2a  16145  fprod  16152  prod1  16155  fprodfac  16184  fprodconst  16189  risefallfac  16235  risefacfac  16245  fallfacval4  16253  bpolydiflem  16264  rpnnen2lem10  16435  fzm1ndvds  16536  pwp1fsum  16605  lcmflefac  16867  prmdvdsbc  16946  phicl  16990  prmdivdiv  17008  pcfac  17121  pcbc  17122  prmreclem2  17139  prmreclem3  17140  prmreclem4  17141  prmreclem5  17142  prmreclem6  17143  prmrec  17144  4sqlem13  17179  vdwlem2  17204  vdwlem3  17205  vdwlem10  17212  vdwlem12  17214  prmocl  17256  prmop1  17260  fvprmselelfz  17266  fvprmselgcd1  17267  prmolefac  17268  prmodvdslcmf  17269  prmgapprmo  17284  mulgnngsum  19339  mulgnnsubcl  19346  mulgnn0z  19361  mulgnndir  19363  oddvdsnn0  19809  odnncl  19810  gexcl3  19852  efgsres  20003  mulgnn0di  20090  gsumconst  20199  srgbinomlem4  20506  freshmansdream  21935  chfacfscmulgsum  23233  chfacfpmmulgsum  23237  chfacfpmmulgsum2  23238  cayhamlem1  23239  cpmadugsumlemF  23249  lebnumii  25342  ovollb2lem  25864  ovolunlem1a  25872  ovoliunlem1  25878  ovoliunlem2  25879  ovoliun2  25882  ovolscalem1  25889  ovolicc2lem4  25896  voliunlem1  25926  volsup  25932  ioombl1lem4  25937  uniioovol  25955  uniioombllem3a  25960  uniioombllem3  25961  uniioombllem4  25962  uniioombllem5  25963  uniioombllem6  25964  dvply1  26660  aaliou3lem5  26731  aaliou3lem6  26732  dvtaylp  26754  taylthlem2  26758  pserdvlem2  26812  logfac  26986  atantayl  27322  birthdaylem2  27337  emcllem1  27380  emcllem2  27381  emcllem3  27382  emcllem5  27384  emcllem7  27386  harmoniclbnd  27393  harmonicubnd  27394  harmonicbnd4  27395  fsumharmonic  27396  lgamcvg2  27439  gamcvg2lem  27443  wilthlem1  27452  wilthlem2  27453  ftalem5  27461  basellem1  27465  basellem8  27472  chpf  27507  efchpcl  27509  chpp1  27539  chpwordi  27541  prmorcht  27562  dvdsflf1o  27571  dvdsflsumcom  27572  chtlepsi  27590  fsumvma2  27598  pclogsum  27599  vmasum  27600  logfac2  27601  chpval2  27602  chpchtsum  27603  logfaclbnd  27606  logexprlim  27609  logfacrlim2  27610  pcbcctr  27660  bposlem1  27668  bposlem2  27669  lgscllem  27688  lgsval2lem  27691  lgsval4a  27703  lgsneg  27705  lgsdir  27716  lgsdilem2  27717  lgsdi  27718  lgsne0  27719  lgsqrlem2  27731  lgseisenlem1  27759  lgseisenlem2  27760  lgseisenlem3  27761  lgseisenlem4  27762  lgseisen  27763  lgsquadlem1  27764  lgsquadlem2  27765  lgsquadlem3  27766  2lgslem1a1  27773  chebbnd1lem1  27853  vmadivsum  27866  vmadivsumb  27867  rplogsumlem2  27869  dchrisum0lem1a  27870  rpvmasumlem  27871  dchrisumlem2  27874  dchrmusum2  27878  dchrvmasumlem1  27879  dchrvmasum2lem  27880  dchrvmasum2if  27881  dchrvmasumlem2  27882  dchrvmasumlem3  27883  dchrvmasumiflem1  27885  dchrvmasumiflem2  27886  dchrisum0fno1  27895  rpvmasum2  27896  dchrisum0re  27897  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  dchrisum0lem2  27902  dchrisum0lem3  27903  dchrisum0  27904  dchrmusumlem  27906  dchrvmasumlem  27907  rplogsum  27911  mudivsum  27914  mulogsumlem  27915  mulogsum  27916  mulog2sumlem1  27918  mulog2sumlem2  27919  mulog2sumlem3  27920  vmalogdivsum2  27922  vmalogdivsum  27923  2vmadivsumlem  27924  log2sumbnd  27928  selberglem1  27929  selberglem2  27930  selberglem3  27931  selberg  27932  selbergb  27933  selberg2lem  27934  selberg2  27935  selberg2b  27936  chpdifbndlem1  27937  logdivbnd  27940  selberg3lem1  27941  selberg3lem2  27942  selberg3  27943  selberg4lem1  27944  selberg4  27945  pntrsumo1  27949  pntrsumbnd  27950  pntrsumbnd2  27951  selbergr  27952  selberg3r  27953  selberg4r  27954  selberg34r  27955  pntsf  27957  pntsval2  27960  pntrlog2bndlem1  27961  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem3  27963  pntrlog2bndlem4  27964  pntrlog2bndlem5  27965  pntrlog2bndlem6  27967  pntrlog2bnd  27968  pntpbnd2  27971  pntlemf  27989  pntlemk  27990  pntlemo  27991  eucrct2eupth  30903  dipcl  31371  dipcn  31379  gsummptp1  33717  gsummulsubdishift1  33728  esplyind  34318  esumpcvgval  34821  esumpmono  34822  esumcvg  34829  esumcvgsum  34831  eulerpartlemgc  35105  ballotlemfc0  35236  ballotlemfcc  35237  ballotlemic  35250  ballotlem1c  35251  ballotlemsel1i  35256  ballotlemsf1o  35257  erdszelem4  36167  erdszelem8  36171  erdsze2lem2  36177  cvmliftlem2  36259  cvmliftlem6  36263  cvmliftlem8  36265  cvmliftlem9  36266  cvmliftlem10  36267  bcprod  36718  faclim  36726  poimirlem6  38812  poimirlem7  38813  poimirlem8  38814  poimirlem9  38815  poimirlem11  38817  poimirlem13  38819  poimirlem14  38820  poimirlem15  38821  poimirlem16  38822  poimirlem17  38823  poimirlem18  38824  poimirlem22  38828  poimirlem32  38838  mblfinlem2  38844  aks4d1p1p2  43386  aks4d1p1p4  43387  aks4d1p1  43392  aks4d1p3  43394  aks4d1p4  43395  aks4d1p5  43396  aks4d1p6  43397  aks4d1p7d1  43398  aks4d1p7  43399  aks4d1p8  43403  aks4d1p9  43404  primrootlekpowne0  43421  hashscontpow1  43437  hashscontpow  43438  sticksstones1  43462  sticksstones2  43463  sticksstones3  43464  sticksstones6  43467  sticksstones7  43468  sticksstones10  43471  sticksstones12a  43473  sticksstones12  43474  oddnumth  43634  nicomachus  43635  sumcubes  43636  eldioph3b  44042  diophin  44049  diophun  44050  eldiophss  44051  irrapxlem4  44098  sumnnodd  46915  stoweidlem34  47317  wallispilem4  47351  wallispi  47353  wallispi2lem1  47354  wallispi2  47356  stirlinglem5  47361  stirlinglem7  47363  stirlinglem10  47366  stirlinglem12  47368  fourierdlem83  47472  fourierdlem112  47501  caratheodorylem2  47810  hoidmvlelem2  47879  hoidmvlelem3  47880  elfz2nn  48665  stgrusgra  49330  isubgr3stgrlem7  49343  altgsumbcALT  49796  nn0sumshdiglemA  50062  nn0sumshdiglemB  50063