MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsprmop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsprmop 16849
Description: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by a prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmop ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmop
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfz 16515 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
2 simprl 769 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝𝑁)
3 simprr 771 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝𝐼)
4 prmz 16485 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
54ad2antlr 725 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∈ ℤ)
6 nnnn0 12353 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 prmocl 16840 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℕ)
98nnzd 12538 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℤ)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
1110adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
13 elfzelz 13369 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
1413ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℤ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝐼 ∈ ℤ)
16 prmdvdsprmo 16848 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)))
17 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝑁𝑝𝑁))
18 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ (#p𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (#p𝑁)))
1917, 18imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)) ↔ (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
2019rspcv 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
2116, 20syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
2322imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
2423adantrd 492 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑁𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ (#p𝑁)))
2524imp 407 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∥ (#p𝑁))
265, 12, 15, 25, 3dvds2addd 16108 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))
272, 3, 263jca 1128 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
2827ex 413 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑁𝑝𝐼) → (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))))
2928reximdva 3163 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))))
301, 29mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5103  cfv 6491  (class class class)co 7349   + caddc 10987  cle 11123  cn 12086  2c2 12141  0cn0 12346  cz 12432  ...cfz 13352  cdvds 16070  cprime 16481  #pcprmo 16837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-prod 15723  df-dvds 16071  df-prm 16482  df-prmo 16838
This theorem is referenced by:  prmgapprmolem  16867
  Copyright terms: Public domain W3C validator