Theorem prmdvdsprmop 17020

Description: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number is divisible by a prime less than or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmop	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmop

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfz 16681	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
2		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
3		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ 𝐼)
4		prmz 16651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∈ ℤ)
6		nnnn0 12455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		prmocl 17011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
13		elfzelz 13491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℤ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝐼 ∈ ℤ)
16		prmdvdsprmo 17019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)))
17		breq1 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑁 ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
18		breq1 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
19	17, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
20	19	rspcv 3587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
21	16, 20	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
23	22	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
24	23	adantrd 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
25	24	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))
26	5, 12, 15, 25, 3	dvds2addd 16268	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))
27	2, 3, 26	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
28	27	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))))
29	28	reximdva 3147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))))
30	1, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   + caddc 11077   ≤ cle 11215  ℕcn 12187  2c2 12242  ℕ₀cn0 12448  ℤcz 12535  ...cfz 13474   ∥ cdvds 16228  ℙcprime 16647  #_pcprmo 17008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-prod 15876  df-dvds 16229  df-prm 16648  df-prmo 17009

This theorem is referenced by:  prmgapprmolem  17038