Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsprmop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsprmop 16375
 Description: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by a prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmop ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmop
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfz 16045 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
2 simprl 770 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝𝑁)
3 simprr 772 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝𝐼)
4 prmdvdsprmo 16374 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)))
5 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝑁𝑝𝑁))
6 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ (#p𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (#p𝑁)))
75, 6imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)) ↔ (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
87rspcv 3604 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
94, 8syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
109adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
1110imp 410 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
1211adantrd 495 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑁𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ (#p𝑁)))
1312imp 410 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∥ (#p𝑁))
14 prmz 16015 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1514ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∈ ℤ)
16 nnnn0 11899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 prmocl 16366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1918nnzd 12081 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2019adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2120adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2221adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
23 elfzelz 12909 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2423ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℤ)
2524adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝐼 ∈ ℤ)
26 dvds2add 15641 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (#p𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (#p𝑁) ∧ 𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
2715, 22, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → ((𝑝 ∥ (#p𝑁) ∧ 𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
2813, 3, 27mp2and 698 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))
292, 3, 283jca 1125 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
3029ex 416 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑁𝑝𝐼) → (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))))
3130reximdva 3267 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))))
321, 31mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   + caddc 10534   ≤ cle 10670  ℕcn 11632  2c2 11687  ℕ0cn0 11892  ℤcz 11976  ...cfz 12892   ∥ cdvds 15605  ℙcprime 16011  #pcprmo 16363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-prod 15258  df-dvds 15606  df-prm 16012  df-prmo 16364 This theorem is referenced by:  prmgapprmolem  16393
 Copyright terms: Public domain W3C validator