MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsprmop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsprmop 15954
Description: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by a prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmop ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmop
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfz 15624 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
2 simprl 754 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝𝑁)
3 simprr 756 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝𝐼)
4 prmdvdsprmo 15953 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)))
5 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝑁𝑝𝑁))
6 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ (#p𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (#p𝑁)))
75, 6imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)) ↔ (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
87rspcv 3456 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
94, 8syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
109adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
1110imp 393 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
1211adantrd 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑁𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ (#p𝑁)))
1312imp 393 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∥ (#p𝑁))
14 prmz 15596 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1514ad2antlr 706 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∈ ℤ)
16 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 prmocl 15945 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1918nnzd 11683 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2019adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2120adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2221adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
23 elfzelz 12549 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2423ad2antlr 706 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℤ)
2524adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝐼 ∈ ℤ)
26 dvds2add 15224 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (#p𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (#p𝑁) ∧ 𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
2715, 22, 25, 26syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → ((𝑝 ∥ (#p𝑁) ∧ 𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
2813, 3, 27mp2and 679 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))
292, 3, 283jca 1122 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
3029ex 397 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑁𝑝𝐼) → (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))))
3130reximdva 3165 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))))
321, 31mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793   + caddc 10141  cle 10277  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  ...cfz 12533  cdvds 15189  cprime 15592  #pcprmo 15942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843  df-dvds 15190  df-prm 15593  df-prmo 15943
This theorem is referenced by:  prmgapprmolem  15972
  Copyright terms: Public domain W3C validator