Theorem prmdvdsprmop 17014

Description: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number is divisible by a prime less than or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmop	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmop

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfz 16675	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
2		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
3		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ 𝐼)
4		prmz 16644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∈ ℤ)
6		nnnn0 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		prmocl 17005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
13		elfzelz 13478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
14	13	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℤ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝐼 ∈ ℤ)
16		prmdvdsprmo 17013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)))
17		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑁 ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
18		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
19	17, 18	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
20	19	rspcv 3560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
21	16, 20	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
23	22	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
24	23	adantrd 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
25	24	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))
26	5, 12, 15, 25, 3	dvds2addd 16261	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))
27	2, 3, 26	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
28	27	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))))
29	28	reximdva 3150	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))))
30	1, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   + caddc 11041   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640  #_pcprmo 17002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-dvds 16222  df-prm 16641  df-prmo 17003

This theorem is referenced by:  prmgapprmolem  17032