Theorem prmdvdsprmop 17104

Description: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number is divisible by a prime less than or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmop	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmop

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfz 16765	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
2		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
3		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ 𝐼)
4		prmz 16734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∈ ℤ)
6		nnnn0 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		prmocl 17095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
10	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
11	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
12	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
13		elfzelz 13553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
14	13	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℤ)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝐼 ∈ ℤ)
16		prmdvdsprmo 17103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)))
17		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑁 ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
18		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
19	17, 18	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
20	19	rspcv 3578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
21	16, 20	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
23	22	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
24	23	adantrd 496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
25	24	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))
26	5, 12, 15, 25, 3	dvds2addd 16351	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))
27	2, 3, 26	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
28	27	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))))
29	28	reximdva 3178	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))))
30	1, 29	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   + caddc 11104   ≤ cle 11245  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ...cfz 13536   ∥ cdvds 16311  ℙcprime 16730  #_pcprmo 17092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-prod 15960  df-dvds 16312  df-prm 16731  df-prmo 17093

This theorem is referenced by:  prmgapprmolem  17122