MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsprmop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsprmop 16367
Description: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by a prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmop ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmop
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfz 16037 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
2 simprl 767 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝𝑁)
3 simprr 769 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝𝐼)
4 prmdvdsprmo 16366 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)))
5 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝑁𝑝𝑁))
6 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ (#p𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (#p𝑁)))
75, 6imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)) ↔ (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
87rspcv 3615 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝑁𝑞 ∥ (#p𝑁)) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
94, 8syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
109adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁))))
1110imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
1211adantrd 492 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑁𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ (#p𝑁)))
1312imp 407 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∥ (#p𝑁))
14 prmz 16007 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1514ad2antlr 723 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∈ ℤ)
16 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 prmocl 16358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1918nnzd 12074 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2120adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → (#p𝑁) ∈ ℤ)
23 elfzelz 12896 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2423ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℤ)
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝐼 ∈ ℤ)
26 dvds2add 15631 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (#p𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (#p𝑁) ∧ 𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
2715, 22, 25, 26syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → ((𝑝 ∥ (#p𝑁) ∧ 𝑝𝐼) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
2813, 3, 27mp2and 695 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))
292, 3, 283jca 1120 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼)) → (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
3029ex 413 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑁𝑝𝐼) → (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))))
3130reximdva 3271 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))))
321, 31mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   + caddc 10528  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  cdvds 15595  cprime 16003  #pcprmo 16355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-prod 15248  df-dvds 15596  df-prm 16004  df-prmo 16356
This theorem is referenced by:  prmgapprmolem  16385
  Copyright terms: Public domain W3C validator