Theorem prmdvdsprmop 17141

Description: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number is divisible by a prime less than or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmop	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmop

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfz 16802	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
2		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
3		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ 𝐼)
4		prmz 16771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∈ ℤ)
6		nnnn0 12539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		prmocl 17132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
13		elfzelz 13582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
14	13	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℤ)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝐼 ∈ ℤ)
16		prmdvdsprmo 17140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)))
17		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑁 ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
18		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
19	17, 18	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
20	19	rspcv 3575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ≤ 𝑁 → 𝑞 ∥ (#p‘𝑁)) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
21	16, 20	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))))
23	22	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
24	23	adantrd 497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
25	24	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))
26	5, 12, 15, 25, 3	dvds2addd 16388	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))
27	2, 3, 26	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
28	27	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))))
29	28	reximdva 3177	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))))
30	1, 29	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   + caddc 11131   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ...cfz 13565   ∥ cdvds 16348  ℙcprime 16767  #_pcprmo 17129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-prod 15997  df-dvds 16349  df-prm 16768  df-prmo 17130

This theorem is used by:  prmgapprmolem  17159