Theorem fvprmselgcd1 16746

Description: The greatest common divisor of two values of the prime selection function for different arguments is 1. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselgcd1	⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋   𝑚,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselgcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
3		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
4	2, 3	ifbieq1d 4483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
5		iftrue 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
6	5	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	4, 6	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
8		elfznn 13285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	1, 7, 10, 10	fvmptd2 6883	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
12		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑌 ∈ ℙ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → 𝑚 = 𝑌)
14	12, 13	ifbieq1d 4483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1))
15		iftrue 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
16	15	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
18		elfznn 13285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝑁) → 𝑌 ∈ ℕ)
19	18	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℕ)
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
21	1, 17, 20, 20	fvmptd2 6883	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
22	11, 21	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 𝑌))
23		prmrp 16417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
24	23	biimprcd 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
25	24	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
26	25	impcom 408	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1)
27	22, 26	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
28	27	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
29	5	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
30	4, 29	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
31	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
32	1, 30, 31, 31	fvmptd2 6883	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
33		iffalse 4468	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
34	33	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
35	14, 34	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
36	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
37		1nn 11984	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
39	1, 35, 36, 38	fvmptd2 6883	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
40	32, 39	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 1))
41		prmz 16380	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → 𝑋 ∈ ℤ)
42		gcd1 16235	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 gcd 1) = 1)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → (𝑋 gcd 1) = 1)
44	43	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 1) = 1)
45	40, 44	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
46	45	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
47		iffalse 4468	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
48	47	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
49	4, 48	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
50	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
51	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
52	1, 49, 50, 51	fvmptd2 6883	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
53	15	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
54	14, 53	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
55	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
56	1, 54, 55, 55	fvmptd2 6883	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
57	52, 56	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 𝑌))
58		prmz 16380	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ ℤ)
59		1gcd 16241	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑌) = 1)
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → (1 gcd 𝑌) = 1)
61	60	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 𝑌) = 1)
62	57, 61	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
63	62	ex 413	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
64	47	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
65	4, 64	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
66	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
67	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
68	1, 65, 66, 67	fvmptd2 6883	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
69	33	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
70	14, 69	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
71	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
72	1, 70, 71, 67	fvmptd2 6883	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
73	68, 72	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 1))
74		1z 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
75		1gcd 16241	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
76	74, 75	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 1) = 1)
77	73, 76	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
78	77	ex 413	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
79	28, 46, 63, 78	4cases 1038	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4459   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ...cfz 13239   gcd cgcd 16201  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  16748