Theorem fvprmselgcd1 17016

Description: The greatest common divisor of two values of the prime selection function for different arguments is 1. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselgcd1	⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋   𝑚,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselgcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
3		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
4	2, 3	ifbieq1d 4491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
5		iftrue 4472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
6	5	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	4, 6	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
8		elfznn 13507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	1, 7, 10, 10	fvmptd2 6956	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
12		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑌 ∈ ℙ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → 𝑚 = 𝑌)
14	12, 13	ifbieq1d 4491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1))
15		iftrue 4472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
16	15	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
18		elfznn 13507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝑁) → 𝑌 ∈ ℕ)
19	18	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℕ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
21	1, 17, 20, 20	fvmptd2 6956	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
22	11, 21	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 𝑌))
23		prmrp 16682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
24	23	biimprcd 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
25	24	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
26	25	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1)
27	22, 26	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
28	27	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
29	5	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
30	4, 29	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
31	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
32	1, 30, 31, 31	fvmptd2 6956	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
33		iffalse 4475	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
34	33	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
35	14, 34	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
36	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
37		1nn 12185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
39	1, 35, 36, 38	fvmptd2 6956	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
40	32, 39	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 1))
41		prmz 16644	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → 𝑋 ∈ ℤ)
42		gcd1 16497	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 gcd 1) = 1)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → (𝑋 gcd 1) = 1)
44	43	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 1) = 1)
45	40, 44	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
46	45	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
47		iffalse 4475	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
48	47	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
49	4, 48	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
50	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
51	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
52	1, 49, 50, 51	fvmptd2 6956	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
53	15	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
54	14, 53	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
55	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
56	1, 54, 55, 55	fvmptd2 6956	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
57	52, 56	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 𝑌))
58		prmz 16644	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ ℤ)
59		1gcd 16502	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑌) = 1)
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → (1 gcd 𝑌) = 1)
61	60	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 𝑌) = 1)
62	57, 61	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
63	62	ex 412	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
64	47	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
65	4, 64	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
66	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
67	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
68	1, 65, 66, 67	fvmptd2 6956	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
69	33	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
70	14, 69	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
71	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
72	1, 70, 71, 67	fvmptd2 6956	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
73	68, 72	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 1))
74		1z 12557	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
75		1gcd 16502	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
76	74, 75	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 1) = 1)
77	73, 76	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
78	77	ex 412	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
79	28, 46, 63, 78	4cases 1041	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ...cfz 13461   gcd cgcd 16463  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  17018