Theorem fvprmselgcd1 16974

Description: The greatest common divisor of two values of the prime selection function for different arguments is 1. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselgcd1	⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋   𝑚,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselgcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
3		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
4	2, 3	ifbieq1d 4551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
5		iftrue 4533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
6	5	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	4, 6	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
8		elfznn 13526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	1, 7, 10, 10	fvmptd2 7003	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
12		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑌 ∈ ℙ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → 𝑚 = 𝑌)
14	12, 13	ifbieq1d 4551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1))
15		iftrue 4533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
16	15	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
18		elfznn 13526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝑁) → 𝑌 ∈ ℕ)
19	18	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℕ)
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
21	1, 17, 20, 20	fvmptd2 7003	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
22	11, 21	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 𝑌))
23		prmrp 16645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
24	23	biimprcd 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
26	25	impcom 408	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1)
27	22, 26	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
28	27	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
29	5	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
30	4, 29	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
31	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
32	1, 30, 31, 31	fvmptd2 7003	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
33		iffalse 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
34	33	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
35	14, 34	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
36	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
37		1nn 12219	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
39	1, 35, 36, 38	fvmptd2 7003	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
40	32, 39	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 1))
41		prmz 16608	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → 𝑋 ∈ ℤ)
42		gcd1 16465	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 gcd 1) = 1)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → (𝑋 gcd 1) = 1)
44	43	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 1) = 1)
45	40, 44	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
46	45	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
47		iffalse 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
48	47	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
49	4, 48	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
50	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
51	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
52	1, 49, 50, 51	fvmptd2 7003	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
53	15	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
54	14, 53	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
55	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
56	1, 54, 55, 55	fvmptd2 7003	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
57	52, 56	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 𝑌))
58		prmz 16608	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ ℤ)
59		1gcd 16471	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑌) = 1)
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → (1 gcd 𝑌) = 1)
61	60	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 𝑌) = 1)
62	57, 61	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
63	62	ex 413	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
64	47	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
65	4, 64	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
66	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
67	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
68	1, 65, 66, 67	fvmptd2 7003	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
69	33	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
70	14, 69	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
71	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
72	1, 70, 71, 67	fvmptd2 7003	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
73	68, 72	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 1))
74		1z 12588	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
75		1gcd 16471	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
76	74, 75	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 1) = 1)
77	73, 76	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
78	77	ex 413	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
79	28, 46, 63, 78	4cases 1039	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ...cfz 13480   gcd cgcd 16431  ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605

This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  16976