Theorem fvprmselgcd1 17016

Description: The greatest common divisor of two values of the prime selection function for different arguments is 1. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselgcd1	⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋   𝑚,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselgcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
3		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
4	2, 3	ifbieq1d 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
5		iftrue 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	4, 6	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
8		elfznn 13514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	1, 7, 10, 10	fvmptd2 6976	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
12		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑌 ∈ ℙ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → 𝑚 = 𝑌)
14	12, 13	ifbieq1d 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1))
15		iftrue 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
16	15	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
18		elfznn 13514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝑁) → 𝑌 ∈ ℕ)
19	18	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℕ)
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
21	1, 17, 20, 20	fvmptd2 6976	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
22	11, 21	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 𝑌))
23		prmrp 16682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
24	23	biimprcd 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
26	25	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1)
27	22, 26	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
28	27	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
29	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
30	4, 29	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
31	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
32	1, 30, 31, 31	fvmptd2 6976	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
33		iffalse 4497	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
34	33	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
35	14, 34	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
36	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
37		1nn 12197	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
39	1, 35, 36, 38	fvmptd2 6976	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
40	32, 39	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 1))
41		prmz 16645	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → 𝑋 ∈ ℤ)
42		gcd1 16498	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 gcd 1) = 1)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → (𝑋 gcd 1) = 1)
44	43	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 1) = 1)
45	40, 44	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
46	45	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
47		iffalse 4497	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
49	4, 48	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
50	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
51	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
52	1, 49, 50, 51	fvmptd2 6976	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
53	15	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
54	14, 53	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
55	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
56	1, 54, 55, 55	fvmptd2 6976	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
57	52, 56	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 𝑌))
58		prmz 16645	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ ℤ)
59		1gcd 16503	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑌) = 1)
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → (1 gcd 𝑌) = 1)
61	60	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 𝑌) = 1)
62	57, 61	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
63	62	ex 412	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
64	47	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
65	4, 64	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
66	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
67	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
68	1, 65, 66, 67	fvmptd2 6976	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
69	33	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
70	14, 69	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
71	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
72	1, 70, 71, 67	fvmptd2 6976	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
73	68, 72	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 1))
74		1z 12563	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
75		1gcd 16503	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
76	74, 75	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 1) = 1)
77	73, 76	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
78	77	ex 412	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
79	28, 46, 63, 78	4cases 1040	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  ℕcn 12186  ℤcz 12529  ...cfz 13468   gcd cgcd 16464  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  17018