Theorem elnnuz 12823

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12822	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2833	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  1c1 11034  ℕcn 12169  ℤ_≥cuz 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12840  uzsubsubfz1  13496  elfz1end  13503  fznn  13541  prednn  13600  fzo1fzo0n0  13665  elfzonlteqm1  13691  nnsinds  13945  faclbnd  14247  bcn1  14270  fz1isolem  14418  relexpsucnnr  14982  geoisum1  15839  geoisum1c  15840  fprodfac  15933  rpnnen2lem5  16180  rpnnen2lem12  16187  dvdsfac  16290  prmind2  16649  prmunb  16880  prmop1  17004  fvprmselelfz  17010  prmgaplem7  17023  structfn  17121  setsstruct  17141  mulgnngsum  19050  gexcl3  19557  cayhamlem1  22853  1stckgenlem  23540  radcnvlem2  26401  dvradcnv  26408  logfac  26587  logtayllem  26645  logtayl  26646  leibpi  26928  prmorcht  27163  pclogsum  27200  bpos1  27268  2lgslem1a  27376  2sqlem10  27413  axlowdimlem13  29045  axlowdim1  29050  dfpth2  29819  clwwlkccatlem  30081  clwwlknonclwlknonf1o  30454  opsqrlem5  32237  iuninc  32653  esumfsupre  34267  esumcvg  34282  ballotlemfp1  34688  ballotlemfc0  34689  ballotlemfcc  34690  ballotlem4  34695  ballotlemic  34703  ballotlem1c  34704  cvmliftlem10  35537  climuzcnv  35914  bcprod  35981  faclim  35989  poimirlem13  38015  poimirlem14  38016  poimirlem30  38032  mblfinlem2  38040  seqpo  38129  incsequz  38130  incsequz2  38131  elnnrabdioph  43267  expdiophlem1  43481  fmuldfeq  46042  fmul01lt1  46045  stoweidlem3  46460  stoweidlem26  46483  stoweidlem42  46499  stoweidlem48  46505  wallispilem3  46524  wallispilem4  46525  wallispi  46527  wallispi2lem1  46528  wallispi2lem2  46529  wallispi2  46530  stirlinglem7  46537  stirlinglem10  46540  stirlinglem12  46542  muldvdsfacm1  47864  iccpartgtl  47915  fmtno4prmfac  48064  nprmdvdsfacm1lem4  48115  ppivalnnnprmge6  48118  altgsumbcALT  48858