Theorem elnnuz 12998

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12997	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2853	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  1c1 11194  ℕcn 12328  ℤ_≥cuz 12958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-z 12687  df-uz 12959

This theorem is used by:  uznnssnn  13015  uzsubsubfz1  13674  elfz1end  13681  fznn  13719  prednn  13778  fzo1fzo0n0  13843  elfzonlteqm1  13869  nnsinds  14124  faclbnd  14427  bcn1  14450  fz1isolem  14599  relexpsucnnr  15171  geoisum1  16041  geoisum1c  16042  fprodfac  16133  rpnnen2lem5  16379  rpnnen2lem12  16386  dvdsfac  16489  prmind2  16853  prmunb  17085  prmop1  17209  fvprmselelfz  17215  prmgaplem7  17228  structfn  17327  setsstruct  17347  mulgnngsum  19282  gexcl3  19794  cayhamlem1  23177  1stckgenlem  23865  radcnvlem2  26734  dvradcnv  26741  logfac  26922  logtayllem  26980  logtayl  26981  leibpi  27263  prmorcht  27498  pclogsum  27535  bpos1  27603  2lgslem1a  27711  2sqlem10  27748  axlowdimlem13  29525  axlowdim1  29530  dfpth2  30307  clwwlkccatlem  30573  clwwlknonclwlknonf1o  30956  opsqrlem5  32739  iuninc  33148  esumfsupre  34696  esumcvg  34711  ballotlemfp1  35117  ballotlemfc0  35118  ballotlemfcc  35119  ballotlem4  35124  ballotlemic  35132  ballotlem1c  35133  cvmliftlem10  36038  climuzcnv  36415  bcprod  36482  faclim  36490  poimirlem13  38531  poimirlem14  38532  poimirlem30  38548  mblfinlem2  38556  seqpo  38661  incsequz  38662  incsequz2  38663  elnnrabdioph  43793  expdiophlem1  44007  fmuldfeq  46564  fmul01lt1  46567  stoweidlem3  46982  stoweidlem26  47005  stoweidlem42  47021  stoweidlem48  47027  wallispilem3  47046  wallispilem4  47047  wallispi  47049  wallispi2lem1  47050  wallispi2lem2  47051  wallispi2  47052  stirlinglem7  47059  stirlinglem10  47062  stirlinglem12  47064  muldvdsfacm1  48426  iccpartgtl  48477  fmtno4prmfac  48626  nprmdvdsfacm1lem4  48677  ppivalnnnprmge6  48680  altgsumbcALT  49434  veronesevrowd  50948