Theorem elnnuz 12270

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12269	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2881	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  1c1 10527  ℕcn 11625  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12278  uznnssnn  12283  uzsubsubfz1  12925  elfz1end  12932  fznn  12970  prednn  13025  fzo1fzo0n0  13083  elfzonlteqm1  13108  nnsinds  13351  faclbnd  13646  bcn1  13669  fz1isolem  13815  relexpsucnnr  14376  geoisum1  15227  geoisum1c  15228  fprodfac  15319  rpnnen2lem5  15563  rpnnen2lem12  15570  dvdsfac  15668  prmind2  16019  prmunb  16240  prmop1  16364  fvprmselelfz  16370  prmgaplem7  16383  structfn  16492  setsstruct  16515  mulgnngsum  18225  gexcl3  18704  cayhamlem1  21471  1stckgenlem  22158  radcnvlem2  25009  dvradcnv  25016  logfac  25192  logtayllem  25250  logtayl  25251  leibpi  25528  prmorcht  25763  pclogsum  25799  bpos1  25867  2lgslem1a  25975  2sqlem10  26012  axlowdimlem13  26748  axlowdim1  26753  clwwlkccatlem  27774  clwwlknonclwlknonf1o  28147  opsqrlem5  29927  iuninc  30324  esumfsupre  31440  esumcvg  31455  ballotlemfp1  31859  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  ballotlem4  31866  ballotlemic  31874  ballotlem1c  31875  cvmliftlem10  32654  climuzcnv  33027  bcprod  33083  faclim  33091  poimirlem13  35070  poimirlem14  35071  poimirlem30  35087  mblfinlem2  35095  seqpo  35185  incsequz  35186  incsequz2  35187  elnnrabdioph  39748  expdiophlem1  39962  fmuldfeq  42225  fmul01lt1  42228  stoweidlem3  42645  stoweidlem26  42668  stoweidlem42  42684  stoweidlem48  42690  wallispilem3  42709  wallispilem4  42710  wallispi  42712  wallispi2lem1  42713  wallispi2lem2  42714  wallispi2  42715  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  stirlinglem12  42727  iccpartgtl  43943  fmtno4prmfac  44089  altgsumbcALT  44755