Theorem elnnuz 13010

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13009	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2852	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  1c1 11206  ℕcn 12340  ℤ_≥cuz 12970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-z 12699  df-uz 12971

This theorem is used by:  uznnssnn  13027  uzsubsubfz1  13686  elfz1end  13693  fznn  13731  prednn  13790  fzo1fzo0n0  13855  elfzonlteqm1  13881  nnsinds  14136  faclbnd  14439  bcn1  14462  fz1isolem  14611  relexpsucnnr  15185  geoisum1  16055  geoisum1c  16056  fprodfac  16147  rpnnen2lem5  16393  rpnnen2lem12  16400  dvdsfac  16503  prmind2  16867  prmunb  17099  prmop1  17223  fvprmselelfz  17229  prmgaplem7  17242  structfn  17341  setsstruct  17361  mulgnngsum  19296  gexcl3  19808  cayhamlem1  23191  1stckgenlem  23879  radcnvlem2  26748  dvradcnv  26755  logfac  26936  logtayllem  26994  logtayl  26995  leibpi  27277  prmorcht  27512  pclogsum  27549  bpos1  27617  2lgslem1a  27725  2sqlem10  27762  axlowdimlem13  29539  axlowdim1  29544  dfpth2  30321  clwwlkccatlem  30587  clwwlknonclwlknonf1o  30970  opsqrlem5  32753  iuninc  33204  esumfsupre  34751  esumcvg  34766  ballotlemfp1  35172  ballotlemfc0  35173  ballotlemfcc  35174  ballotlem4  35179  ballotlemic  35187  ballotlem1c  35188  cvmliftlem10  36147  climuzcnv  36524  bcprod  36597  faclim  36605  poimirlem13  38658  poimirlem14  38659  poimirlem30  38675  mblfinlem2  38683  seqpo  38788  incsequz  38789  incsequz2  38790  elnnrabdioph  43921  expdiophlem1  44135  fmuldfeq  46702  fmul01lt1  46705  stoweidlem3  47120  stoweidlem26  47143  stoweidlem42  47159  stoweidlem48  47165  wallispilem3  47184  wallispilem4  47185  wallispi  47187  wallispi2lem1  47188  wallispi2lem2  47189  wallispi2  47190  stirlinglem7  47197  stirlinglem10  47200  stirlinglem12  47202  muldvdsfacm1  48564  iccpartgtl  48615  fmtno4prmfac  48764  nprmdvdsfacm1lem4  48815  ppivalnnnprmge6  48818  altgsumbcALT  49572  veronesevrowd  51161