Theorem elnnuz 12866

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12865	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2826	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  1c1 11111  ℕcn 12212  ℤ_≥cuz 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12874  uznnssnn  12879  uzsubsubfz1  13524  elfz1end  13531  fznn  13569  prednn  13624  fzo1fzo0n0  13683  elfzonlteqm1  13708  nnsinds  13953  faclbnd  14250  bcn1  14273  fz1isolem  14422  relexpsucnnr  14972  geoisum1  15825  geoisum1c  15826  fprodfac  15917  rpnnen2lem5  16161  rpnnen2lem12  16168  dvdsfac  16269  prmind2  16622  prmunb  16847  prmop1  16971  fvprmselelfz  16977  prmgaplem7  16990  structfn  17089  setsstruct  17109  mulgnngsum  18959  gexcl3  19455  cayhamlem1  22368  1stckgenlem  23057  radcnvlem2  25926  dvradcnv  25933  logfac  26109  logtayllem  26167  logtayl  26168  leibpi  26447  prmorcht  26682  pclogsum  26718  bpos1  26786  2lgslem1a  26894  2sqlem10  26931  axlowdimlem13  28243  axlowdim1  28248  clwwlkccatlem  29273  clwwlknonclwlknonf1o  29646  opsqrlem5  31428  iuninc  31823  esumfsupre  33100  esumcvg  33115  ballotlemfp1  33521  ballotlemfc0  33522  ballotlemfcc  33523  ballotlem4  33528  ballotlemic  33536  ballotlem1c  33537  cvmliftlem10  34316  climuzcnv  34687  bcprod  34739  faclim  34747  poimirlem13  36549  poimirlem14  36550  poimirlem30  36566  mblfinlem2  36574  seqpo  36663  incsequz  36664  incsequz2  36665  elnnrabdioph  41593  expdiophlem1  41808  fmuldfeq  44347  fmul01lt1  44350  stoweidlem3  44767  stoweidlem26  44790  stoweidlem42  44806  stoweidlem48  44812  wallispilem3  44831  wallispilem4  44832  wallispi  44834  wallispi2lem1  44835  wallispi2lem2  44836  wallispi2  44837  stirlinglem7  44844  stirlinglem10  44847  stirlinglem12  44849  iccpartgtl  46142  fmtno4prmfac  46288  altgsumbcALT  47077