MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnuz 12812
Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnuz (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))

Proof of Theorem elnnuz
StepHypRef Expression
1 nnuz 12811 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
21eleq2i 2826 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2107  cfv 6497  1c1 11057  cn 12158  cuz 12768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-z 12505  df-uz 12769
This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12820  uznnssnn  12825  uzsubsubfz1  13470  elfz1end  13477  fznn  13515  prednn  13570  fzo1fzo0n0  13629  elfzonlteqm1  13654  nnsinds  13899  faclbnd  14196  bcn1  14219  fz1isolem  14366  relexpsucnnr  14916  geoisum1  15769  geoisum1c  15770  fprodfac  15861  rpnnen2lem5  16105  rpnnen2lem12  16112  dvdsfac  16213  prmind2  16566  prmunb  16791  prmop1  16915  fvprmselelfz  16921  prmgaplem7  16934  structfn  17033  setsstruct  17053  mulgnngsum  18886  gexcl3  19374  cayhamlem1  22231  1stckgenlem  22920  radcnvlem2  25789  dvradcnv  25796  logfac  25972  logtayllem  26030  logtayl  26031  leibpi  26308  prmorcht  26543  pclogsum  26579  bpos1  26647  2lgslem1a  26755  2sqlem10  26792  axlowdimlem13  27945  axlowdim1  27950  clwwlkccatlem  28975  clwwlknonclwlknonf1o  29348  opsqrlem5  31128  iuninc  31525  esumfsupre  32727  esumcvg  32742  ballotlemfp1  33148  ballotlemfc0  33149  ballotlemfcc  33150  ballotlem4  33155  ballotlemic  33163  ballotlem1c  33164  cvmliftlem10  33945  climuzcnv  34316  bcprod  34367  faclim  34375  poimirlem13  36137  poimirlem14  36138  poimirlem30  36154  mblfinlem2  36162  seqpo  36252  incsequz  36253  incsequz2  36254  elnnrabdioph  41173  expdiophlem1  41388  fmuldfeq  43910  fmul01lt1  43913  stoweidlem3  44330  stoweidlem26  44353  stoweidlem42  44369  stoweidlem48  44375  wallispilem3  44394  wallispilem4  44395  wallispi  44397  wallispi2lem1  44398  wallispi2lem2  44399  wallispi2  44400  stirlinglem7  44407  stirlinglem10  44410  stirlinglem12  44412  iccpartgtl  45704  fmtno4prmfac  45850  altgsumbcALT  46515
  Copyright terms: Public domain W3C validator