Theorem elnnuz 12947

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12946	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2836	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  1c1 11185  ℕcn 12293  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12955  uznnssnn  12960  uzsubsubfz1  13607  elfz1end  13614  fznn  13652  prednn  13708  fzo1fzo0n0  13767  elfzonlteqm1  13792  nnsinds  14039  faclbnd  14339  bcn1  14362  fz1isolem  14510  relexpsucnnr  15074  geoisum1  15927  geoisum1c  15928  fprodfac  16021  rpnnen2lem5  16266  rpnnen2lem12  16273  dvdsfac  16374  prmind2  16732  prmunb  16961  prmop1  17085  fvprmselelfz  17091  prmgaplem7  17104  structfn  17203  setsstruct  17223  mulgnngsum  19119  gexcl3  19629  cayhamlem1  22893  1stckgenlem  23582  radcnvlem2  26475  dvradcnv  26482  logfac  26661  logtayllem  26719  logtayl  26720  leibpi  27003  prmorcht  27239  pclogsum  27277  bpos1  27345  2lgslem1a  27453  2sqlem10  27490  axlowdimlem13  28987  axlowdim1  28992  clwwlkccatlem  30021  clwwlknonclwlknonf1o  30394  opsqrlem5  32176  iuninc  32583  esumfsupre  34035  esumcvg  34050  ballotlemfp1  34456  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  ballotlem4  34463  ballotlemic  34471  ballotlem1c  34472  cvmliftlem10  35262  climuzcnv  35639  bcprod  35700  faclim  35708  poimirlem13  37593  poimirlem14  37594  poimirlem30  37610  mblfinlem2  37618  seqpo  37707  incsequz  37708  incsequz2  37709  elnnrabdioph  42763  expdiophlem1  42978  fmuldfeq  45504  fmul01lt1  45507  stoweidlem3  45924  stoweidlem26  45947  stoweidlem42  45963  stoweidlem48  45969  wallispilem3  45988  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem12  46006  iccpartgtl  47300  fmtno4prmfac  47446  altgsumbcALT  48078