Theorem elnnuz 12873

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12872	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2853	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  1c1 11068  ℕcn 12204  ℤ_≥cuz 12833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-z 12563  df-uz 12834

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12890  uzsubsubfz1  13546  elfz1end  13553  fznn  13591  prednn  13650  fzo1fzo0n0  13715  elfzonlteqm1  13741  nnsinds  13995  faclbnd  14297  bcn1  14320  fz1isolem  14468  relexpsucnnr  15032  geoisum1  15900  geoisum1c  15901  fprodfac  15994  rpnnen2lem5  16241  rpnnen2lem12  16248  dvdsfac  16351  prmind2  16710  prmunb  16941  prmop1  17065  fvprmselelfz  17071  prmgaplem7  17084  structfn  17183  setsstruct  17203  mulgnngsum  19112  gexcl3  19618  cayhamlem1  22914  1stckgenlem  23601  radcnvlem2  26465  dvradcnv  26472  logfac  26654  logtayllem  26712  logtayl  26713  leibpi  26995  prmorcht  27230  pclogsum  27267  bpos1  27335  2lgslem1a  27443  2sqlem10  27480  axlowdimlem13  29112  axlowdim1  29117  dfpth2  29886  clwwlkccatlem  30148  clwwlknonclwlknonf1o  30521  opsqrlem5  32304  iuninc  32720  esumfsupre  34329  esumcvg  34344  ballotlemfp1  34750  ballotlemfc0  34751  ballotlemfcc  34752  ballotlem4  34757  ballotlemic  34765  ballotlem1c  34766  cvmliftlem10  35605  climuzcnv  35982  bcprod  36049  faclim  36057  poimirlem13  38093  poimirlem14  38094  poimirlem30  38110  mblfinlem2  38118  seqpo  38207  incsequz  38208  incsequz2  38209  elnnrabdioph  43345  expdiophlem1  43559  fmuldfeq  46120  fmul01lt1  46123  stoweidlem3  46538  stoweidlem26  46561  stoweidlem42  46577  stoweidlem48  46583  wallispilem3  46602  wallispilem4  46603  wallispi  46605  wallispi2lem1  46606  wallispi2lem2  46607  wallispi2  46608  stirlinglem7  46615  stirlinglem10  46618  stirlinglem12  46620  muldvdsfacm1  47942  iccpartgtl  47993  fmtno4prmfac  48142  nprmdvdsfacm1lem4  48193  ppivalnnnprmge6  48196  altgsumbcALT  48936