Theorem elnnuz 12901

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12900	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2827	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  1c1 11135  ℕcn 12245  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-z 12594  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12911  uznnssnn  12916  uzsubsubfz1  13569  elfz1end  13576  fznn  13614  prednn  13673  fzo1fzo0n0  13736  elfzonlteqm1  13762  nnsinds  14011  faclbnd  14313  bcn1  14336  fz1isolem  14484  relexpsucnnr  15049  geoisum1  15900  geoisum1c  15901  fprodfac  15994  rpnnen2lem5  16241  rpnnen2lem12  16248  dvdsfac  16350  prmind2  16709  prmunb  16939  prmop1  17063  fvprmselelfz  17069  prmgaplem7  17082  structfn  17180  setsstruct  17200  mulgnngsum  19067  gexcl3  19573  cayhamlem1  22809  1stckgenlem  23496  radcnvlem2  26380  dvradcnv  26387  logfac  26567  logtayllem  26625  logtayl  26626  leibpi  26909  prmorcht  27145  pclogsum  27183  bpos1  27251  2lgslem1a  27359  2sqlem10  27396  axlowdimlem13  28938  axlowdim1  28943  dfpth2  29716  clwwlkccatlem  29975  clwwlknonclwlknonf1o  30348  opsqrlem5  32130  iuninc  32546  esumfsupre  34107  esumcvg  34122  ballotlemfp1  34529  ballotlemfc0  34530  ballotlemfcc  34531  ballotlem4  34536  ballotlemic  34544  ballotlem1c  34545  cvmliftlem10  35321  climuzcnv  35698  bcprod  35760  faclim  35768  poimirlem13  37662  poimirlem14  37663  poimirlem30  37679  mblfinlem2  37687  seqpo  37776  incsequz  37777  incsequz2  37778  elnnrabdioph  42797  expdiophlem1  43012  fmuldfeq  45579  fmul01lt1  45582  stoweidlem3  45999  stoweidlem26  46022  stoweidlem42  46038  stoweidlem48  46044  wallispilem3  46063  wallispilem4  46064  wallispi  46066  wallispi2lem1  46067  wallispi2lem2  46068  wallispi2  46069  stirlinglem7  46076  stirlinglem10  46079  stirlinglem12  46081  iccpartgtl  47407  fmtno4prmfac  47553  altgsumbcALT  48295