Theorem elnnuz 12897

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12896	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2855	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  1c1 11096  ℕcn 12228  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-z 12587  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12914  uzsubsubfz1  13571  elfz1end  13578  fznn  13616  prednn  13675  fzo1fzo0n0  13740  elfzonlteqm1  13766  nnsinds  14020  faclbnd  14322  bcn1  14345  fz1isolem  14494  relexpsucnnr  15058  geoisum1  15929  geoisum1c  15930  fprodfac  16023  rpnnen2lem5  16269  rpnnen2lem12  16276  dvdsfac  16379  prmind2  16738  prmunb  16969  prmop1  17093  fvprmselelfz  17099  prmgaplem7  17112  structfn  17211  setsstruct  17231  mulgnngsum  19140  gexcl3  19652  cayhamlem1  23023  1stckgenlem  23710  radcnvlem2  26577  dvradcnv  26584  logfac  26766  logtayllem  26824  logtayl  26825  leibpi  27107  prmorcht  27342  pclogsum  27379  bpos1  27447  2lgslem1a  27555  2sqlem10  27592  axlowdimlem13  29304  axlowdim1  29309  dfpth2  30078  clwwlkccatlem  30340  clwwlknonclwlknonf1o  30713  opsqrlem5  32496  iuninc  32905  esumfsupre  34461  esumcvg  34476  ballotlemfp1  34882  ballotlemfc0  34883  ballotlemfcc  34884  ballotlem4  34889  ballotlemic  34897  ballotlem1c  34898  cvmliftlem10  35786  climuzcnv  36163  bcprod  36230  faclim  36238  poimirlem13  38284  poimirlem14  38285  poimirlem30  38301  mblfinlem2  38309  seqpo  38398  incsequz  38399  incsequz2  38400  elnnrabdioph  43534  expdiophlem1  43748  fmuldfeq  46299  fmul01lt1  46302  stoweidlem3  46717  stoweidlem26  46740  stoweidlem42  46756  stoweidlem48  46762  wallispilem3  46781  wallispilem4  46782  wallispi  46784  wallispi2lem1  46785  wallispi2lem2  46786  wallispi2  46787  stirlinglem7  46794  stirlinglem10  46797  stirlinglem12  46799  muldvdsfacm1  48124  iccpartgtl  48175  fmtno4prmfac  48324  nprmdvdsfacm1lem4  48375  ppivalnnnprmge6  48378  altgsumbcALT  49133