Theorem elnnuz 12920

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12919	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2831	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  1c1 11154  ℕcn 12264  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12930  uznnssnn  12935  uzsubsubfz1  13584  elfz1end  13591  fznn  13629  prednn  13688  fzo1fzo0n0  13751  elfzonlteqm1  13777  nnsinds  14026  faclbnd  14326  bcn1  14349  fz1isolem  14497  relexpsucnnr  15061  geoisum1  15912  geoisum1c  15913  fprodfac  16006  rpnnen2lem5  16251  rpnnen2lem12  16258  dvdsfac  16360  prmind2  16719  prmunb  16948  prmop1  17072  fvprmselelfz  17078  prmgaplem7  17091  structfn  17190  setsstruct  17210  mulgnngsum  19110  gexcl3  19620  cayhamlem1  22888  1stckgenlem  23577  radcnvlem2  26472  dvradcnv  26479  logfac  26658  logtayllem  26716  logtayl  26717  leibpi  27000  prmorcht  27236  pclogsum  27274  bpos1  27342  2lgslem1a  27450  2sqlem10  27487  axlowdimlem13  28984  axlowdim1  28989  clwwlkccatlem  30018  clwwlknonclwlknonf1o  30391  opsqrlem5  32173  iuninc  32581  esumfsupre  34052  esumcvg  34067  ballotlemfp1  34473  ballotlemfc0  34474  ballotlemfcc  34475  ballotlem4  34480  ballotlemic  34488  ballotlem1c  34489  cvmliftlem10  35279  climuzcnv  35656  bcprod  35718  faclim  35726  poimirlem13  37620  poimirlem14  37621  poimirlem30  37637  mblfinlem2  37645  seqpo  37734  incsequz  37735  incsequz2  37736  elnnrabdioph  42795  expdiophlem1  43010  fmuldfeq  45539  fmul01lt1  45542  stoweidlem3  45959  stoweidlem26  45982  stoweidlem42  45998  stoweidlem48  46004  wallispilem3  46023  wallispilem4  46024  wallispi  46026  wallispi2lem1  46027  wallispi2lem2  46028  wallispi2  46029  stirlinglem7  46036  stirlinglem10  46039  stirlinglem12  46041  iccpartgtl  47351  fmtno4prmfac  47497  altgsumbcALT  48198