Theorem elnnuz 12782

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12781	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2825	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  1c1 11018  ℕcn 12136  ℤ_≥cuz 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-z 12480  df-uz 12743

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12799  uzsubsubfz1  13454  elfz1end  13461  fznn  13499  prednn  13558  fzo1fzo0n0  13622  elfzonlteqm1  13648  nnsinds  13902  faclbnd  14204  bcn1  14227  fz1isolem  14375  relexpsucnnr  14939  geoisum1  15793  geoisum1c  15794  fprodfac  15887  rpnnen2lem5  16134  rpnnen2lem12  16141  dvdsfac  16244  prmind2  16603  prmunb  16833  prmop1  16957  fvprmselelfz  16963  prmgaplem7  16976  structfn  17074  setsstruct  17094  mulgnngsum  19000  gexcl3  19507  cayhamlem1  22801  1stckgenlem  23488  radcnvlem2  26370  dvradcnv  26377  logfac  26557  logtayllem  26615  logtayl  26616  leibpi  26899  prmorcht  27135  pclogsum  27173  bpos1  27241  2lgslem1a  27349  2sqlem10  27386  axlowdimlem13  28953  axlowdim1  28958  dfpth2  29728  clwwlkccatlem  29990  clwwlknonclwlknonf1o  30363  opsqrlem5  32145  iuninc  32561  esumfsupre  34156  esumcvg  34171  ballotlemfp1  34577  ballotlemfc0  34578  ballotlemfcc  34579  ballotlem4  34584  ballotlemic  34592  ballotlem1c  34593  cvmliftlem10  35410  climuzcnv  35787  bcprod  35854  faclim  35862  poimirlem13  37746  poimirlem14  37747  poimirlem30  37763  mblfinlem2  37771  seqpo  37860  incsequz  37861  incsequz2  37862  elnnrabdioph  42964  expdiophlem1  43178  fmuldfeq  45745  fmul01lt1  45748  stoweidlem3  46163  stoweidlem26  46186  stoweidlem42  46202  stoweidlem48  46208  wallispilem3  46227  wallispilem4  46228  wallispi  46230  wallispi2lem1  46231  wallispi2lem2  46232  wallispi2  46233  stirlinglem7  46240  stirlinglem10  46243  stirlinglem12  46245  iccpartgtl  47588  fmtno4prmfac  47734  altgsumbcALT  48515