Theorem elnnuz 12771

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12770	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2823	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  1c1 11002  ℕcn 12120  ℤ_≥cuz 12727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-z 12464  df-uz 12728

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12788  uzsubsubfz1  13442  elfz1end  13449  fznn  13487  prednn  13546  fzo1fzo0n0  13610  elfzonlteqm1  13636  nnsinds  13890  faclbnd  14192  bcn1  14215  fz1isolem  14363  relexpsucnnr  14927  geoisum1  15781  geoisum1c  15782  fprodfac  15875  rpnnen2lem5  16122  rpnnen2lem12  16129  dvdsfac  16232  prmind2  16591  prmunb  16821  prmop1  16945  fvprmselelfz  16951  prmgaplem7  16964  structfn  17062  setsstruct  17082  mulgnngsum  18987  gexcl3  19494  cayhamlem1  22776  1stckgenlem  23463  radcnvlem2  26345  dvradcnv  26352  logfac  26532  logtayllem  26590  logtayl  26591  leibpi  26874  prmorcht  27110  pclogsum  27148  bpos1  27216  2lgslem1a  27324  2sqlem10  27361  axlowdimlem13  28927  axlowdim1  28932  dfpth2  29702  clwwlkccatlem  29961  clwwlknonclwlknonf1o  30334  opsqrlem5  32116  iuninc  32532  esumfsupre  34076  esumcvg  34091  ballotlemfp1  34497  ballotlemfc0  34498  ballotlemfcc  34499  ballotlem4  34504  ballotlemic  34512  ballotlem1c  34513  cvmliftlem10  35330  climuzcnv  35707  bcprod  35774  faclim  35782  poimirlem13  37673  poimirlem14  37674  poimirlem30  37690  mblfinlem2  37698  seqpo  37787  incsequz  37788  incsequz2  37789  elnnrabdioph  42840  expdiophlem1  43054  fmuldfeq  45623  fmul01lt1  45626  stoweidlem3  46041  stoweidlem26  46064  stoweidlem42  46080  stoweidlem48  46086  wallispilem3  46105  wallispilem4  46106  wallispi  46108  wallispi2lem1  46109  wallispi2lem2  46110  wallispi2  46111  stirlinglem7  46118  stirlinglem10  46121  stirlinglem12  46123  iccpartgtl  47457  fmtno4prmfac  47603  altgsumbcALT  48384