Theorem elnnuz 12779

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12778	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2820	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  1c1 11010  ℕcn 12128  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12796  uzsubsubfz1  13450  elfz1end  13457  fznn  13495  prednn  13554  fzo1fzo0n0  13618  elfzonlteqm1  13644  nnsinds  13895  faclbnd  14197  bcn1  14220  fz1isolem  14368  relexpsucnnr  14932  geoisum1  15786  geoisum1c  15787  fprodfac  15880  rpnnen2lem5  16127  rpnnen2lem12  16134  dvdsfac  16237  prmind2  16596  prmunb  16826  prmop1  16950  fvprmselelfz  16956  prmgaplem7  16969  structfn  17067  setsstruct  17087  mulgnngsum  18958  gexcl3  19466  cayhamlem1  22751  1stckgenlem  23438  radcnvlem2  26321  dvradcnv  26328  logfac  26508  logtayllem  26566  logtayl  26567  leibpi  26850  prmorcht  27086  pclogsum  27124  bpos1  27192  2lgslem1a  27300  2sqlem10  27337  axlowdimlem13  28899  axlowdim1  28904  dfpth2  29674  clwwlkccatlem  29933  clwwlknonclwlknonf1o  30306  opsqrlem5  32088  iuninc  32504  esumfsupre  34038  esumcvg  34053  ballotlemfp1  34460  ballotlemfc0  34461  ballotlemfcc  34462  ballotlem4  34467  ballotlemic  34475  ballotlem1c  34476  cvmliftlem10  35267  climuzcnv  35644  bcprod  35711  faclim  35719  poimirlem13  37613  poimirlem14  37614  poimirlem30  37630  mblfinlem2  37638  seqpo  37727  incsequz  37728  incsequz2  37729  elnnrabdioph  42780  expdiophlem1  42994  fmuldfeq  45564  fmul01lt1  45567  stoweidlem3  45984  stoweidlem26  46007  stoweidlem42  46023  stoweidlem48  46029  wallispilem3  46048  wallispilem4  46049  wallispi  46051  wallispi2lem1  46052  wallispi2lem2  46053  wallispi2  46054  stirlinglem7  46061  stirlinglem10  46064  stirlinglem12  46066  iccpartgtl  47410  fmtno4prmfac  47556  altgsumbcALT  48337