MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnuz 12260
Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnuz (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))

Proof of Theorem elnnuz
StepHypRef Expression
1 nnuz 12259 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
21eleq2i 2903 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wcel 2115  cfv 6328  1c1 10515  cn 11615  cuz 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-z 11960  df-uz 12222
This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12268  uznnssnn  12273  uzsubsubfz1  12913  elfz1end  12920  fznn  12958  prednn  13013  fzo1fzo0n0  13071  elfzonlteqm1  13096  nnsinds  13339  faclbnd  13634  bcn1  13657  fz1isolem  13803  relexpsucnnr  14363  geoisum1  15214  geoisum1c  15215  fprodfac  15306  rpnnen2lem5  15550  rpnnen2lem12  15557  dvdsfac  15655  prmind2  16006  prmunb  16227  prmop1  16351  fvprmselelfz  16357  prmgaplem7  16370  structfn  16479  setsstruct  16502  mulgnngsum  18212  gexcl3  18691  cayhamlem1  21450  1stckgenlem  22137  radcnvlem2  24988  dvradcnv  24995  logfac  25171  logtayllem  25229  logtayl  25230  leibpi  25507  prmorcht  25742  pclogsum  25778  bpos1  25846  2lgslem1a  25954  2sqlem10  25991  axlowdimlem13  26727  axlowdim1  26732  clwwlkccatlem  27753  clwwlknonclwlknonf1o  28126  opsqrlem5  29906  iuninc  30299  esumfsupre  31338  esumcvg  31353  ballotlemfp1  31757  ballotlemfc0  31758  ballotlemfcc  31759  ballotlem4  31764  ballotlemic  31772  ballotlem1c  31773  cvmliftlem10  32549  climuzcnv  32922  bcprod  32978  faclim  32986  poimirlem13  34956  poimirlem14  34957  poimirlem30  34973  mblfinlem2  34981  seqpo  35071  incsequz  35072  incsequz2  35073  elnnrabdioph  39559  expdiophlem1  39773  fmuldfeq  42048  fmul01lt1  42051  stoweidlem3  42468  stoweidlem26  42491  stoweidlem42  42507  stoweidlem48  42513  wallispilem3  42532  wallispilem4  42533  wallispi  42535  wallispi2lem1  42536  wallispi2lem2  42537  wallispi2  42538  stirlinglem7  42545  stirlinglem10  42548  stirlinglem12  42550  iccpartgtl  43766  fmtno4prmfac  43912  altgsumbcALT  44577
  Copyright terms: Public domain W3C validator