Theorem elnnuz 12619

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12618	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2832	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6431  1c1 10871  ℕcn 11971  ℤ_≥cuz 12579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-z 12318  df-uz 12580

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12627  uznnssnn  12632  uzsubsubfz1  13276  elfz1end  13283  fznn  13321  prednn  13376  fzo1fzo0n0  13434  elfzonlteqm1  13459  nnsinds  13704  faclbnd  14000  bcn1  14023  fz1isolem  14171  relexpsucnnr  14732  geoisum1  15587  geoisum1c  15588  fprodfac  15679  rpnnen2lem5  15923  rpnnen2lem12  15930  dvdsfac  16031  prmind2  16386  prmunb  16611  prmop1  16735  fvprmselelfz  16741  prmgaplem7  16754  structfn  16853  setsstruct  16873  mulgnngsum  18705  gexcl3  19188  cayhamlem1  22011  1stckgenlem  22700  radcnvlem2  25569  dvradcnv  25576  logfac  25752  logtayllem  25810  logtayl  25811  leibpi  26088  prmorcht  26323  pclogsum  26359  bpos1  26427  2lgslem1a  26535  2sqlem10  26572  axlowdimlem13  27318  axlowdim1  27323  clwwlkccatlem  28347  clwwlknonclwlknonf1o  28720  opsqrlem5  30500  iuninc  30894  esumfsupre  32033  esumcvg  32048  ballotlemfp1  32452  ballotlemfc0  32453  ballotlemfcc  32454  ballotlem4  32459  ballotlemic  32467  ballotlem1c  32468  cvmliftlem10  33250  climuzcnv  33623  bcprod  33698  faclim  33706  poimirlem13  35784  poimirlem14  35785  poimirlem30  35801  mblfinlem2  35809  seqpo  35899  incsequz  35900  incsequz2  35901  elnnrabdioph  40624  expdiophlem1  40838  fmuldfeq  43093  fmul01lt1  43096  stoweidlem3  43513  stoweidlem26  43536  stoweidlem42  43552  stoweidlem48  43558  wallispilem3  43577  wallispilem4  43578  wallispi  43580  wallispi2lem1  43581  wallispi2lem2  43582  wallispi2  43583  stirlinglem7  43590  stirlinglem10  43593  stirlinglem12  43595  iccpartgtl  44845  fmtno4prmfac  44991  altgsumbcALT  45656