Theorem elnnuz 12622

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12621	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2830	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  1c1 10872  ℕcn 11973  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12630  uznnssnn  12635  uzsubsubfz1  13279  elfz1end  13286  fznn  13324  prednn  13379  fzo1fzo0n0  13438  elfzonlteqm1  13463  nnsinds  13708  faclbnd  14004  bcn1  14027  fz1isolem  14175  relexpsucnnr  14736  geoisum1  15591  geoisum1c  15592  fprodfac  15683  rpnnen2lem5  15927  rpnnen2lem12  15934  dvdsfac  16035  prmind2  16390  prmunb  16615  prmop1  16739  fvprmselelfz  16745  prmgaplem7  16758  structfn  16857  setsstruct  16877  mulgnngsum  18709  gexcl3  19192  cayhamlem1  22015  1stckgenlem  22704  radcnvlem2  25573  dvradcnv  25580  logfac  25756  logtayllem  25814  logtayl  25815  leibpi  26092  prmorcht  26327  pclogsum  26363  bpos1  26431  2lgslem1a  26539  2sqlem10  26576  axlowdimlem13  27322  axlowdim1  27327  clwwlkccatlem  28353  clwwlknonclwlknonf1o  28726  opsqrlem5  30506  iuninc  30900  esumfsupre  32039  esumcvg  32054  ballotlemfp1  32458  ballotlemfc0  32459  ballotlemfcc  32460  ballotlem4  32465  ballotlemic  32473  ballotlem1c  32474  cvmliftlem10  33256  climuzcnv  33629  bcprod  33704  faclim  33712  poimirlem13  35790  poimirlem14  35791  poimirlem30  35807  mblfinlem2  35815  seqpo  35905  incsequz  35906  incsequz2  35907  elnnrabdioph  40629  expdiophlem1  40843  fmuldfeq  43124  fmul01lt1  43127  stoweidlem3  43544  stoweidlem26  43567  stoweidlem42  43583  stoweidlem48  43589  wallispilem3  43608  wallispilem4  43609  wallispi  43611  wallispi2lem1  43612  wallispi2lem2  43613  wallispi2  43614  stirlinglem7  43621  stirlinglem10  43624  stirlinglem12  43626  iccpartgtl  44878  fmtno4prmfac  45024  altgsumbcALT  45689