Theorem elnnuz 12283

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12282	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2904	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  1c1 10538  ℕcn 11638  ℤ_≥cuz 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-z 11983  df-uz 12245

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12291  uznnssnn  12296  uzsubsubfz1  12931  elfz1end  12938  fznn  12976  prednn  13031  fzo1fzo0n0  13089  elfzonlteqm1  13114  nnsinds  13357  faclbnd  13651  bcn1  13674  fz1isolem  13820  relexpsucnnr  14384  geoisum1  15235  geoisum1c  15236  fprodfac  15327  rpnnen2lem5  15571  rpnnen2lem12  15578  dvdsfac  15676  prmind2  16029  prmunb  16250  prmop1  16374  fvprmselelfz  16380  prmgaplem7  16393  structfn  16500  setsstruct  16523  mulgnngsum  18233  gexcl3  18712  cayhamlem1  21474  1stckgenlem  22161  radcnvlem2  25002  dvradcnv  25009  logfac  25184  logtayllem  25242  logtayl  25243  leibpi  25520  prmorcht  25755  pclogsum  25791  bpos1  25859  2lgslem1a  25967  2sqlem10  26004  axlowdimlem13  26740  axlowdim1  26745  clwwlkccatlem  27767  clwwlknonclwlknonf1o  28141  opsqrlem5  29921  iuninc  30312  esumfsupre  31330  esumcvg  31345  ballotlemfp1  31749  ballotlemfc0  31750  ballotlemfcc  31751  ballotlem4  31756  ballotlemic  31764  ballotlem1c  31765  cvmliftlem10  32541  climuzcnv  32914  bcprod  32970  faclim  32978  poimirlem13  34920  poimirlem14  34921  poimirlem30  34937  mblfinlem2  34945  seqpo  35037  incsequz  35038  incsequz2  35039  elnnrabdioph  39424  expdiophlem1  39638  fmuldfeq  41884  fmul01lt1  41887  stoweidlem3  42308  stoweidlem26  42331  stoweidlem42  42347  stoweidlem48  42353  wallispilem3  42372  wallispilem4  42373  wallispi  42375  wallispi2lem1  42376  wallispi2lem2  42377  wallispi2  42378  stirlinglem7  42385  stirlinglem10  42388  stirlinglem12  42390  iccpartgtl  43606  fmtno4prmfac  43754  altgsumbcALT  44421