Theorem elnnuz 12551

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12550	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2830	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  1c1 10803  ℕcn 11903  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12559  uznnssnn  12564  uzsubsubfz1  13208  elfz1end  13215  fznn  13253  prednn  13308  fzo1fzo0n0  13366  elfzonlteqm1  13391  nnsinds  13636  faclbnd  13932  bcn1  13955  fz1isolem  14103  relexpsucnnr  14664  geoisum1  15519  geoisum1c  15520  fprodfac  15611  rpnnen2lem5  15855  rpnnen2lem12  15862  dvdsfac  15963  prmind2  16318  prmunb  16543  prmop1  16667  fvprmselelfz  16673  prmgaplem7  16686  structfn  16785  setsstruct  16805  mulgnngsum  18624  gexcl3  19107  cayhamlem1  21923  1stckgenlem  22612  radcnvlem2  25478  dvradcnv  25485  logfac  25661  logtayllem  25719  logtayl  25720  leibpi  25997  prmorcht  26232  pclogsum  26268  bpos1  26336  2lgslem1a  26444  2sqlem10  26481  axlowdimlem13  27225  axlowdim1  27230  clwwlkccatlem  28254  clwwlknonclwlknonf1o  28627  opsqrlem5  30407  iuninc  30801  esumfsupre  31939  esumcvg  31954  ballotlemfp1  32358  ballotlemfc0  32359  ballotlemfcc  32360  ballotlem4  32365  ballotlemic  32373  ballotlem1c  32374  cvmliftlem10  33156  climuzcnv  33529  bcprod  33610  faclim  33618  poimirlem13  35717  poimirlem14  35718  poimirlem30  35734  mblfinlem2  35742  seqpo  35832  incsequz  35833  incsequz2  35834  elnnrabdioph  40545  expdiophlem1  40759  fmuldfeq  43014  fmul01lt1  43017  stoweidlem3  43434  stoweidlem26  43457  stoweidlem42  43473  stoweidlem48  43479  wallispilem3  43498  wallispilem4  43499  wallispi  43501  wallispi2lem1  43502  wallispi2lem2  43503  wallispi2  43504  stirlinglem7  43511  stirlinglem10  43514  stirlinglem12  43516  iccpartgtl  44766  fmtno4prmfac  44912  altgsumbcALT  45577