Theorem elnnuz 12923

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12922	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2832	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  1c1 11157  ℕcn 12267  ℤ_≥cuz 12879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-z 12616  df-uz 12880

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12933  uznnssnn  12938  uzsubsubfz1  13588  elfz1end  13595  fznn  13633  prednn  13692  fzo1fzo0n0  13755  elfzonlteqm1  13781  nnsinds  14030  faclbnd  14330  bcn1  14353  fz1isolem  14501  relexpsucnnr  15065  geoisum1  15916  geoisum1c  15917  fprodfac  16010  rpnnen2lem5  16255  rpnnen2lem12  16262  dvdsfac  16364  prmind2  16723  prmunb  16953  prmop1  17077  fvprmselelfz  17083  prmgaplem7  17096  structfn  17194  setsstruct  17214  mulgnngsum  19098  gexcl3  19606  cayhamlem1  22873  1stckgenlem  23562  radcnvlem2  26458  dvradcnv  26465  logfac  26644  logtayllem  26702  logtayl  26703  leibpi  26986  prmorcht  27222  pclogsum  27260  bpos1  27328  2lgslem1a  27436  2sqlem10  27473  axlowdimlem13  28970  axlowdim1  28975  dfpth2  29750  clwwlkccatlem  30009  clwwlknonclwlknonf1o  30382  opsqrlem5  32164  iuninc  32574  esumfsupre  34073  esumcvg  34088  ballotlemfp1  34495  ballotlemfc0  34496  ballotlemfcc  34497  ballotlem4  34502  ballotlemic  34510  ballotlem1c  34511  cvmliftlem10  35300  climuzcnv  35677  bcprod  35739  faclim  35747  poimirlem13  37641  poimirlem14  37642  poimirlem30  37658  mblfinlem2  37666  seqpo  37755  incsequz  37756  incsequz2  37757  elnnrabdioph  42823  expdiophlem1  43038  fmuldfeq  45603  fmul01lt1  45606  stoweidlem3  46023  stoweidlem26  46046  stoweidlem42  46062  stoweidlem48  46068  wallispilem3  46087  wallispilem4  46088  wallispi  46090  wallispi2lem1  46091  wallispi2lem2  46092  wallispi2  46093  stirlinglem7  46100  stirlinglem10  46103  stirlinglem12  46105  iccpartgtl  47418  fmtno4prmfac  47564  altgsumbcALT  48274