Theorem elnnuz 12791

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12790	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2828	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  1c1 11027  ℕcn 12145  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12808  uzsubsubfz1  13463  elfz1end  13470  fznn  13508  prednn  13567  fzo1fzo0n0  13631  elfzonlteqm1  13657  nnsinds  13911  faclbnd  14213  bcn1  14236  fz1isolem  14384  relexpsucnnr  14948  geoisum1  15802  geoisum1c  15803  fprodfac  15896  rpnnen2lem5  16143  rpnnen2lem12  16150  dvdsfac  16253  prmind2  16612  prmunb  16842  prmop1  16966  fvprmselelfz  16972  prmgaplem7  16985  structfn  17083  setsstruct  17103  mulgnngsum  19009  gexcl3  19516  cayhamlem1  22810  1stckgenlem  23497  radcnvlem2  26379  dvradcnv  26386  logfac  26566  logtayllem  26624  logtayl  26625  leibpi  26908  prmorcht  27144  pclogsum  27182  bpos1  27250  2lgslem1a  27358  2sqlem10  27395  axlowdimlem13  29027  axlowdim1  29032  dfpth2  29802  clwwlkccatlem  30064  clwwlknonclwlknonf1o  30437  opsqrlem5  32219  iuninc  32635  esumfsupre  34228  esumcvg  34243  ballotlemfp1  34649  ballotlemfc0  34650  ballotlemfcc  34651  ballotlem4  34656  ballotlemic  34664  ballotlem1c  34665  cvmliftlem10  35488  climuzcnv  35865  bcprod  35932  faclim  35940  poimirlem13  37834  poimirlem14  37835  poimirlem30  37851  mblfinlem2  37859  seqpo  37948  incsequz  37949  incsequz2  37950  elnnrabdioph  43049  expdiophlem1  43263  fmuldfeq  45829  fmul01lt1  45832  stoweidlem3  46247  stoweidlem26  46270  stoweidlem42  46286  stoweidlem48  46292  wallispilem3  46311  wallispilem4  46312  wallispi  46314  wallispi2lem1  46315  wallispi2lem2  46316  wallispi2  46317  stirlinglem7  46324  stirlinglem10  46327  stirlinglem12  46329  iccpartgtl  47672  fmtno4prmfac  47818  altgsumbcALT  48599