Theorem elnnuz 12819

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12818	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2829	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  1c1 11030  ℕcn 12165  ℤ_≥cuz 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-z 12516  df-uz 12780

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12836  uzsubsubfz1  13492  elfz1end  13499  fznn  13537  prednn  13596  fzo1fzo0n0  13661  elfzonlteqm1  13687  nnsinds  13941  faclbnd  14243  bcn1  14266  fz1isolem  14414  relexpsucnnr  14978  geoisum1  15835  geoisum1c  15836  fprodfac  15929  rpnnen2lem5  16176  rpnnen2lem12  16183  dvdsfac  16286  prmind2  16645  prmunb  16876  prmop1  17000  fvprmselelfz  17006  prmgaplem7  17019  structfn  17117  setsstruct  17137  mulgnngsum  19046  gexcl3  19553  cayhamlem1  22841  1stckgenlem  23528  radcnvlem2  26392  dvradcnv  26399  logfac  26578  logtayllem  26636  logtayl  26637  leibpi  26919  prmorcht  27155  pclogsum  27192  bpos1  27260  2lgslem1a  27368  2sqlem10  27405  axlowdimlem13  29037  axlowdim1  29042  dfpth2  29812  clwwlkccatlem  30074  clwwlknonclwlknonf1o  30447  opsqrlem5  32230  iuninc  32645  esumfsupre  34231  esumcvg  34246  ballotlemfp1  34652  ballotlemfc0  34653  ballotlemfcc  34654  ballotlem4  34659  ballotlemic  34667  ballotlem1c  34668  cvmliftlem10  35492  climuzcnv  35869  bcprod  35936  faclim  35944  poimirlem13  37968  poimirlem14  37969  poimirlem30  37985  mblfinlem2  37993  seqpo  38082  incsequz  38083  incsequz2  38084  elnnrabdioph  43253  expdiophlem1  43467  fmuldfeq  46031  fmul01lt1  46034  stoweidlem3  46449  stoweidlem26  46472  stoweidlem42  46488  stoweidlem48  46494  wallispilem3  46513  wallispilem4  46514  wallispi  46516  wallispi2lem1  46517  wallispi2lem2  46518  wallispi2  46519  stirlinglem7  46526  stirlinglem10  46529  stirlinglem12  46531  muldvdsfacm1  47847  iccpartgtl  47898  fmtno4prmfac  48047  nprmdvdsfacm1lem4  48098  ppivalnnnprmge6  48101  altgsumbcALT  48841