Theorem elnnuz 12898

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12897	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2861	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  1c1 11097  ℕcn 12229  ℤ_≥cuz 12858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-z 12588  df-uz 12859

This theorem is referenced by:  uznnssnn  12915  uzsubsubfz1  13571  elfz1end  13578  fznn  13616  prednn  13675  fzo1fzo0n0  13740  elfzonlteqm1  13766  nnsinds  14020  faclbnd  14322  bcn1  14345  fz1isolem  14494  relexpsucnnr  15058  geoisum1  15929  geoisum1c  15930  fprodfac  16023  rpnnen2lem5  16270  rpnnen2lem12  16277  dvdsfac  16380  prmind2  16739  prmunb  16970  prmop1  17094  fvprmselelfz  17100  prmgaplem7  17113  structfn  17212  setsstruct  17232  mulgnngsum  19141  gexcl3  19653  cayhamlem1  22988  1stckgenlem  23675  radcnvlem2  26539  dvradcnv  26546  logfac  26728  logtayllem  26786  logtayl  26787  leibpi  27069  prmorcht  27304  pclogsum  27341  bpos1  27409  2lgslem1a  27517  2sqlem10  27554  axlowdimlem13  29241  axlowdim1  29246  dfpth2  30015  clwwlkccatlem  30277  clwwlknonclwlknonf1o  30650  opsqrlem5  32433  iuninc  32842  esumfsupre  34402  esumcvg  34417  ballotlemfp1  34823  ballotlemfc0  34824  ballotlemfcc  34825  ballotlem4  34830  ballotlemic  34838  ballotlem1c  34839  cvmliftlem10  35681  climuzcnv  36058  bcprod  36125  faclim  36133  poimirlem13  38167  poimirlem14  38168  poimirlem30  38184  mblfinlem2  38192  seqpo  38281  incsequz  38282  incsequz2  38283  elnnrabdioph  43421  expdiophlem1  43635  fmuldfeq  46186  fmul01lt1  46189  stoweidlem3  46604  stoweidlem26  46627  stoweidlem42  46643  stoweidlem48  46649  wallispilem3  46668  wallispilem4  46669  wallispi  46671  wallispi2lem1  46672  wallispi2lem2  46673  wallispi2  46674  stirlinglem7  46681  stirlinglem10  46684  stirlinglem12  46686  muldvdsfacm1  48008  iccpartgtl  48059  fmtno4prmfac  48208  nprmdvdsfacm1lem4  48259  ppivalnnnprmge6  48262  altgsumbcALT  49013