Theorem elnnuz 12891

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12890	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2821	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6543  1c1 11134  ℕcn 12237  ℤ_≥cuz 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-z 12584  df-uz 12848

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  12899  uznnssnn  12904  uzsubsubfz1  13551  elfz1end  13558  fznn  13596  prednn  13651  fzo1fzo0n0  13710  elfzonlteqm1  13735  nnsinds  13980  faclbnd  14276  bcn1  14299  fz1isolem  14449  relexpsucnnr  14999  geoisum1  15852  geoisum1c  15853  fprodfac  15944  rpnnen2lem5  16189  rpnnen2lem12  16196  dvdsfac  16297  prmind2  16650  prmunb  16877  prmop1  17001  fvprmselelfz  17007  prmgaplem7  17020  structfn  17119  setsstruct  17139  mulgnngsum  19028  gexcl3  19536  cayhamlem1  22762  1stckgenlem  23451  radcnvlem2  26344  dvradcnv  26351  logfac  26529  logtayllem  26587  logtayl  26588  leibpi  26868  prmorcht  27104  pclogsum  27142  bpos1  27210  2lgslem1a  27318  2sqlem10  27355  axlowdimlem13  28759  axlowdim1  28764  clwwlkccatlem  29793  clwwlknonclwlknonf1o  30166  opsqrlem5  31948  iuninc  32345  esumfsupre  33685  esumcvg  33700  ballotlemfp1  34106  ballotlemfc0  34107  ballotlemfcc  34108  ballotlem4  34113  ballotlemic  34121  ballotlem1c  34122  cvmliftlem10  34899  climuzcnv  35270  bcprod  35327  faclim  35335  poimirlem13  37101  poimirlem14  37102  poimirlem30  37118  mblfinlem2  37126  seqpo  37215  incsequz  37216  incsequz2  37217  elnnrabdioph  42218  expdiophlem1  42433  fmuldfeq  44962  fmul01lt1  44965  stoweidlem3  45382  stoweidlem26  45405  stoweidlem42  45421  stoweidlem48  45427  wallispilem3  45446  wallispilem4  45447  wallispi  45449  wallispi2lem1  45450  wallispi2lem2  45451  wallispi2  45452  stirlinglem7  45459  stirlinglem10  45462  stirlinglem12  45464  iccpartgtl  46757  fmtno4prmfac  46903  altgsumbcALT  47408