Theorem elnnuz 12927

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12926	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2852	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  1c1 11125  ℕcn 12257  ℤ_≥cuz 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-z 12616  df-uz 12888

This theorem is used by:  uznnssnn  12944  uzsubsubfz1  13602  elfz1end  13609  fznn  13647  prednn  13706  fzo1fzo0n0  13771  elfzonlteqm1  13797  nnsinds  14052  faclbnd  14354  bcn1  14377  fz1isolem  14526  relexpsucnnr  15098  geoisum1  15968  geoisum1c  15969  fprodfac  16060  rpnnen2lem5  16306  rpnnen2lem12  16313  dvdsfac  16416  prmind2  16775  prmunb  17006  prmop1  17130  fvprmselelfz  17136  prmgaplem7  17149  structfn  17248  setsstruct  17268  mulgnngsum  19202  gexcl3  19714  cayhamlem1  23091  1stckgenlem  23779  radcnvlem2  26650  dvradcnv  26657  logfac  26838  logtayllem  26896  logtayl  26897  leibpi  27179  prmorcht  27414  pclogsum  27451  bpos1  27519  2lgslem1a  27627  2sqlem10  27664  axlowdimlem13  29411  axlowdim1  29416  dfpth2  30193  clwwlkccatlem  30459  clwwlknonclwlknonf1o  30842  opsqrlem5  32625  iuninc  33034  esumfsupre  34581  esumcvg  34596  ballotlemfp1  35003  ballotlemfc0  35004  ballotlemfcc  35005  ballotlem4  35010  ballotlemic  35018  ballotlem1c  35019  cvmliftlem10  35873  climuzcnv  36250  bcprod  36317  faclim  36325  poimirlem13  38382  poimirlem14  38383  poimirlem30  38399  mblfinlem2  38407  seqpo  38497  incsequz  38498  incsequz2  38499  elnnrabdioph  43648  expdiophlem1  43862  fmuldfeq  46413  fmul01lt1  46416  stoweidlem3  46831  stoweidlem26  46854  stoweidlem42  46870  stoweidlem48  46876  wallispilem3  46895  wallispilem4  46896  wallispi  46898  wallispi2lem1  46899  wallispi2lem2  46900  wallispi2  46901  stirlinglem7  46908  stirlinglem10  46911  stirlinglem12  46913  muldvdsfacm1  48275  iccpartgtl  48326  fmtno4prmfac  48475  nprmdvdsfacm1lem4  48526  ppivalnnnprmge6  48529  altgsumbcALT  49283  veronesevrowd  50812