Theorem elnnuz 12918

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12917	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2857	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  1c1 11116  ℕcn 12248  ℤ_≥cuz 12878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-z 12607  df-uz 12879

This theorem is used by:  uznnssnn  12935  uzsubsubfz1  13592  elfz1end  13599  fznn  13637  prednn  13696  fzo1fzo0n0  13761  elfzonlteqm1  13787  nnsinds  14042  faclbnd  14344  bcn1  14367  fz1isolem  14516  relexpsucnnr  15086  geoisum1  15956  geoisum1c  15957  fprodfac  16050  rpnnen2lem5  16296  rpnnen2lem12  16303  dvdsfac  16406  prmind2  16765  prmunb  16996  prmop1  17120  fvprmselelfz  17126  prmgaplem7  17139  structfn  17238  setsstruct  17258  mulgnngsum  19189  gexcl3  19701  cayhamlem1  23073  1stckgenlem  23761  radcnvlem2  26628  dvradcnv  26635  logfac  26817  logtayllem  26875  logtayl  26876  leibpi  27158  prmorcht  27393  pclogsum  27430  bpos1  27498  2lgslem1a  27606  2sqlem10  27643  axlowdimlem13  29359  axlowdim1  29364  dfpth2  30141  clwwlkccatlem  30407  clwwlknonclwlknonf1o  30784  opsqrlem5  32567  iuninc  32976  esumfsupre  34525  esumcvg  34540  ballotlemfp1  34947  ballotlemfc0  34948  ballotlemfcc  34949  ballotlem4  34954  ballotlemic  34962  ballotlem1c  34963  cvmliftlem10  35823  climuzcnv  36200  bcprod  36267  faclim  36275  poimirlem13  38341  poimirlem14  38342  poimirlem30  38358  mblfinlem2  38366  seqpo  38456  incsequz  38457  incsequz2  38458  elnnrabdioph  43592  expdiophlem1  43806  fmuldfeq  46357  fmul01lt1  46360  stoweidlem3  46775  stoweidlem26  46798  stoweidlem42  46814  stoweidlem48  46820  wallispilem3  46839  wallispilem4  46840  wallispi  46842  wallispi2lem1  46843  wallispi2lem2  46844  wallispi2  46845  stirlinglem7  46852  stirlinglem10  46855  stirlinglem12  46857  muldvdsfacm1  48182  iccpartgtl  48233  fmtno4prmfac  48382  nprmdvdsfacm1lem4  48433  ppivalnnnprmge6  48436  altgsumbcALT  49190