Theorem elnnuz 13045

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13044	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2856	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  1c1 11240  ℕcn 12375  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  uznnssnn  13062  uzsubsubfz1  13721  elfz1end  13728  fznn  13766  prednn  13825  fzo1fzo0n0  13890  elfzonlteqm1  13916  nnsinds  14171  faclbnd  14475  bcn1  14498  fz1isolem  14647  relexpsucnnr  15221  geoisum1  16092  geoisum1c  16093  fprodfac  16184  rpnnen2lem5  16430  rpnnen2lem12  16437  dvdsfac  16540  prmind2  16904  prmunb  17136  prmop1  17260  fvprmselelfz  17266  prmgaplem7  17279  structfn  17378  setsstruct  17398  mulgnngsum  19339  gexcl3  19852  cayhamlem1  23239  1stckgenlem  23927  radcnvlem2  26798  dvradcnv  26805  logfac  26986  logtayllem  27044  logtayl  27045  leibpi  27327  prmorcht  27562  pclogsum  27599  bpos1  27667  2lgslem1a  27775  2sqlem10  27812  axlowdimlem13  29589  axlowdim1  29594  dfpth2  30371  clwwlkccatlem  30637  clwwlknonclwlknonf1o  31020  opsqrlem5  32803  iuninc  33253  esumfsupre  34814  esumcvg  34829  ballotlemfp1  35235  ballotlemfc0  35236  ballotlemfcc  35237  ballotlem4  35242  ballotlemic  35250  ballotlem1c  35251  cvmliftlem10  36267  climuzcnv  36644  bcprod  36718  faclim  36726  poimirlem13  38819  poimirlem14  38820  poimirlem30  38836  mblfinlem2  38844  seqpo  38947  incsequz  38948  incsequz2  38949  elnnrabdioph  44080  expdiophlem1  44294  fmuldfeq  46868  fmul01lt1  46871  stoweidlem3  47286  stoweidlem26  47309  stoweidlem42  47325  stoweidlem48  47331  wallispilem3  47350  wallispilem4  47351  wallispi  47353  wallispi2lem1  47354  wallispi2lem2  47355  wallispi2  47356  stirlinglem7  47363  stirlinglem10  47366  stirlinglem12  47368  muldvdsfacm1  48730  iccpartgtl  48781  fmtno4prmfac  48930  nprmdvdsfacm1lem4  48981  ppivalnnnprmge6  48984  altgsumbcALT  49796  veronesevrowd  51407