Theorem fzindd 12636

Description: Induction on the integers from M to N inclusive, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzindd.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
fzindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
fzindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
fzindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
fzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
fzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
fzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzindd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem fzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzindd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzindd.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		fzindd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
6		fzindd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
8		fzindd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
9	8	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
10		fzindd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
11	10	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
12		fzindd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜒))
14		fzindd.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
15	14	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) ∧ 𝜃) → 𝜏)
16	15	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜃 → 𝜏))
17	16	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
18	17	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
20	5, 7, 9, 11, 13, 19	fzind 12632	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
21	3, 20	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
22	21	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜂)
23	22	anabss1 666	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  42029  aks6d1c1  42104  ormkglobd  46873  natglobalincr  46875