Theorem fzindd 12592

Description: Induction on the integers from M to N inclusive, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzindd.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
fzindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
fzindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
fzindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
fzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
fzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
fzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzindd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem fzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzindd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzindd.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		fzindd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
6		fzindd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
8		fzindd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
9	8	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
10		fzindd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
11	10	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
12		fzindd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜒))
14		fzindd.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
15	14	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) ∧ 𝜃) → 𝜏)
16	15	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜃 → 𝜏))
17	16	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
18	17	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
20	5, 7, 9, 11, 13, 19	fzind 12588	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
21	3, 20	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
22	21	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜂)
23	22	anabss1 666	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487

This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  42234  aks6d1c1  42309  ormkglobd  47061  natglobalincr  47063