Theorem fzindd 39528

Description: Induction on the integers from M to N inclusive, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzindd.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
fzindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
fzindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
fzindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
fzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
fzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
fzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzindd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem fzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzindd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzindd.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		fzindd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	imbi2d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
6		fzindd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
7	6	imbi2d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
8		fzindd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
9	8	imbi2d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
10		fzindd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
11	10	imbi2d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
12		fzindd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜒))
14		fzindd.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
15	14	3expa 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) ∧ 𝜃) → 𝜏)
16	15	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜃 → 𝜏))
17	16	expcom 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
18	17	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
19	18	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
20	5, 7, 9, 11, 13, 19	fzind 12104	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
21	3, 20	sylan 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
22	21	imp 411	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜂)
23	22	anabss1 666	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  (class class class)co 7143  1c1 10561   + caddc 10563   < clt 10698   ≤ cle 10699  ℤcz 12005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006

This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  39593