Theorem fzindd 12716

Description: Induction on the integers from M to N inclusive, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzindd.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
fzindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
fzindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
fzindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
fzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
fzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
fzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzindd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem fzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzindd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzindd.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		fzindd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
6		fzindd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
7	6	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
8		fzindd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
9	8	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
10		fzindd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
11	10	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
12		fzindd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜒))
14		fzindd.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
15	14	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) ∧ 𝜃) → 𝜏)
16	15	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜃 → 𝜏))
17	16	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
18	17	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
20	5, 7, 9, 11, 13, 19	fzind 12712	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
21	3, 20	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
22	21	imp 412	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜂)
23	22	anabss1 679	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℤcz 12609

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610

This theorem is used by:  lcmineqlem13  42841  aks6d1c1  42916  ormkglobd  47624  natglobalincr  47626