Theorem fzindd 12578

Description: Induction on the integers from M to N inclusive, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzindd.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
fzindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
fzindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
fzindd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
fzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
fzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
fzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzindd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem fzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzindd.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fzindd.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		fzindd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
6		fzindd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
8		fzindd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
9	8	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
10		fzindd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
11	10	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
12		fzindd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜒))
14		fzindd.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ∧ 𝜃) → 𝜏)
15	14	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) ∧ 𝜃) → 𝜏)
16	15	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜃 → 𝜏))
17	16	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
18	17	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
20	5, 7, 9, 11, 13, 19	fzind 12574	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
21	3, 20	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → 𝜂))
22	21	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜂)
23	22	anabss1 666	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑁)) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472

This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  42018  aks6d1c1  42093  ormkglobd  46860  natglobalincr  46862