MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnz 12423
Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
btwnz (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴

Proof of Theorem btwnz
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 11284 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 arch 12230 . . . 4 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
4 nnre 11980 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
5 ltnegcon1 11476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴))
65ex 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
74, 6syl5 34 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
87pm5.32d 577 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴)))
9 nnnegz 12322 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → -𝑧 ∈ ℤ)
10 breq1 5077 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑧 → (𝑥 < 𝐴 ↔ -𝑧 < 𝐴))
1110rspcev 3561 . . . . . . 7 ((-𝑧 ∈ ℤ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
129, 11sylan 580 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
138, 12syl6bi 252 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
1413expd 416 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)))
1514rexlimdv 3212 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
163, 15mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
17 arch 12230 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦)
18 nnz 12342 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
1918anim1i 615 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑦))
2019reximi2 3175 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
2117, 20syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
2216, 21jca 512 1 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wrex 3065   class class class wbr 5074  cr 10870   < clt 11009  -cneg 11206  cn 11973  cz 12319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320
This theorem is referenced by:  lbzbi  12676  rpnnen1lem2  12717  rpnnen1lem1  12718  rpnnen1lem3  12719  rpnnen1lem5  12721  fourierdlem64  43711
  Copyright terms: Public domain W3C validator