Theorem btwnz 12696

Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
btwnz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴

Proof of Theorem btwnz

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11554	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		arch 12500	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
4		nnre 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
5		ltnegcon1 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴))
6	5	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
7	4, 6	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
8	7	pm5.32d 576	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴)))
9		nnnegz 12592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → -𝑧 ∈ ℤ)
10		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑧 → (𝑥 < 𝐴 ↔ -𝑧 < 𝐴))
11	10	rspcev 3609	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑧 ∈ ℤ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
12	9, 11	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
13	8, 12	biimtrdi 252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
14	13	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)))
15	14	rexlimdv 3150	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
16	3, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
17		arch 12500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦)
18		nnz 12610	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
19	18	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑦))
20	19	reximi2 3076	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
21	17, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
22	16, 21	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   class class class wbr 5148  ℝcr 11138   < clt 11279  -cneg 11476  ℕcn 12243  ℤcz 12589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-z 12590

This theorem is referenced by:  lbzbi  12951  rpnnen1lem2  12992  rpnnen1lem1  12993  rpnnen1lem3  12994  rpnnen1lem5  12996  fourierdlem64  45558