MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnz 12073
Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
btwnz (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴

Proof of Theorem btwnz
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 10938 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 arch 11883 . . . 4 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧)
4 nnre 11634 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
5 ltnegcon1 11130 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴))
65ex 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
74, 6syl5 34 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 ↔ -𝑧 < 𝐴)))
87pm5.32d 577 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴)))
9 nnnegz 11973 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → -𝑧 ∈ ℤ)
10 breq1 5066 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑧 → (𝑥 < 𝐴 ↔ -𝑧 < 𝐴))
1110rspcev 3627 . . . . . . 7 ((-𝑧 ∈ ℤ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
129, 11sylan 580 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝑧 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
138, 12syl6bi 254 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ -𝐴 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
1413expd 416 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℕ → (-𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)))
1514rexlimdv 3288 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℕ -𝐴 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴))
163, 15mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴)
17 arch 11883 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦)
18 nnz 11993 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
1918anim1i 614 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑦) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑦))
2019reximi2 3249 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
2117, 20syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦)
2216, 21jca 512 1 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 < 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  wrex 3144   class class class wbr 5063  cr 10525   < clt 10664  -cneg 10860  cn 11627  cz 11970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-z 11971
This theorem is referenced by:  lbzbi  12325  rpnnen1lem2  12366  rpnnen1lem1  12367  rpnnen1lem3  12368  rpnnen1lem5  12370  fourierdlem64  42321
  Copyright terms: Public domain W3C validator