Theorem lcmineqlem13 42029

Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem13.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem13	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem13

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem13.1	. 2 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nnge1 12214	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
6		lcmineqlem13.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
7	3, 5, 6	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
8		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) = (1 − 1))
9	8	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
10		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 1))
11	10	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
12	9, 11	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
14	13	itgeq2dv 25683	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
16		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C1))
17	15, 16	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (1 · (𝑁C1)))
18	17	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (1 · (𝑁C1))))
19	14, 18	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1)))))
20		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 − 1) = (𝑚 − 1))
21	20	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑚 − 1)))
22		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑚))
23	22	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚)))
24	21, 23	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
26	25	itgeq2dv 25683	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥)
27		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
28		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑚))
29	27, 28	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑚 · (𝑁C𝑚)))
30	29	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))))
31	26, 30	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
32		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
33	32	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)))
34		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − (𝑚 + 1)))
35	34	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1))))
36	33, 35	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = (𝑚 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
38	37	itgeq2dv 25683	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥)
39		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → 𝑖 = (𝑚 + 1))
40		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁C𝑖) = (𝑁C(𝑚 + 1)))
41	39, 40	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))
42	41	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
43	38, 42	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))))
44		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 − 1) = (𝑀 − 1))
45	44	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑀 − 1)))
46		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑀))
47	46	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
48	45, 47	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
50	49	itgeq2dv 25683	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
51		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → 𝑖 = 𝑀)
52		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑀))
53	51, 52	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑀 · (𝑁C𝑀)))
54	53	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
55	50, 54	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
56		lcmineqlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
57	56	lcmineqlem12 42028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
58		elnnz1 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚))
59	58	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ ℕ)
60	59	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
62	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 < 𝑁)
64	61, 62, 63	lcmineqlem10 42026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
66		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
67	66	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
68	65, 67	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
69	61, 62, 63	lcmineqlem11 42027	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
70	69	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
71	68, 70	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
72		1zzd 12564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	56	nnzd 12556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
74	56	nnge1d 12234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
75	19, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74	fzindd 12636	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
76	7, 75	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
77	1, 76	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℤcz 12529  [,]cicc 13309  ↑cexp 14026  Ccbc 14267  ∫citg 25519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-symdif 4216  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-itg1 25521  df-itg2 25522  df-ibl 25523  df-itg 25524  df-0p 25571  df-limc 25767  df-dv 25768

This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  42031  lcmineqlem16  42032