Theorem lcmineqlem13 42789

Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem13.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem13	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem13

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem13.1	. 2 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nnge1 12265	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
6		lcmineqlem13.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
7	3, 5, 6	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
8		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) = (1 − 1))
9	8	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
10		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 1))
11	10	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
12	9, 11	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
14	13	itgeq2dv 25922	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥)
15		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
16		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C1))
17	15, 16	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (1 · (𝑁C1)))
18	17	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (1 · (𝑁C1))))
19	14, 18	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1)))))
20		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 − 1) = (𝑚 − 1))
21	20	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑚 − 1)))
22		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑚))
23	22	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚)))
24	21, 23	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
25	24	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
26	25	itgeq2dv 25922	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥)
27		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
28		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑚))
29	27, 28	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑚 · (𝑁C𝑚)))
30	29	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))))
31	26, 30	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
32		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
33	32	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)))
34		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − (𝑚 + 1)))
35	34	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1))))
36	33, 35	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
37	36	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = (𝑚 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
38	37	itgeq2dv 25922	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥)
39		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → 𝑖 = (𝑚 + 1))
40		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁C𝑖) = (𝑁C(𝑚 + 1)))
41	39, 40	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))
42	41	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
43	38, 42	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))))
44		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 − 1) = (𝑀 − 1))
45	44	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑀 − 1)))
46		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑀))
47	46	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
48	45, 47	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
49	48	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
50	49	itgeq2dv 25922	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
51		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → 𝑖 = 𝑀)
52		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑀))
53	51, 52	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑀 · (𝑁C𝑀)))
54	53	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
55	50, 54	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
56		lcmineqlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
57	56	lcmineqlem12 42788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
58		elnnz1 12621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚))
59	58	biimpri 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ ℕ)
60	59	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
61	60	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
62	56	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 < 𝑁)
64	61, 62, 63	lcmineqlem10 42786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
65	64	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
66		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
67	66	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
68	65, 67	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
69	61, 62, 63	lcmineqlem11 42787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
70	69	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
71	68, 70	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
72		1zzd 12626	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	56	nnzd 12618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
74	56	nnge1d 12285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
75	19, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74	fzindd 12699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
76	7, 75	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
77	1, 76	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442   / cdiv 11872  ℕcn 12234  ℤcz 12592  [,]cicc 13376  ↑cexp 14099  Ccbc 14340  ∫citg 25758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-itg2 25761  df-ibl 25762  df-itg 25763  df-0p 25810  df-limc 26006  df-dv 26007

This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  42791  lcmineqlem16  42792