Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem13 40906
Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem13.1 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
lcmineqlem13.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem13.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem13.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem13 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lcmineqlem13
Dummy variables ๐‘– ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem13.1 . 2 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
2 lcmineqlem13.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnzd 12585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4 nnge1 12240 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
52, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
6 lcmineqlem13.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
73, 5, 63jca 1129 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
8 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
98oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)))
10 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘–) = (๐‘ โˆ’ 1))
1110oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘– = 1 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
129, 11oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐‘– = 1 โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
1312adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘– = 1 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
1413itgeq2dv 25299 . . . . 5 (๐‘– = 1 โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ฅ)
15 id 22 . . . . . . 7 (๐‘– = 1 โ†’ ๐‘– = 1)
16 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘C๐‘–) = (๐‘C1))
1715, 16oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–)) = (1 ยท (๐‘C1)))
1817oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘– = 1 โ†’ (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) = (1 / (1 ยท (๐‘C1))))
1914, 18eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘– = 1 โ†’ (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) โ†” โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ฅ = (1 / (1 ยท (๐‘C1)))))
20 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = (๐‘š โˆ’ 1))
2120oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))
22 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘–) = (๐‘ โˆ’ ๐‘š))
2322oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š)))
2421, 23oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))))
2524adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))))
2625itgeq2dv 25299 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘š โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ)
27 id 22 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ๐‘– = ๐‘š)
28 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘C๐‘–) = (๐‘C๐‘š))
2927, 28oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–)) = (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))
3029oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š))))
3126, 30eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) โ†” โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
32 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = ((๐‘š + 1) โˆ’ 1))
3332oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)))
34 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘–) = (๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))
3534oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1))))
3633, 35oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))))
3736adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘– = (๐‘š + 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))))
3837itgeq2dv 25299 . . . . 5 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ)
39 id 22 . . . . . . 7 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ ๐‘– = (๐‘š + 1))
40 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘C๐‘–) = (๐‘C(๐‘š + 1)))
4139, 40oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–)) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1))))
4241oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) = (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1)))))
4338, 42eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) โ†” โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1))))))
44 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = (๐‘€ โˆ’ 1))
4544oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))
46 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘–) = (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
4746oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
4845, 47oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
4948adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘– = ๐‘€ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
5049itgeq2dv 25299 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)
51 id 22 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ ๐‘– = ๐‘€)
52 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘C๐‘–) = (๐‘C๐‘€))
5351, 52oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–)) = (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))
5453oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
5550, 54eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) โ†” โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
56 lcmineqlem13.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5756lcmineqlem12 40905 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ฅ = (1 / (1 ยท (๐‘C1))))
58 elnnz1 12588 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†” (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š))
5958biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
60593adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
6160adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
6256adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
63 simpr3 1197 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ ๐‘š < ๐‘)
6461, 62, 63lcmineqlem10 40903 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ))
65643adant3 1133 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ))
66 oveq2 7417 . . . . . . 7 (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š))) โ†’ ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ) = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
67663ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ) = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
6865, 67eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
6961, 62, 63lcmineqlem11 40904 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1)))) = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
70693adant3 1133 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1)))) = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
7168, 70eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1)))))
72 1zzd 12593 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
7356nnzd 12585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7456nnge1d 12260 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
7519, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74fzindd 12664 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘)) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
767, 75mpdan 686 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
771, 76eqtrid 2785 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  [,]cicc 13327  โ†‘cexp 14027  Ccbc 14262  โˆซcitg 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  40908  lcmineqlem16  40909
  Copyright terms: Public domain W3C validator