Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem13 41212
Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem13.1 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
lcmineqlem13.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem13.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem13.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem13 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lcmineqlem13
Dummy variables ๐‘– ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem13.1 . 2 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
2 lcmineqlem13.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnzd 12589 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4 nnge1 12244 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
52, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
6 lcmineqlem13.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
73, 5, 63jca 1126 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
8 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
98oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)))
10 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘–) = (๐‘ โˆ’ 1))
1110oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘– = 1 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
129, 11oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘– = 1 โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
1312adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘– = 1 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
1413itgeq2dv 25531 . . . . 5 (๐‘– = 1 โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ฅ)
15 id 22 . . . . . . 7 (๐‘– = 1 โ†’ ๐‘– = 1)
16 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘C๐‘–) = (๐‘C1))
1715, 16oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–)) = (1 ยท (๐‘C1)))
1817oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘– = 1 โ†’ (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) = (1 / (1 ยท (๐‘C1))))
1914, 18eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘– = 1 โ†’ (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) โ†” โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ฅ = (1 / (1 ยท (๐‘C1)))))
20 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = (๐‘š โˆ’ 1))
2120oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))
22 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘–) = (๐‘ โˆ’ ๐‘š))
2322oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š)))
2421, 23oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))))
2524adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))))
2625itgeq2dv 25531 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘š โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ)
27 id 22 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ๐‘– = ๐‘š)
28 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘C๐‘–) = (๐‘C๐‘š))
2927, 28oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–)) = (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))
3029oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š))))
3126, 30eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘– = ๐‘š โ†’ (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) โ†” โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
32 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = ((๐‘š + 1) โˆ’ 1))
3332oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)))
34 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘–) = (๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))
3534oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1))))
3633, 35oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))))
3736adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘– = (๐‘š + 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))))
3837itgeq2dv 25531 . . . . 5 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ)
39 id 22 . . . . . . 7 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ ๐‘– = (๐‘š + 1))
40 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘C๐‘–) = (๐‘C(๐‘š + 1)))
4139, 40oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–)) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1))))
4241oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) = (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1)))))
4338, 42eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘– = (๐‘š + 1) โ†’ (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) โ†” โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1))))))
44 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) = (๐‘€ โˆ’ 1))
4544oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) = (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))
46 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘–) = (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
4746oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
4845, 47oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
4948adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘– = ๐‘€ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
5049itgeq2dv 25531 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)
51 id 22 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ ๐‘– = ๐‘€)
52 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘C๐‘–) = (๐‘C๐‘€))
5351, 52oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–)) = (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))
5453oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
5550, 54eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘– โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘–))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘– ยท (๐‘C๐‘–))) โ†” โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€)))))
56 lcmineqlem13.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5756lcmineqlem12 41211 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ฅ = (1 / (1 ยท (๐‘C1))))
58 elnnz1 12592 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†” (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š))
5958biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
60593adant3 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
6160adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
6256adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
63 simpr3 1194 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ ๐‘š < ๐‘)
6461, 62, 63lcmineqlem10 41209 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ))
65643adant3 1130 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ))
66 oveq2 7419 . . . . . . 7 (โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š))) โ†’ ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ) = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
67663ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ) = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
6865, 67eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
6961, 62, 63lcmineqlem11 41210 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘)) โ†’ (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1)))) = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
70693adant3 1130 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1)))) = ((๐‘š / (๐‘ โˆ’ ๐‘š)) ยท (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))))
7168, 70eqtr4d 2773 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘) โˆง โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘š โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘š))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘š ยท (๐‘C๐‘š)))) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘š + 1)))) d๐‘ฅ = (1 / ((๐‘š + 1) ยท (๐‘C(๐‘š + 1)))))
72 1zzd 12597 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
7356nnzd 12589 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7456nnge1d 12264 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
7519, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74fzindd 12668 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘)) โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
767, 75mpdan 683 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
771, 76eqtrid 2782 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (1 / (๐‘€ ยท (๐‘C๐‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  [,]cicc 13331  โ†‘cexp 14031  Ccbc 14266  โˆซcitg 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  41214  lcmineqlem16  41215
  Copyright terms: Public domain W3C validator