Theorem lcmineqlem13 42042

Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem13.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem13	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem13

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem13.1	. 2 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nnge1 12294	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
6		lcmineqlem13.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
7	3, 5, 6	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
8		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) = (1 − 1))
9	8	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
10		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 1))
11	10	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
12	9, 11	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
14	13	itgeq2dv 25817	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
16		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C1))
17	15, 16	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (1 · (𝑁C1)))
18	17	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (1 · (𝑁C1))))
19	14, 18	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1)))))
20		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 − 1) = (𝑚 − 1))
21	20	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑚 − 1)))
22		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑚))
23	22	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚)))
24	21, 23	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
26	25	itgeq2dv 25817	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥)
27		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
28		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑚))
29	27, 28	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑚 · (𝑁C𝑚)))
30	29	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))))
31	26, 30	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
32		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
33	32	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)))
34		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − (𝑚 + 1)))
35	34	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1))))
36	33, 35	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = (𝑚 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
38	37	itgeq2dv 25817	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥)
39		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → 𝑖 = (𝑚 + 1))
40		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁C𝑖) = (𝑁C(𝑚 + 1)))
41	39, 40	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))
42	41	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
43	38, 42	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))))
44		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 − 1) = (𝑀 − 1))
45	44	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑀 − 1)))
46		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑀))
47	46	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
48	45, 47	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
50	49	itgeq2dv 25817	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
51		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → 𝑖 = 𝑀)
52		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑀))
53	51, 52	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑀 · (𝑁C𝑀)))
54	53	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
55	50, 54	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
56		lcmineqlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
57	56	lcmineqlem12 42041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
58		elnnz1 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚))
59	58	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ ℕ)
60	59	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
62	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 < 𝑁)
64	61, 62, 63	lcmineqlem10 42039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
65	64	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
66		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
67	66	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
68	65, 67	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
69	61, 62, 63	lcmineqlem11 42040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
70	69	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
71	68, 70	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
72		1zzd 12648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	56	nnzd 12640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
74	56	nnge1d 12314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
75	19, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74	fzindd 12720	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
76	7, 75	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
77	1, 76	eqtrid 2789	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℤcz 12613  [,]cicc 13390  ↑cexp 14102  Ccbc 14341  ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  42044  lcmineqlem16  42045