Theorem lcmineqlem13 41998

Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem13.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem13	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem13

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem13.1	. 2 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nnge1 12321	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
6		lcmineqlem13.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
7	3, 5, 6	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
8		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) = (1 − 1))
9	8	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
10		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 1))
11	10	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
12	9, 11	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
14	13	itgeq2dv 25837	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
16		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C1))
17	15, 16	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (1 · (𝑁C1)))
18	17	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (1 · (𝑁C1))))
19	14, 18	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1)))))
20		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 − 1) = (𝑚 − 1))
21	20	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑚 − 1)))
22		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑚))
23	22	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚)))
24	21, 23	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
26	25	itgeq2dv 25837	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥)
27		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
28		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑚))
29	27, 28	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑚 · (𝑁C𝑚)))
30	29	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))))
31	26, 30	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
32		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
33	32	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)))
34		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − (𝑚 + 1)))
35	34	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1))))
36	33, 35	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = (𝑚 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
38	37	itgeq2dv 25837	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥)
39		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → 𝑖 = (𝑚 + 1))
40		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁C𝑖) = (𝑁C(𝑚 + 1)))
41	39, 40	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))
42	41	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
43	38, 42	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))))
44		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 − 1) = (𝑀 − 1))
45	44	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑀 − 1)))
46		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑀))
47	46	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
48	45, 47	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
50	49	itgeq2dv 25837	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
51		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → 𝑖 = 𝑀)
52		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑀))
53	51, 52	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑀 · (𝑁C𝑀)))
54	53	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
55	50, 54	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
56		lcmineqlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
57	56	lcmineqlem12 41997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
58		elnnz1 12669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚))
59	58	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ ℕ)
60	59	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
62	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63		simpr3 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 < 𝑁)
64	61, 62, 63	lcmineqlem10 41995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
66		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
67	66	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
68	65, 67	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
69	61, 62, 63	lcmineqlem11 41996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
70	69	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
71	68, 70	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
72		1zzd 12674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	56	nnzd 12666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
74	56	nnge1d 12341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
75	19, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74	fzindd 12745	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
76	7, 75	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
77	1, 76	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℤcz 12639  [,]cicc 13410  ↑cexp 14112  Ccbc 14351  ∫citg 25672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-itg 25677  df-0p 25724  df-limc 25921  df-dv 25922

This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  42000  lcmineqlem16  42001