Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem13 40311
Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem13.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem13.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem13 (𝜑𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem13
Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem13.1 . 2 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem13.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12526 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 nnge1 12102 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
6 lcmineqlem13.4 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
73, 5, 63jca 1127 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀𝑀𝑁))
8 oveq1 7344 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) = (1 − 1))
98oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
10 oveq2 7345 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑁𝑖) = (𝑁 − 1))
1110oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
129, 11oveq12d 7355 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
1413itgeq2dv 25052 . . . . 5 (𝑖 = 1 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥)
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
16 oveq2 7345 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C1))
1715, 16oveq12d 7355 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (1 · (𝑁C1)))
1817oveq2d 7353 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (1 · (𝑁C1))))
1914, 18eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑖 = 1 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1)))))
20 oveq1 7344 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 − 1) = (𝑚 − 1))
2120oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑚 − 1)))
22 oveq2 7345 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (𝑁𝑖) = (𝑁𝑚))
2322oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚)))
2421, 23oveq12d 7355 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑚 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))))
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑚𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))))
2625itgeq2dv 25052 . . . . 5 (𝑖 = 𝑚 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥)
27 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑚𝑖 = 𝑚)
28 oveq2 7345 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑚 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑚))
2927, 28oveq12d 7355 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑚 · (𝑁C𝑚)))
3029oveq2d 7353 . . . . 5 (𝑖 = 𝑚 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))))
3126, 30eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑖 = 𝑚 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
32 oveq1 7344 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
3332oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)))
34 oveq2 7345 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁𝑖) = (𝑁 − (𝑚 + 1)))
3534oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1))))
3633, 35oveq12d 7355 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
3736adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = (𝑚 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
3837itgeq2dv 25052 . . . . 5 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥)
39 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑚 + 1) → 𝑖 = (𝑚 + 1))
40 oveq2 7345 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁C𝑖) = (𝑁C(𝑚 + 1)))
4139, 40oveq12d 7355 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))
4241oveq2d 7353 . . . . 5 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
4338, 42eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))))
44 oveq1 7344 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 − 1) = (𝑀 − 1))
4544oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑀 − 1)))
46 oveq2 7345 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → (𝑁𝑖) = (𝑁𝑀))
4746oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))
4845, 47oveq12d 7355 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))))
4948adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))))
5049itgeq2dv 25052 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)
51 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀𝑖 = 𝑀)
52 oveq2 7345 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑀))
5351, 52oveq12d 7355 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑀 · (𝑁C𝑀)))
5453oveq2d 7353 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
5550, 54eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑖 = 𝑀 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
56 lcmineqlem13.3 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5756lcmineqlem12 40310 . . . 4 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
58 elnnz1 12447 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚))
5958biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ ℕ)
60593adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
6160adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6256adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63 simpr3 1195 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 < 𝑁)
6461, 62, 63lcmineqlem10 40308 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥))
65643adant3 1131 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥))
66 oveq2 7345 . . . . . . 7 (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))) → ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
67663ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
6865, 67eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
6961, 62, 63lcmineqlem11 40309 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
70693adant3 1131 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
7168, 70eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
72 1zzd 12452 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7356nnzd 12526 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7456nnge1d 12122 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
7519, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74fzindd 12523 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀𝑀𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
767, 75mpdan 684 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
771, 76eqtrid 2788 1 (𝜑𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306   / cdiv 11733  cn 12074  cz 12420  [,]cicc 13183  cexp 13883  Ccbc 14117  citg 24888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cc 10292  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-symdif 4189  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-ofr 7596  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-omul 8372  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-acn 9799  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ioc 13185  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-fac 14089  df-bc 14118  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-ovol 24734  df-vol 24735  df-mbf 24889  df-itg1 24890  df-itg2 24891  df-ibl 24892  df-itg 24893  df-0p 24940  df-limc 25136  df-dv 25137
This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  40313  lcmineqlem16  40314
  Copyright terms: Public domain W3C validator