Theorem lcmineqlem13 39593

Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem13.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem13	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem13

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem13.1	. 2 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem13.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nnge1 11687	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
6		lcmineqlem13.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
7	3, 5, 6	3jca 1126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
8		oveq1 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) = (1 − 1))
9	8	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
10		oveq2 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 1))
11	10	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
12	9, 11	oveq12d 7161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
14	13	itgeq2dv 24466	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
16		oveq2 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C1))
17	15, 16	oveq12d 7161	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (1 · (𝑁C1)))
18	17	oveq2d 7159	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (1 · (𝑁C1))))
19	14, 18	eqeq12d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1)))))
20		oveq1 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 − 1) = (𝑚 − 1))
21	20	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑚 − 1)))
22		oveq2 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑚))
23	22	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚)))
24	21, 23	oveq12d 7161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
25	24	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))))
26	25	itgeq2dv 24466	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥)
27		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑖 = 𝑚)
28		oveq2 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑚))
29	27, 28	oveq12d 7161	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑚 · (𝑁C𝑚)))
30	29	oveq2d 7159	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))))
31	26, 30	eqeq12d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
32		oveq1 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
33	32	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)))
34		oveq2 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − (𝑚 + 1)))
35	34	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1))))
36	33, 35	oveq12d 7161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
37	36	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = (𝑚 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
38	37	itgeq2dv 24466	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥)
39		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → 𝑖 = (𝑚 + 1))
40		oveq2 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁C𝑖) = (𝑁C(𝑚 + 1)))
41	39, 40	oveq12d 7161	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))
42	41	oveq2d 7159	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
43	38, 42	eqeq12d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))))
44		oveq1 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 − 1) = (𝑀 − 1))
45	44	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑀 − 1)))
46		oveq2 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁 − 𝑖) = (𝑁 − 𝑀))
47	46	oveq2d 7159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
48	45, 47	oveq12d 7161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
49	48	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
50	49	itgeq2dv 24466	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
51		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → 𝑖 = 𝑀)
52		oveq2 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑀))
53	51, 52	oveq12d 7161	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑀 · (𝑁C𝑀)))
54	53	oveq2d 7159	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
55	50, 54	eqeq12d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
56		lcmineqlem13.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
57	56	lcmineqlem12 39592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
58		elnnz1 12032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚))
59	58	biimpri 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ ℕ)
60	59	3adant3 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
61	60	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
62	56	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63		simpr3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 < 𝑁)
64	61, 62, 63	lcmineqlem10 39590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
65	64	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥))
66		oveq2 7151	. . . . . . 7 ⊢ (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
67	66	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
68	65, 67	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
69	61, 62, 63	lcmineqlem11 39591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
70	69	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁 − 𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
71	68, 70	eqtr4d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
72		1zzd 12037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	56	nnzd 12110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
74	56	nnge1d 11707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
75	19, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74	fzindd 39528	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
76	7, 75	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
77	1, 76	syl5eq 2806	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  (class class class)co 7143  0cc0 10560  1c1 10561   + caddc 10563   · cmul 10565   < clt 10698   ≤ cle 10699   − cmin 10893   / cdiv 11320  ℕcn 11659  ℤcz 12005  [,]cicc 12767  ↑cexp 13464  Ccbc 13697  ∫citg 24303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cc 9880  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638  ax-addf 10639  ax-mulf 10640

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-symdif 4143  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-disj 4991  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8473  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-fi 8893  df-sup 8924  df-inf 8925  df-oi 8992  df-dju 9348  df-card 9386  df-acn 9389  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-xneg 12533  df-xadd 12534  df-xmul 12535  df-ioo 12768  df-ioc 12769  df-ico 12770  df-icc 12771  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-fl 13196  df-mod 13272  df-seq 13404  df-exp 13465  df-fac 13669  df-bc 13698  df-hash 13726  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-clim 14878  df-rlim 14879  df-sum 15076  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-starv 16623  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-unif 16631  df-hom 16632  df-cco 16633  df-rest 16739  df-topn 16740  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-topgen 16760  df-pt 16761  df-prds 16764  df-xrs 16818  df-qtop 16823  df-imas 16824  df-xps 16826  df-mre 16900  df-mrc 16901  df-acs 16903  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-submnd 18008  df-mulg 18277  df-cntz 18499  df-cmn 18960  df-psmet 20143  df-xmet 20144  df-met 20145  df-bl 20146  df-mopn 20147  df-fbas 20148  df-fg 20149  df-cnfld 20152  df-top 21579  df-topon 21596  df-topsp 21618  df-bases 21631  df-cld 21704  df-ntr 21705  df-cls 21706  df-nei 21783  df-lp 21821  df-perf 21822  df-cn 21912  df-cnp 21913  df-haus 22000  df-cmp 22072  df-tx 22247  df-hmeo 22440  df-fil 22531  df-fm 22623  df-flim 22624  df-flf 22625  df-xms 23007  df-ms 23008  df-tms 23009  df-cncf 23564  df-ovol 24149  df-vol 24150  df-mbf 24304  df-itg1 24305  df-itg2 24306  df-ibl 24307  df-itg 24308  df-0p 24355  df-limc 24550  df-dv 24551

This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  39595  lcmineqlem16  39596