Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem13 40498
Description: Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem13.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem13.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem13.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem13 (𝜑𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem13
Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem13.1 . 2 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem13.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12526 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 nnge1 12181 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
6 lcmineqlem13.4 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
73, 5, 63jca 1128 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀𝑀𝑁))
8 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) = (1 − 1))
98oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(1 − 1)))
10 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑁𝑖) = (𝑁 − 1))
1110oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
129, 11oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
1413itgeq2dv 25146 . . . . 5 (𝑖 = 1 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥)
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
16 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C1))
1715, 16oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (1 · (𝑁C1)))
1817oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (1 · (𝑁C1))))
1914, 18eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑖 = 1 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1)))))
20 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 − 1) = (𝑚 − 1))
2120oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑚 − 1)))
22 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (𝑁𝑖) = (𝑁𝑚))
2322oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚)))
2421, 23oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑚 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))))
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑚𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))))
2625itgeq2dv 25146 . . . . 5 (𝑖 = 𝑚 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥)
27 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑚𝑖 = 𝑚)
28 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑚 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑚))
2927, 28oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑚 · (𝑁C𝑚)))
3029oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑖 = 𝑚 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))))
3126, 30eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑖 = 𝑚 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
32 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
3332oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)))
34 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁𝑖) = (𝑁 − (𝑚 + 1)))
3534oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1))))
3633, 35oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
3736adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = (𝑚 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))))
3837itgeq2dv 25146 . . . . 5 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥)
39 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑚 + 1) → 𝑖 = (𝑚 + 1))
40 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑁C𝑖) = (𝑁C(𝑚 + 1)))
4139, 40oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))
4241oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
4338, 42eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1))))))
44 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 − 1) = (𝑀 − 1))
4544oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (𝑥↑(𝑖 − 1)) = (𝑥↑(𝑀 − 1)))
46 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → (𝑁𝑖) = (𝑁𝑀))
4746oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))
4845, 47oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))))
4948adantr 481 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))))
5049itgeq2dv 25146 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)
51 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀𝑖 = 𝑀)
52 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀 → (𝑁C𝑖) = (𝑁C𝑀))
5351, 52oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · (𝑁C𝑖)) = (𝑀 · (𝑁C𝑀)))
5453oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 → (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
5550, 54eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑖 = 𝑀 → (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑖 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑖))) d𝑥 = (1 / (𝑖 · (𝑁C𝑖))) ↔ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
56 lcmineqlem13.3 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5756lcmineqlem12 40497 . . . 4 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) d𝑥 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
58 elnnz1 12529 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚))
5958biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚) → 𝑚 ∈ ℕ)
60593adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
6160adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6256adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → 𝑚 < 𝑁)
6461, 62, 63lcmineqlem10 40495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥))
65643adant3 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥))
66 oveq2 7365 . . . . . . 7 (∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚))) → ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
67663ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥) = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
6865, 67eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
6961, 62, 63lcmineqlem11 40496 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁)) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
70693adant3 1132 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))) = ((𝑚 / (𝑁𝑚)) · (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))))
7168, 70eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 𝑁) ∧ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑚 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑚))) d𝑥 = (1 / (𝑚 · (𝑁C𝑚)))) → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑚 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑚 + 1)))) d𝑥 = (1 / ((𝑚 + 1) · (𝑁C(𝑚 + 1)))))
72 1zzd 12534 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7356nnzd 12526 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7456nnge1d 12201 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
7519, 31, 43, 55, 57, 71, 72, 73, 74fzindd 12605 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀𝑀𝑁)) → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
767, 75mpdan 685 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
771, 76eqtrid 2788 1 (𝜑𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  [,]cicc 13267  cexp 13967  Ccbc 14202  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  40500  lcmineqlem16  40501
  Copyright terms: Public domain W3C validator