Theorem fzonfzoufzol 12895

Description: If an element of a half-open integer range is not in the upper part of the range, it is in the lower part of the range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonfzoufzol	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))

Proof of Theorem fzonfzoufzol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 12793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zsubcl 11776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	ex 403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ))
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	impcom 398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	3adant2 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
8		simp3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
9	8	anim1i 608	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
10		elfzonelfzo 12894	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁)))
11	7, 9, 10	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁))
12	11	ex 403	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁)))
13	12	con1d 142	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  0cc0 10274   < clt 10413   − cmin 10608  ℤcz 11733  ..^cfzo 12789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790

This theorem is referenced by:  cshwidxmod  13960