Theorem fzonfzoufzol 13710

Description: If an element of a half-open integer range is not in the upper part of the range, it is in the lower part of the range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonfzoufzol	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))

Proof of Theorem fzonfzoufzol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zsubcl 12554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ))
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
8		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
9	8	anim1i 615	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
10		elfzonelfzo 13709	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁)))
11	7, 9, 10	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁))
12	11	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁)))
13	12	con1d 145	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝐼 ∈ ((𝑁 − 𝑀)..^𝑁) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7370  0cc0 11047   < clt 11187   − cmin 11384  ℤcz 12508  ..^cfzo 13594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13448  df-fzo 13595

This theorem is referenced by:  cshwidxmod  14746