cshwidxmod - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cshwidxmod		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cshwidxmod 14731

Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

**Assertion**
Ref	Expression
cshwidxmod	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))

**Proof of Theorem cshwidxmod**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13621	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2		nnne0 12184	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
3		eqneqall 2944	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
4	2, 3	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
5	4	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
6	1, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
7	6	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
8		lencl 14461	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
9		elnnne0 12420	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
10		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		cshword 14719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
12	10, 11	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
13	12	fveq1d 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼))
14		swrdcl 14574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16		pfxcl 14606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
19		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	anim2i 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22	21	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
23		zmodfzp1 13820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
25		nn0fz0 13546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
26	8, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
28		swrdlen 14576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
29	18, 24, 27, 28	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
30	20	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
31	30, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32		pfxlen 14612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
33	31, 32	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
34	29, 33	oveq12d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
35	29, 34	oveq12d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
36	35	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))) ↔ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
37	36	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → 𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
38		ccatval2 14506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))))
39	15, 17, 37, 38	syl2an23an 1426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))))
40	26	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
41	18, 24, 40, 28	syl2an23an 1426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
42	41	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))) = (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
43	42	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
44		elfzo2 13583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
45		eluz2 12762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
46		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
47		nnz 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
49		zmodcl 13816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
50	49	nn0zd 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
51	48, 50	zsubcld 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ)
53	46, 52	zsubcld 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ)
54	53	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ)
55		zre 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
56		nnre 12157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
58	49	nn0red 12468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
59	57, 58	resubcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
60		subge0 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
61	55, 59, 60	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
62	61	exbiri 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼 → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
64	63	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
65		elnn0uz 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℕ₀ ↔ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
66		elnn0z 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
67	65, 66	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0) ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
68	54, 64, 67	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
69	68	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
70	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
71	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
72	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
73	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
74	71, 72, 73	ltsubadd2d 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
75	74	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
76	75	exbiri 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
77	76	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
78	77	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
79		elfzo2 13583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))) ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
80	69, 70, 78, 79	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
81	80	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
82	81	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
83	45, 82	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
84	83	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
85	84	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
86	44, 85	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
87	86	expdcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
89	88	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
91	90	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
92		pfxfv 14611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
93	18, 24, 91, 92	syl2an23an 1426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
94		elfzoelz 13580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
95	94	zcnd 12602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
96	95	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
97		nncn 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
99	30, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
100	99	nn0cnd 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
101	96, 98, 100	subsub3d 11527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)))
102	101	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)))
103	30	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
104	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
105	49	nn0cnd 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
106	104, 105	npcand 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
107	106	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)))
109	108	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
111	110	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)))
112	111	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))))
113	112	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)))
114		modaddmodup 13862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
115	103, 113, 114	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
116	102, 115	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
117	116	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
118	93, 117	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
119	39, 43, 118	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
120	119	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
121	112	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))))
122	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
123	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
124	49	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
125	124	nn0zd 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
126	125	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
127		zre 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℝ)
129		nnrp 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ⁺)
130		modlt 13805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊))
131	128, 129, 130	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊))
132		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
133		fzonfzoufzol 13692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
134	126, 131, 132, 133	syl2an23an 1426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
135	134	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
136		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
137	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
138	26	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
139	136, 137, 138, 28	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
140	139	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
141	135, 140	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))))
142		ccatval1 14505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼))
143	122, 123, 141, 142	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼))
144		swrdfv 14577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
145	136, 137, 138, 135, 144	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
146	30	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
147		modaddmodlo 13863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
148	146, 135, 147	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
149	148	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
150	143, 145, 149	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
151	150	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
152	121, 151	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
153	152	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
154	120, 153	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
155	13, 154	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
156	155	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
157	156	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
158	9, 157	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
159	158	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))))
160	159	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))))
161	8, 160	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
162	161	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
163	162	3impib 1117	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
164	7, 163	pm2.61dne 3019	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ⟨cop 4587 class class class wbr 5099 ‘cfv 6493 (class class class)co 7361 ℂcc 11029 ℝcr 11030 0cc0 11031 + caddc 11034 < clt 11171 ≤ cle 11172 − cmin 11369 ℕcn 12150 ℕ₀cn0 12406 ℤcz 12493 ℤ_≥cuz 12756 ℝ⁺crp 12910 ...cfz 13428 ..^cfzo 13575 mod cmo 13794 ♯chash 14258 Word cword 14441 ++ cconcat 14498 substr csubstr 14569 prefix cpfx 14599 cyclShift ccsh 14716

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5225 ax-sep 5242 ax-nul 5252 ax-pow 5311 ax-pr 5378 ax-un 7683 ax-cnex 11087 ax-resscn 11088 ax-1cn 11089 ax-icn 11090 ax-addcl 11091 ax-addrcl 11092 ax-mulcl 11093 ax-mulrcl 11094 ax-mulcom 11095 ax-addass 11096 ax-mulass 11097 ax-distr 11098 ax-i2m1 11099 ax-1ne0 11100 ax-1rid 11101 ax-rnegex 11102 ax-rrecex 11103 ax-cnre 11104 ax-pre-lttri 11105 ax-pre-lttrn 11106 ax-pre-ltadd 11107 ax-pre-mulgt0 11108 ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3401 df-v 3443 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4287 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4582 df-pr 4584 df-op 4588 df-uni 4865 df-int 4904 df-iun 4949 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-riota 7318 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7812 df-1st 7936 df-2nd 7937 df-frecs 8226 df-wrecs 8257 df-recs 8306 df-rdg 8344 df-1o 8400 df-er 8638 df-en 8889 df-dom 8890 df-sdom 8891 df-fin 8892 df-sup 9350 df-inf 9351 df-card 9856 df-pnf 11173 df-mnf 11174 df-xr 11175 df-ltxr 11176 df-le 11177 df-sub 11371 df-neg 11372 df-div 11800 df-nn 12151 df-2 12213 df-n0 12407 df-z 12494 df-uz 12757 df-rp 12911 df-fz 13429 df-fzo 13576 df-fl 13717 df-mod 13795 df-hash 14259 df-word 14442 df-concat 14499 df-substr 14570 df-pfx 14600 df-csh 14717

This theorem is referenced by: cshwidxmodr 14732 cshwidx0mod 14733 cshwidxm1 14735 cshwidxm 14736 cshwidxn 14737 cshf1 14738 2cshw 14741 cshweqrep 14749 cshimadifsn 14757 cshimadifsn0 14758 cshco 14764 crctcshwlkn0lem4 29891 crctcshwlkn0lem5 29892 crctcshwlkn0lem6 29893 clwwisshclwwslem 30094 eucrctshift 30323 cycpmfv1 33199 cycpmfv2 33200

W3C validator