cshwidxmod - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cshwidxmod		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cshwidxmod 14851

Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

**Assertion**
Ref	Expression
cshwidxmod	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))

**Proof of Theorem cshwidxmod**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13757	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2		nnne0 12327	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
3		eqneqall 2957	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
4	2, 3	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
6	1, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
7	6	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
8		lencl 14581	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
9		elnnne0 12567	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
10		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		cshword 14839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
12	10, 11	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
13	12	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼))
14		swrdcl 14693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16		pfxcl 14725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
19		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	anim2i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22	21	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
23		zmodfzp1 13946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
25		nn0fz0 13682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
26	8, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
28		swrdlen 14695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
29	18, 24, 27, 28	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
30	20	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
31	30, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32		pfxlen 14731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
33	31, 32	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
34	29, 33	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
35	29, 34	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
36	35	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))) ↔ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
37	36	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → 𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
38		ccatval2 14626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))))
39	15, 17, 37, 38	syl2an23an 1423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))))
40	26	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
41	18, 24, 40, 28	syl2an23an 1423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
42	41	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))) = (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
43	42	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
44		elfzo2 13719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
45		eluz2 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
46		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
47		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
49		zmodcl 13942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
50	49	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
51	48, 50	zsubcld 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ)
53	46, 52	zsubcld 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ)
54	53	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ)
55		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
56		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
58	49	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
59	57, 58	resubcld 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
60		subge0 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
61	55, 59, 60	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
62	61	exbiri 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼 → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
64	63	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
65		elnn0uz 12948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℕ₀ ↔ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
66		elnn0z 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
67	65, 66	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0) ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
68	54, 64, 67	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
69	68	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
70	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
71	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
72	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
73	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
74	71, 72, 73	ltsubadd2d 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
75	74	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
76	75	exbiri 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
77	76	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
78	77	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
79		elfzo2 13719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))) ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
80	69, 70, 78, 79	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
81	80	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
82	81	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
83	45, 82	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
84	83	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
85	84	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
86	44, 85	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
87	86	expdcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
89	88	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
91	90	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
92		pfxfv 14730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
93	18, 24, 91, 92	syl2an23an 1423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
94		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
95	94	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
96	95	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
97		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
99	30, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
100	99	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
101	96, 98, 100	subsub3d 11677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)))
102	101	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)))
103	30	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
104	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
105	49	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
106	104, 105	npcand 11651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
107	106	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)))
109	108	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
111	110	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)))
112	111	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))))
113	112	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)))
114		modaddmodup 13985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
115	103, 113, 114	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
116	102, 115	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
117	116	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
118	93, 117	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
119	39, 43, 118	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
120	119	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
121	112	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))))
122	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
123	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
124	49	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
125	124	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
126	125	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
127		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℝ)
129		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ⁺)
130		modlt 13931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊))
131	128, 129, 130	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊))
132		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
133		fzonfzoufzol 13820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
134	126, 131, 132, 133	syl2an23an 1423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
135	134	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
136		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
137	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
138	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
139	136, 137, 138, 28	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
140	139	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
141	135, 140	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))))
142		ccatval1 14625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼))
143	122, 123, 141, 142	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼))
144		swrdfv 14696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
145	136, 137, 138, 135, 144	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
146	30	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
147		modaddmodlo 13986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
148	146, 135, 147	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
149	148	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
150	143, 145, 149	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
151	150	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
152	121, 151	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
153	152	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
154	120, 153	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
155	13, 154	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
156	155	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
157	156	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
158	9, 157	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
159	158	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))))
160	159	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))))
161	8, 160	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
162	161	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
163	162	3impib 1116	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
164	7, 163	pm2.61dne 3034	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ⟨cop 4654 class class class wbr 5166 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 + caddc 11187 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 ℕcn 12293 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℤ_≥cuz 12903 ℝ⁺crp 13057 ...cfz 13567 ..^cfzo 13711 mod cmo 13920 ♯chash 14379 Word cword 14562 ++ cconcat 14618 substr csubstr 14688 prefix cpfx 14718 cyclShift ccsh 14836

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-sup 9511 df-inf 9512 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-hash 14380 df-word 14563 df-concat 14619 df-substr 14689 df-pfx 14719 df-csh 14837

This theorem is referenced by: cshwidxmodr 14852 cshwidx0mod 14853 cshwidxm1 14855 cshwidxm 14856 cshwidxn 14857 cshf1 14858 2cshw 14861 cshweqrep 14869 cshimadifsn 14878 cshimadifsn0 14879 cshco 14885 crctcshwlkn0lem4 29846 crctcshwlkn0lem5 29847 crctcshwlkn0lem6 29848 clwwisshclwwslem 30046 eucrctshift 30275 cycpmfv1 33106 cycpmfv2 33107

W3C validator