cshwidxmod - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cshwidxmod		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cshwidxmod 14823

Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

**Assertion**
Ref	Expression
cshwidxmod	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))

**Proof of Theorem cshwidxmod**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13722	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2		nnne0 12282	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
3		eqneqall 2942	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
4	2, 3	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
6	1, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
7	6	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
8		lencl 14553	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
9		elnnne0 12523	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
10		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		cshword 14811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
12	10, 11	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
13	12	fveq1d 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼))
14		swrdcl 14665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16		pfxcl 14697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
19		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22	21	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
23		zmodfzp1 13917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
25		nn0fz0 13647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
26	8, 25	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
28		swrdlen 14667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
29	18, 24, 27, 28	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
30	20	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
31	30, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32		pfxlen 14703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
33	31, 32	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
34	29, 33	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
35	29, 34	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
36	35	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))) ↔ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
37	36	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → 𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
38		ccatval2 14598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))))
39	15, 17, 37, 38	syl2an23an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))))
40	26	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
41	18, 24, 40, 28	syl2an23an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
42	41	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))) = (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
43	42	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
44		elfzo2 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
45		eluz2 12866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
46		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
47		nnz 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
49		zmodcl 13913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
50	49	nn0zd 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
51	48, 50	zsubcld 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ)
53	46, 52	zsubcld 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ)
54	53	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ)
55		zre 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
56		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
58	49	nn0red 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
59	57, 58	resubcld 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
60		subge0 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
61	55, 59, 60	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
62	61	exbiri 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼 → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
64	63	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
65		elnn0uz 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℕ₀ ↔ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
66		elnn0z 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
67	65, 66	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0) ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
68	54, 64, 67	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
69	68	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
70	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
71	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
72	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
73	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
74	71, 72, 73	ltsubadd2d 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
75	74	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
76	75	exbiri 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
77	76	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
78	77	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
79		elfzo2 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))) ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
80	69, 70, 78, 79	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
81	80	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
82	81	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
83	45, 82	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
84	83	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
85	84	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
86	44, 85	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
87	86	expdcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
89	88	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
91	90	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
92		pfxfv 14702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
93	18, 24, 91, 92	syl2an23an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
94		elfzoelz 13681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
95	94	zcnd 12706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
96	95	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
97		nncn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
99	30, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
100	99	nn0cnd 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
101	96, 98, 100	subsub3d 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)))
102	101	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)))
103	30	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
104	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
105	49	nn0cnd 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
106	104, 105	npcand 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
107	106	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)))
109	108	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
111	110	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)))
112	111	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))))
113	112	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)))
114		modaddmodup 13957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
115	103, 113, 114	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
116	102, 115	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
117	116	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
118	93, 117	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
119	39, 43, 118	3eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
120	119	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
121	112	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))))
122	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
123	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
124	49	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
125	124	nn0zd 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
126	125	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
127		zre 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℝ)
129		nnrp 13028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ⁺)
130		modlt 13902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊))
131	128, 129, 130	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊))
132		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
133		fzonfzoufzol 13791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
134	126, 131, 132, 133	syl2an23an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
135	134	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
136		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
137	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
138	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
139	136, 137, 138, 28	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
140	139	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
141	135, 140	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))))
142		ccatval1 14597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼))
143	122, 123, 141, 142	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼))
144		swrdfv 14668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
145	136, 137, 138, 135, 144	syl31anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
146	30	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
147		modaddmodlo 13958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
148	146, 135, 147	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
149	148	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
150	143, 145, 149	3eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
151	150	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
152	121, 151	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
153	152	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
154	120, 153	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
155	13, 154	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
156	155	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
157	156	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
158	9, 157	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
159	158	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))))
160	159	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))))
161	8, 160	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
162	161	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
163	162	3impib 1116	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
164	7, 163	pm2.61dne 3017	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2931 ⟨cop 4612 class class class wbr 5123 ‘cfv 6541 (class class class)co 7413 ℂcc 11135 ℝcr 11136 0cc0 11137 + caddc 11140 < clt 11277 ≤ cle 11278 − cmin 11474 ℕcn 12248 ℕ₀cn0 12509 ℤcz 12596 ℤ_≥cuz 12860 ℝ⁺crp 13016 ...cfz 13529 ..^cfzo 13676 mod cmo 13891 ♯chash 14351 Word cword 14534 ++ cconcat 14590 substr csubstr 14660 prefix cpfx 14690 cyclShift ccsh 14808

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2706 ax-rep 5259 ax-sep 5276 ax-nul 5286 ax-pow 5345 ax-pr 5412 ax-un 7737 ax-cnex 11193 ax-resscn 11194 ax-1cn 11195 ax-icn 11196 ax-addcl 11197 ax-addrcl 11198 ax-mulcl 11199 ax-mulrcl 11200 ax-mulcom 11201 ax-addass 11202 ax-mulass 11203 ax-distr 11204 ax-i2m1 11205 ax-1ne0 11206 ax-1rid 11207 ax-rnegex 11208 ax-rrecex 11209 ax-cnre 11210 ax-pre-lttri 11211 ax-pre-lttrn 11212 ax-pre-ltadd 11213 ax-pre-mulgt0 11214 ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2808 df-nfc 2884 df-ne 2932 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3363 df-reu 3364 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4888 df-int 4927 df-iun 4973 df-br 5124 df-opab 5186 df-mpt 5206 df-tr 5240 df-id 5558 df-eprel 5564 df-po 5572 df-so 5573 df-fr 5617 df-we 5619 df-xp 5671 df-rel 5672 df-cnv 5673 df-co 5674 df-dm 5675 df-rn 5676 df-res 5677 df-ima 5678 df-pred 6301 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-riota 7370 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7870 df-1st 7996 df-2nd 7997 df-frecs 8288 df-wrecs 8319 df-recs 8393 df-rdg 8432 df-1o 8488 df-er 8727 df-en 8968 df-dom 8969 df-sdom 8970 df-fin 8971 df-sup 9464 df-inf 9465 df-card 9961 df-pnf 11279 df-mnf 11280 df-xr 11281 df-ltxr 11282 df-le 11283 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11903 df-nn 12249 df-2 12311 df-n0 12510 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13017 df-fz 13530 df-fzo 13677 df-fl 13814 df-mod 13892 df-hash 14352 df-word 14535 df-concat 14591 df-substr 14661 df-pfx 14691 df-csh 14809

This theorem is referenced by: cshwidxmodr 14824 cshwidx0mod 14825 cshwidxm1 14827 cshwidxm 14828 cshwidxn 14829 cshf1 14830 2cshw 14833 cshweqrep 14841 cshimadifsn 14850 cshimadifsn0 14851 cshco 14857 crctcshwlkn0lem4 29761 crctcshwlkn0lem5 29762 crctcshwlkn0lem6 29763 clwwisshclwwslem 29961 eucrctshift 30190 cycpmfv1 33072 cycpmfv2 33073

W3C validator