cshwidxmod - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cshwidxmod		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cshwidxmod 14516

Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

**Assertion**
Ref	Expression
cshwidxmod	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))

**Proof of Theorem cshwidxmod**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13428	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2		nnne0 12007	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ≠ 0)
3		eqneqall 2954	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
4	2, 3	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
5	4	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
6	1, 5	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
7	6	3ad2ant3 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
8		lencl 14236	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
9		elnnne0 12247	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
10		simprl 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		cshword 14504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
12	10, 11	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
13	12	fveq1d 6776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼))
14		swrdcl 14358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16		pfxcl 14390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
18		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
19		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22	21	ancomd 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
23		zmodfzp1 13615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
25		nn0fz0 13354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
26	8, 25	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
28		swrdlen 14360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
29	18, 24, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
30	20	ancomd 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
31	30, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32		pfxlen 14396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
33	31, 32	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
34	29, 33	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
35	29, 34	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
36	35	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))) ↔ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
37	36	biimparc 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → 𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
38		ccatval2 14283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))..^((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))))
39	15, 17, 37, 38	syl2an23an 1422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))))
40	26	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
41	18, 24, 40, 28	syl2an23an 1422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
42	41	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))) = (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
43	42	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))) = ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
44		elfzo2 13390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
45		eluz2 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
46		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
47		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
49		zmodcl 13611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
50	49	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
51	48, 50	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ)
53	46, 52	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ)
54	53	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ)
55		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
56		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
58	49	nn0red 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
59	57, 58	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
60		subge0 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
61	55, 59, 60	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼))
62	61	exbiri 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼 → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))))
64	63	imp31 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
65		elnn0uz 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℕ₀ ↔ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
66		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
67	65, 66	bitr3i 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0) ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
68	54, 64, 67	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
69	68	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0))
70	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
71	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
72	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
73	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
74	71, 72, 73	ltsubadd2d 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
75	74	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ↔ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
76	75	exbiri 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
77	76	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
78	77	imp31 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
79		elfzo2 13390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))) ↔ ((𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) < (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
80	69, 70, 78, 79	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
81	80	exp31 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
82	81	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ≤ 𝐼) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
83	45, 82	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
84	83	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
85	84	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
86	44, 85	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
87	86	expdcom 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
89	88	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
91	90	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
92		pfxfv 14395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∈ (0..^(𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
93	18, 24, 91, 92	syl2an23an 1422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
94		elfzoelz 13387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
95	94	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℂ)
96	95	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
97		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
99	30, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
100	99	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
101	96, 98, 100	subsub3d 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)))
102	101	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)))
103	30	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
104	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
105	49	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
106	104, 105	npcand 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
107	106	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)))
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊)))
109	108	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
111	110	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)))
112	111	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))))
113	112	biimpac 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)))
114		modaddmodup 13654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
115	103, 113, 114	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) − (♯‘𝑊)) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
116	102, 115	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
117	116	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (𝑊‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
118	93, 117	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → ((𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))‘(𝐼 − ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
119	39, 43, 118	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
120	119	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
121	112	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))))
122	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
123	16	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉)
124	49	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ₀)
125	124	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
126	125	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
127		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℝ)
129		nnrp 12741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ⁺)
130		modlt 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊))
131	128, 129, 130	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊))
132		simprrr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
133		fzonfzoufzol 13490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) < (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
134	126, 131, 132, 133	syl2an23an 1422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))))
135	134	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
136		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
137	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
138	26	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
139	136, 137, 138, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
140	139	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
141	135, 140	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))))
142		ccatval1 14281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼))
143	122, 123, 141, 142	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼))
144		swrdfv 14361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
145	136, 137, 138, 135, 144	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
146	30	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
147		modaddmodlo 13655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
148	146, 135, 147	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
149	148	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝐼 + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
150	143, 145, 149	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) ∧ ¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
151	150	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
152	121, 151	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
153	152	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊)))..^(((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊)))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
154	120, 153	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
155	13, 154	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
156	155	exp32 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
157	156	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
158	9, 157	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
159	158	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))))
160	159	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))))
161	8, 160	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
162	161	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))))
163	162	3impib 1115	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
164	7, 163	pm2.61dne 3031	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝐼) = (𝑊‘((𝐼 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ⟨cop 4567 class class class wbr 5074 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 + caddc 10874 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 ℕcn 11973 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ℝ⁺crp 12730 ...cfz 13239 ..^cfzo 13382 mod cmo 13589 ♯chash 14044 Word cword 14217 ++ cconcat 14273 substr csubstr 14353 prefix cpfx 14383 cyclShift ccsh 14501

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-mod 13590 df-hash 14045 df-word 14218 df-concat 14274 df-substr 14354 df-pfx 14384 df-csh 14502

This theorem is referenced by: cshwidxmodr 14517 cshwidx0mod 14518 cshwidxm1 14520 cshwidxm 14521 cshwidxn 14522 cshf1 14523 2cshw 14526 cshweqrep 14534 cshimadifsn 14542 cshimadifsn0 14543 cshco 14549 crctcshwlkn0lem4 28178 crctcshwlkn0lem5 28179 crctcshwlkn0lem6 28180 clwwisshclwwslem 28378 eucrctshift 28607 cycpmfv1 31380 cycpmfv2 31381

W3C validator