Theorem elfzomelpfzo 13727

Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzomelpfzo	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzomelpfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ)
2	1	ad2ant2rl 750	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ)
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 4	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
6		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		zaddcl 12567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
10	7, 9	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ))
11		zre 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
17		zre 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20	13, 16, 19	lesubaddd 11747	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾 ↔ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
21	5, 10, 20	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿))))
22		eluz2 12794	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ↔ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝐿) ≤ 𝐾))
23		eluz2 12794	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
24	21, 22, 23	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25		zsubcl 12569	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
26	25	ad2ant2l 747	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
27		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	2thd 265	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
29		zre 12528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
32	19, 16, 31	ltaddsubd 11750	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 + 𝐿) < 𝑁 ↔ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)))
33	32	bicomd 223	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 < (𝑁 − 𝐿) ↔ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
34	24, 28, 33	3anbi123d 1439	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁)))
35		elfzo2 13616	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝐿)) ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁 − 𝐿)))
36		elfzo2 13616	. 2 ⊢ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
37	34, 35, 36	3bitr4g 314	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 − 𝐿)..^(𝑁 − 𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2a  14689  clwwlkccatlem  30059