MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzomelpfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzomelpfzo 13234
Description: An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzomelpfzo (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀𝐿)..^(𝑁𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzomelpfzo
StepHypRef Expression
1 zsubcl 12107 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
21ad2ant2rl 749 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
3 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
52, 42thd 268 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
6 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
76adantl 485 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8 zaddcl 12105 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
98adantl 485 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ)
107, 92thd 268 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ))
11 zre 12068 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1312adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14 zre 12068 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1514adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
1615adantl 485 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
17 zre 12068 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1817adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1918adantl 485 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
2013, 16, 19lesubaddd 11317 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝐿) ≤ 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
215, 10, 203anbi123d 1437 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐿) ≤ 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿))))
22 eluz2 12332 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀𝐿)) ↔ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐿) ≤ 𝐾))
23 eluz2 12332 . . . 4 ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 + 𝐿)))
2421, 22, 233bitr4g 317 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ𝑀)))
25 zsubcl 12107 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2625ad2ant2l 746 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
27 simplr 769 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2826, 272thd 268 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝐿) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
29 zre 12068 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3029adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3130adantr 484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3219, 16, 31ltaddsubd 11320 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 + 𝐿) < 𝑁𝐾 < (𝑁𝐿)))
3332bicomd 226 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 < (𝑁𝐿) ↔ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
3424, 28, 333anbi123d 1437 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀𝐿)) ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁𝐿)) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁)))
35 elfzo2 13134 . 2 (𝐾 ∈ ((𝑀𝐿)..^(𝑁𝐿)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀𝐿)) ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝑁𝐿)))
36 elfzo2 13134 . 2 ((𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐿) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 𝐿) < 𝑁))
3734, 35, 363bitr4g 317 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀𝐿)..^(𝑁𝐿)) ↔ (𝐾 + 𝐿) ∈ (𝑀..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088  wcel 2114   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7172  cr 10616   + caddc 10620   < clt 10755  cle 10756  cmin 10950  cz 12064  cuz 12326  ..^cfzo 13126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127
This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2a  14180  clwwlkccatlem  27928
  Copyright terms: Public domain W3C validator