MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzonelfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzonelfzo 13122
Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonelfzo (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Proof of Theorem elfzonelfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo2 13024 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 12231 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
433ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → 𝐾 ∈ ℤ)
54ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 eluzelre 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
7 zre 11963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 ltnle 10697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐾))
96, 7, 8syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐾))
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
11103expa 1115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
12 elfzo2 13024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
1311, 12sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
1413ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)))
159, 14sylbird 263 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁𝐾𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)))
1615con1d 147 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁𝐾))
1716ex 416 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁𝐾)))
1817com23 86 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝐾)))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝐾)))
2019imp31 421 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁𝐾)
21 eluz2 12227 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾))
222, 5, 20, 21syl3anbrc 1340 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
23 simpll2 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
24 simpll3 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 < 𝑅)
25 elfzo2 13024 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2622, 23, 24, 25syl3anbrc 1340 . . . 4 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅))
2726ex 416 . . 3 (((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
281, 27sylanb 584 . 2 ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
2928com12 32 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cr 10513   < clt 10652  cle 10653  cz 11959  cuz 12221  ..^cfzo 13016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017
This theorem is referenced by:  fzonfzoufzol  13123  pfxccatin12lem4  14067  pfxccatin12lem2a  14068  pfxccatin12lem1  14069  fourierdlem20  42560
  Copyright terms: Public domain W3C validator