Theorem elfzonelfzo 13669

Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonelfzo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Proof of Theorem elfzonelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 13562	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		eluzelre 12743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
7		zre 12472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		ltnle 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝐾))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝐾))
10		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
11	10	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
12		elfzo2 13562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
13	11, 12	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)))
15	9, 14	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 ≤ 𝐾 → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)))
16	15	con1d 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾))
17	16	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)))
18	17	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾)))
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾)))
20	19	imp31 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ 𝐾)
21		eluz2 12738	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
22	2, 5, 20, 21	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
23		simpll2 1214	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
24		simpll3 1215	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 < 𝑅)
25		elfzo2 13562	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
26	22, 23, 24, 25	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅))
27	26	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
28	1, 27	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
29	28	com12 32	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  fzonfzoufzol  13671  pfxccatin12lem4  14633  pfxccatin12lem2a  14634  pfxccatin12lem1  14635  fourierdlem20  46224