MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtrip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtrip 16800
Description: Parameterize the Pythagorean triples. If ๐ด, ๐ต, and ๐ถ are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. This is Metamath 100 proof #23. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtrip ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘š,๐‘›   ๐ต,๐‘˜,๐‘š,๐‘›   ๐ถ,๐‘˜,๐‘š,๐‘›

Proof of Theorem pythagtrip
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 16678 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆจ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
213adant3 1129 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆจ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
32adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆจ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
4 pythagtriplem19 16799 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
543expia 1118 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
6 simp12 1201 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
7 simp11 1200 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8 simp13 1202 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
9 nnsqcl 14122 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
109nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
11103ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
12 nnsqcl 14122 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
1312nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
14133ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1511, 14addcomd 11444 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
1615eqeq1d 2727 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†” ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
1716biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
18173adant3 1129 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
19 nnz 12607 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
20193ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21 nnz 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
22213ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
24 gcdcom 16485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
2520, 23, 24syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
2625oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (๐ต / (๐ต gcd ๐ด)))
2726breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” 2 โˆฅ (๐ต / (๐ต gcd ๐ด))))
2827notbid 317 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ต gcd ๐ด))))
2928biimp3a 1465 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ต gcd ๐ด)))
30 pythagtriplem19 16799 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
316, 7, 8, 18, 29, 30syl311anc 1381 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
32313expia 1118 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
335, 32orim12d 962 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆจ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))))
343, 33mpd 15 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
35 ovex 7448 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ V
36 ovex 7448 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆˆ V
37 preq12bg 4850 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ V โˆง (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆˆ V)) โ†’ ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))))))
3835, 36, 37mpanr12 703 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))))))
3938anbi1d 629 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
4039rexbidv 3169 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
41402rexbidv 3210 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
42 andir 1006 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
43 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
44 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
4543, 44orbi12i 912 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
46 3ancoma 1095 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
4746orbi2i 910 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
4842, 45, 473bitr2i 298 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
4948rexbii 3084 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
50492rexbii 3119 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
51 r19.43 3112 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
52512rexbii 3119 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
53 r19.43 3112 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
5453rexbii 3084 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
55 r19.43 3112 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
5654, 55bitri 274 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
5752, 56bitri 274 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
5850, 57bitri 274 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
5941, 58bitrdi 286 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))))
60593adant3 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))))
6160adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))))
6234, 61mpbird 256 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
6362ex 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
64 pythagtriplem2 16783 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
65643adant3 1129 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
6663, 65impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060  Vcvv 3463  {cpr 4626   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  2c2 12295  โ„คcz 12586  โ†‘cexp 14056   โˆฅ cdvds 16228   gcd cgcd 16466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator