MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtrip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtrip 15910
Description: Parameterize the Pythagorean triples. If 𝐴, 𝐵, and 𝐶 are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. This is Metamath 100 proof #23. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtrip ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   𝐵,𝑘,𝑚,𝑛   𝐶,𝑘,𝑚,𝑛

Proof of Theorem pythagtrip
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 15793 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
213adant3 1168 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
32adantr 474 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
4 pythagtriplem19 15909 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
543expia 1156 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
6 simp12 1267 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℕ)
7 simp11 1266 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ)
8 simp13 1268 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℕ)
9 nnsqcl 13227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
109nncnd 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11103ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
12 nnsqcl 13227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1312nncnd 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
14133ad2ant2 1170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1511, 14addcomd 10557 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
1615eqeq1d 2827 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2)))
1716biimpa 470 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
18173adant3 1168 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
19 nnz 11727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
20193ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2120adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 nnz 11727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
23223ad2ant2 1170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
2423adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
25 gcdcom 15608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
2621, 24, 25syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
2726oveq2d 6921 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐵 / (𝐵 gcd 𝐴)))
2827breq2d 4885 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 2 ∥ (𝐵 / (𝐵 gcd 𝐴))))
2928notbid 310 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐵 gcd 𝐴))))
3029biimp3a 1599 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐵 gcd 𝐴)))
31 pythagtriplem19 15909 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐵 gcd 𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
326, 7, 8, 18, 30, 31syl311anc 1509 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
33323expia 1156 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
345, 33orim12d 994 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
353, 34mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
36 ovex 6937 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∈ V
37 ovex 6937 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∈ V
38 preq12bg 4601 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∈ V ∧ (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∈ V)) → ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))))))
3936, 37, 38mpanr12 698 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))))))
4039anbi1d 625 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
4140rexbidv 3262 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
42412rexbidv 3267 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
43 andir 1038 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
44 df-3an 1115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
45 df-3an 1115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
4644, 45orbi12i 945 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
47 3ancoma 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
4847orbi2i 943 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
4943, 46, 483bitr2i 291 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
5049rexbii 3251 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
51502rexbii 3252 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
52 r19.43 3303 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
53522rexbii 3252 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
54 r19.43 3303 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
5554rexbii 3251 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
56 r19.43 3303 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛 ∈ ℕ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
5755, 56bitri 267 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
5853, 57bitri 267 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
5951, 58bitri 267 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
6042, 59syl6bb 279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
61603adant3 1168 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
6261adantr 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
6335, 62mpbird 249 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
6463ex 403 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
65 pythagtriplem2 15893 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
66653adant3 1168 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
6764, 66impbid 204 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3118  Vcvv 3414  {cpr 4399   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  cc 10250   + caddc 10255   · cmul 10257  cmin 10585   / cdiv 11009  cn 11350  2c2 11406  cz 11704  cexp 13154  cdvds 15357   gcd cgcd 15589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator