Theorem lgsquad3 27350

Description: Extend lgsquad2 27349 to integers which share a factor. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad3	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))

Proof of Theorem lgsquad3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnz 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nnz 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		lgscl 27274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
7	3, 5, 6	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
8	7	zred 12633	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ)
9		absresq 15264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
11	3, 5	gcdcomd 16483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
13	11, 12	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
14		lgsabs1 27299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
15	3, 5, 14	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
16	13, 15	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1)
17	16	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = (1↑2))
18		sq1 14157	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = 1)
20	7	zcnd 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℂ)
21	20	sqvald 14105	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 /L 𝑀)↑2) = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
22	10, 19, 21	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
23	22	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
24		lgscl 27274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
25	5, 3, 24	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12634	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℂ)
27	26, 20, 20	mulassd 11168	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
28	23, 27	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)))
29	26	mulridd 11162	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (𝑀 /L 𝑁))
30		simplll 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
32		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
33	30, 31, 1, 32, 12	lgsquad2 27349	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
34	33	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
35	28, 29, 34	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
36		neg1cn 12144	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ∈ ℂ)
38		neg1ne0 12146	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ≠ 0)
40	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
41		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
42		1zzd 12558	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
43		2prm 16661	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
44		nprmdvds1 16676	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
46		omoe 16333	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
47	40, 41, 42, 45, 46	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
48		2z 12559	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
49		2ne0 12285	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
50		peano2zm 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
51	40, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
52		dvdsval2 16224	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
53	48, 49, 51, 52	mp3an12i 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
54	47, 53	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ)
55	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
58		omoe 16333	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
59	56, 57, 42, 45, 58	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
60		peano2zm 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
61	56, 60	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
62		dvdsval2 16224	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
63	48, 49, 61, 62	mp3an12i 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
64	59, 63	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
65	54, 64	zmulcld 12639	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
66	37, 39, 65	expclzd 14113	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
67	66	mul01d 11345	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0) = 0)
68		lgsne0 27298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
69		gcdcom 16482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
70	69	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 1 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
71	68, 70	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
72	2, 4, 71	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
73	72	necon1bbid 2971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
74	73	ad2ant2r 748	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
75	74	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) = 0)
76	75	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0))
77		lgsne0 27298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
78	77	necon1bbid 2971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
79	4, 2, 78	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
80	79	ad2ant2r 748	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
81	80	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = 0)
82	67, 76, 81	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
83	35, 82	pm2.61dan 813	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ↑cexp 14023  abscabs 15196   ∥ cdvds 16221   gcd cgcd 16463  ℙcprime 16640   /_L clgs 27257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-phi 16736  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-nzr 20490  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-idom 20673  df-drng 20708  df-field 20709  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-2idl 21248  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-zn 21486  df-lgs 27258

This theorem is referenced by: (None)