Theorem lgsquad3 26535

Description: Extend lgsquad2 26534 to integers which share a factor. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad3	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))

Proof of Theorem lgsquad3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnz 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nnz 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		lgscl 26459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
8	7	zred 12426	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ)
9		absresq 15014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
11	3, 5	gcdcomd 16221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
12		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
13	11, 12	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
14		lgsabs1 26484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
15	3, 5, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
16	13, 15	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1)
17	16	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = (1↑2))
18		sq1 13912	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = 1)
20	7	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℂ)
21	20	sqvald 13861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 /L 𝑀)↑2) = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
22	10, 19, 21	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
23	22	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
24		lgscl 26459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
25	5, 3, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12427	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℂ)
27	26, 20, 20	mulassd 10998	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
28	23, 27	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)))
29	26	mulid1d 10992	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (𝑀 /L 𝑁))
30		simplll 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
31		simpllr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
32		simplrr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
33	30, 31, 1, 32, 12	lgsquad2 26534	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
34	33	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
35	28, 29, 34	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
36		neg1cn 12087	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ∈ ℂ)
38		neg1ne0 12089	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
39	38	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ≠ 0)
40	4	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
41		simpllr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
42		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
43		2prm 16397	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
44		nprmdvds1 16411	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
46		omoe 16073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
47	40, 41, 42, 45, 46	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
48		2z 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
49		2ne0 12077	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
50		peano2zm 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
51	40, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
52		dvdsval2 15966	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
53	48, 49, 51, 52	mp3an12i 1464	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
54	47, 53	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ)
55	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		simplrr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
58		omoe 16073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
59	56, 57, 42, 45, 58	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
60		peano2zm 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
61	56, 60	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
62		dvdsval2 15966	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
63	48, 49, 61, 62	mp3an12i 1464	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
64	59, 63	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
65	54, 64	zmulcld 12432	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
66	37, 39, 65	expclzd 13869	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
67	66	mul01d 11174	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0) = 0)
68		lgsne0 26483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
69		gcdcom 16220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
70	69	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 1 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
71	68, 70	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
72	2, 4, 71	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
73	72	necon1bbid 2983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
74	73	ad2ant2r 744	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
75	74	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) = 0)
76	75	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0))
77		lgsne0 26483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
78	77	necon1bbid 2983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
79	4, 2, 78	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
80	79	ad2ant2r 744	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
81	80	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = 0)
82	67, 76, 81	3eqtr4rd 2789	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
83	35, 82	pm2.61dan 810	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤcz 12319  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201  ℙcprime 16376   /_L clgs 26442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-2idl 20503  df-nzr 20529  df-rlreg 20554  df-domn 20555  df-idom 20556  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zn 20708  df-lgs 26443

This theorem is referenced by: (None)