MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquad3 25526
Description: Extend lgsquad2 25525 to integers which share a factor. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsquad3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))

Proof of Theorem lgsquad3
StepHypRef Expression
1 simplrl 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnz 11728 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nnz 11728 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
54ad3antrrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 lgscl 25450 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
73, 5, 6syl2anc 581 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
87zred 11811 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ)
9 absresq 14420 . . . . . . 7 ((𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
11 gcdcom 15609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
123, 5, 11syl2anc 581 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
13 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
1412, 13eqtrd 2862 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
15 lgsabs1 25475 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
163, 5, 15syl2anc 581 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
1714, 16mpbird 249 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1)
1817oveq1d 6921 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = (1↑2))
19 sq1 13253 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
2018, 19syl6eq 2878 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = 1)
217zcnd 11812 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℂ)
2221sqvald 13300 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 /L 𝑀)↑2) = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
2310, 20, 223eqtr3d 2870 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
2423oveq2d 6922 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
25 lgscl 25450 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
265, 3, 25syl2anc 581 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2726zcnd 11812 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℂ)
2827, 21, 21mulassd 10381 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
2924, 28eqtr4d 2865 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)))
3027mulid1d 10375 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (𝑀 /L 𝑁))
31 simplll 793 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
32 simpllr 795 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
33 simplrr 798 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
3431, 32, 1, 33, 13lgsquad2 25525 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
3534oveq1d 6921 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
3629, 30, 353eqtr3d 2870 . 2 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
37 neg1cn 11473 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
3837a1i 11 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ∈ ℂ)
39 neg1ne0 11475 . . . . . 6 -1 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ≠ 0)
414ad3antrrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
42 simpllr 795 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
43 1zzd 11737 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
44 2prm 15778 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℙ
45 nprmdvds1 15790 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
4644, 45mp1i 13 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
47 omoe 15463 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
4841, 42, 43, 46, 47syl22anc 874 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
49 2z 11738 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
5049a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∈ ℤ)
51 2ne0 11463 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ≠ 0)
53 peano2zm 11749 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5441, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
55 dvdsval2 15361 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1496 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
5748, 56mpbid 224 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ)
582adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5958ad2antlr 720 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
60 simplrr 798 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
61 omoe 15463 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
6259, 60, 43, 46, 61syl22anc 874 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
63 peano2zm 11749 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6459, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
65 dvdsval2 15361 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6650, 52, 64, 65syl3anc 1496 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6762, 66mpbid 224 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
6857, 67zmulcld 11817 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
6938, 40, 68expclzd 13308 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
7069mul01d 10555 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0) = 0)
71 lgsne0 25474 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
7211eqeq1d 2828 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 1 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
7371, 72bitrd 271 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
742, 4, 73syl2anr 592 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
7574necon1bbid 3039 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
7675ad2ant2r 755 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
7776biimpa 470 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) = 0)
7877oveq2d 6922 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0))
79 lgsne0 25474 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
8079necon1bbid 3039 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
814, 2, 80syl2an 591 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
8281ad2ant2r 755 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
8382biimpa 470 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = 0)
8470, 78, 833eqtr4rd 2873 . 2 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
8536, 84pm2.61dan 849 1 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   · cmul 10258  cmin 10586  -cneg 10587   / cdiv 11010  cn 11351  2c2 11407  cz 11705  cexp 13155  abscabs 14352  cdvds 15358   gcd cgcd 15590  cprime 15758   /L clgs 25433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-disj 4843  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-ec 8012  df-qs 8016  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-sum 14795  df-dvds 15359  df-gcd 15591  df-prm 15759  df-phi 15843  df-pc 15914  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-imas 16522  df-qus 16523  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-mulg 17896  df-subg 17943  df-nsg 17944  df-eqg 17945  df-ghm 18010  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-rnghom 19072  df-drng 19106  df-field 19107  df-subrg 19135  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-lidl 19536  df-rsp 19537  df-2idl 19594  df-nzr 19620  df-rlreg 19645  df-domn 19646  df-idom 19647  df-cnfld 20108  df-zring 20180  df-zrh 20213  df-zn 20216  df-lgs 25434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator