MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquad3 27126
Description: Extend lgsquad2 27125 to integers which share a factor. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsquad3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))

Proof of Theorem lgsquad3
StepHypRef Expression
1 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
54ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
6 lgscl 27050 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
73, 5, 6syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
87zred 12670 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„)
9 absresq 15253 . . . . . . 7 ((๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€))โ†‘2) = ((๐‘ /L ๐‘€)โ†‘2))
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€))โ†‘2) = ((๐‘ /L ๐‘€)โ†‘2))
113, 5gcdcomd 16459 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
12 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
1311, 12eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
14 lgsabs1 27075 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€)) = 1 โ†” (๐‘ gcd ๐‘€) = 1))
153, 5, 14syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€)) = 1 โ†” (๐‘ gcd ๐‘€) = 1))
1613, 15mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€)) = 1)
1716oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€))โ†‘2) = (1โ†‘2))
18 sq1 14163 . . . . . . 7 (1โ†‘2) = 1
1917, 18eqtrdi 2786 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€))โ†‘2) = 1)
207zcnd 12671 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2120sqvald 14112 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘€)โ†‘2) = ((๐‘ /L ๐‘€) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
2210, 19, 213eqtr3d 2778 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ 1 = ((๐‘ /L ๐‘€) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
2322oveq2d 7427 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท 1) = ((๐‘€ /L ๐‘) ยท ((๐‘ /L ๐‘€) ยท (๐‘ /L ๐‘€))))
24 lgscl 27050 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
255, 3, 24syl2anc 582 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2625zcnd 12671 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2726, 20, 20mulassd 11241 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = ((๐‘€ /L ๐‘) ยท ((๐‘ /L ๐‘€) ยท (๐‘ /L ๐‘€))))
2823, 27eqtr4d 2773 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท 1) = (((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
2926mulridd 11235 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท 1) = (๐‘€ /L ๐‘))
30 simplll 771 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
31 simpllr 772 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
32 simplrr 774 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
3330, 31, 1, 32, 12lgsquad2 27125 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = (-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
3433oveq1d 7426 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
3528, 29, 343eqtr3d 2778 . 2 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
36 neg1cn 12330 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
3736a1i 11 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
38 neg1ne0 12332 . . . . . 6 -1 โ‰  0
3938a1i 11 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ -1 โ‰  0)
404ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
41 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
42 1zzd 12597 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
43 2prm 16633 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„™
44 nprmdvds1 16647 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ 1)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ 1)
46 omoe 16311 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (1 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ 1)) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘€ โˆ’ 1))
4740, 41, 42, 45, 46syl22anc 835 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘€ โˆ’ 1))
48 2z 12598 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
49 2ne0 12320 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
50 peano2zm 12609 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5140, 50syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
52 dvdsval2 16204 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘€ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
5348, 49, 51, 52mp3an12i 1463 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘€ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
5447, 53mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
552adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5655ad2antlr 723 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
57 simplrr 774 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
58 omoe 16311 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (1 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ 1)) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
5956, 57, 42, 45, 58syl22anc 835 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
60 peano2zm 12609 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
6156, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
62 dvdsval2 16204 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
6348, 49, 61, 62mp3an12i 1463 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
6459, 63mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
6554, 64zmulcld 12676 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
6637, 39, 65expclzd 14120 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) โˆˆ โ„‚)
6766mul01d 11417 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท 0) = 0)
68 lgsne0 27074 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘€) โ‰  0 โ†” (๐‘ gcd ๐‘€) = 1))
69 gcdcom 16458 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
7069eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘€) = 1 โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
7168, 70bitrd 278 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘€) โ‰  0 โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
722, 4, 71syl2anr 595 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘€) โ‰  0 โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
7372necon1bbid 2978 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ /L ๐‘€) = 0))
7473ad2ant2r 743 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ /L ๐‘€) = 0))
7574biimpa 475 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) = 0)
7675oveq2d 7427 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท 0))
77 lgsne0 27074 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
7877necon1bbid 2978 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘€ /L ๐‘) = 0))
794, 2, 78syl2an 594 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘€ /L ๐‘) = 0))
8079ad2ant2r 743 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘€ /L ๐‘) = 0))
8180biimpa 475 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = 0)
8267, 76, 813eqtr4rd 2781 . 2 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
8335, 82pm2.61dan 809 1 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14031  abscabs 15185   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612   /L clgs 27033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-2idl 21006  df-rlreg 21099  df-domn 21100  df-idom 21101  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zn 21275  df-lgs 27034
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator