MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquad3 27127
Description: Extend lgsquad2 27126 to integers which share a factor. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsquad3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))

Proof of Theorem lgsquad3
StepHypRef Expression
1 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 nnz 12584 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 nnz 12584 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
54ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
6 lgscl 27051 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
73, 5, 6syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
87zred 12671 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„)
9 absresq 15254 . . . . . . 7 ((๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€))โ†‘2) = ((๐‘ /L ๐‘€)โ†‘2))
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€))โ†‘2) = ((๐‘ /L ๐‘€)โ†‘2))
113, 5gcdcomd 16460 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
12 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
1311, 12eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
14 lgsabs1 27076 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€)) = 1 โ†” (๐‘ gcd ๐‘€) = 1))
153, 5, 14syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€)) = 1 โ†” (๐‘ gcd ๐‘€) = 1))
1613, 15mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€)) = 1)
1716oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€))โ†‘2) = (1โ†‘2))
18 sq1 14164 . . . . . . 7 (1โ†‘2) = 1
1917, 18eqtrdi 2787 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ /L ๐‘€))โ†‘2) = 1)
207zcnd 12672 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2120sqvald 14113 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘€)โ†‘2) = ((๐‘ /L ๐‘€) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
2210, 19, 213eqtr3d 2779 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ 1 = ((๐‘ /L ๐‘€) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
2322oveq2d 7428 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท 1) = ((๐‘€ /L ๐‘) ยท ((๐‘ /L ๐‘€) ยท (๐‘ /L ๐‘€))))
24 lgscl 27051 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
255, 3, 24syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2625zcnd 12672 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2726, 20, 20mulassd 11242 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = ((๐‘€ /L ๐‘) ยท ((๐‘ /L ๐‘€) ยท (๐‘ /L ๐‘€))))
2823, 27eqtr4d 2774 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท 1) = (((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
2926mulridd 11236 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท 1) = (๐‘€ /L ๐‘))
30 simplll 772 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
31 simpllr 773 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
32 simplrr 775 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
3330, 31, 1, 32, 12lgsquad2 27126 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = (-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
3433oveq1d 7427 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
3528, 29, 343eqtr3d 2779 . 2 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
36 neg1cn 12331 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
3736a1i 11 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
38 neg1ne0 12333 . . . . . 6 -1 โ‰  0
3938a1i 11 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ -1 โ‰  0)
404ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
41 simpllr 773 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
42 1zzd 12598 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
43 2prm 16634 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„™
44 nprmdvds1 16648 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ 1)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ 1)
46 omoe 16312 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (1 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ 1)) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘€ โˆ’ 1))
4740, 41, 42, 45, 46syl22anc 836 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘€ โˆ’ 1))
48 2z 12599 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
49 2ne0 12321 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
50 peano2zm 12610 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5140, 50syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
52 dvdsval2 16205 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘€ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
5348, 49, 51, 52mp3an12i 1464 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘€ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
5447, 53mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
552adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5655ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
57 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
58 omoe 16312 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง (1 โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ 1)) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
5956, 57, 42, 45, 58syl22anc 836 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
60 peano2zm 12610 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
6156, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
62 dvdsval2 16205 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
6348, 49, 61, 62mp3an12i 1464 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
6459, 63mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
6554, 64zmulcld 12677 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
6637, 39, 65expclzd 14121 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) โˆˆ โ„‚)
6766mul01d 11418 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท 0) = 0)
68 lgsne0 27075 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘€) โ‰  0 โ†” (๐‘ gcd ๐‘€) = 1))
69 gcdcom 16459 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
7069eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘€) = 1 โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
7168, 70bitrd 279 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘€) โ‰  0 โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
722, 4, 71syl2anr 596 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘€) โ‰  0 โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
7372necon1bbid 2979 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ /L ๐‘€) = 0))
7473ad2ant2r 744 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ /L ๐‘€) = 0))
7574biimpa 476 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ /L ๐‘€) = 0)
7675oveq2d 7428 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท 0))
77 lgsne0 27075 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
7877necon1bbid 2979 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘€ /L ๐‘) = 0))
794, 2, 78syl2an 595 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘€ /L ๐‘) = 0))
8079ad2ant2r 744 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘€ /L ๐‘) = 0))
8180biimpa 476 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = 0)
8267, 76, 813eqtr4rd 2782 . 2 ((((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โˆง ยฌ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
8335, 82pm2.61dan 810 1 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ /L ๐‘) = ((-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) ยท (๐‘ /L ๐‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„คcz 12563  โ†‘cexp 14032  abscabs 15186   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  โ„™cprime 16613   /L clgs 27034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16704  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-nzr 20405  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934  df-2idl 21007  df-rlreg 21100  df-domn 21101  df-idom 21102  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-zn 21276  df-lgs 27035
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator