MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 17172
Description: Lemma for 2503prm 17173. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 12336 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 12539 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 12546 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12745 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14111 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 692 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12564 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 12541 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 12745 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 12745 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 12540 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 12543 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12745 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 12538 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12745 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 12342 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 12750 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 17170 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 12388 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2734 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 12761 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 17105 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 12544 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 12545 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 12745 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 12745 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 12542 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12745 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 12745 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 12745 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 12745 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 12745 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 12745 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 12547 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 12745 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 12745 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 12639 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 12639 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 16546 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 12361 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 12750 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 12274 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 12750 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mullidi 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 12398 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 12413 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 12852 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 12761 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 12782 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 12469 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 12758 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 16445 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 17151 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 16744 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2762 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 12348 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mullidi 11263 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 12416 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 12363 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mullidi 11263 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 7440 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 12824 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 12783 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 17106 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2734 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 12354 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mullidi 11263 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 12409 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 7442 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 12803 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2762 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 12360 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mullidi 11263 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 7440 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 12823 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 11450 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2762 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 12783 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 17106 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2734 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 12411 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 12752 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2762 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 12425 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 11433 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 7442 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addridi 11445 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2762 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 7440 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 12357 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 12412 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 11450 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 12752 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2766 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 12783 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mullidi 11263 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 7440 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 12815 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 11450 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2762 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 12783 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 17106 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2734 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2734 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 12761 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 12426 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 7442 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2762 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 12845 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 11267 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 12422 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 12790 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 12783 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 12351 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 12830 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 11267 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addlidi 11446 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 12790 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 12783 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 17106 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2734 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2734 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 12761 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 12783 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 7440 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 12807 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2762 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 12783 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 17106 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2734 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2734 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 12761 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 12834 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 11267 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 11450 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 12790 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2762 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 12839 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 11267 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 12819 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 11450 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 12791 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 12783 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 12427 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 7440 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 12806 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 11450 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2762 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 12783 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 17106 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2734 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 12535 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addridi 11445 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addlidi 11446 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 7442 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2762 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 7440 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2762 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 12783 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 12344 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mullidi 11263 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 7440 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 12805 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 11450 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2762 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 12783 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 7440 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 12406 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 12752 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2766 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 12783 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2765 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 17106 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 17107 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  5c5 12321  6c6 12322  7c7 12323  8c8 12324  9c9 12325  0cn0 12523  cz 12610  cdc 12730  cexp 14098  cdvds 16286   gcd cgcd 16527  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705
This theorem is referenced by:  2503prm  17173
  Copyright terms: Public domain W3C validator