MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 16328
Description: Lemma for 2503prm 16329. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 11513 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 11725 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 11732 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11926 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13257 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 679 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11750 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 11727 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 11926 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 11926 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 11726 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 11729 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 11926 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 11724 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 11926 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 11519 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 11932 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2862 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 16326 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 11572 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2778 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 11943 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 16264 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 11730 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 11731 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 11926 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 11926 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 11728 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11926 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 11926 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 11926 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 11926 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 11926 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 11926 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 11733 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 11926 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 11926 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 11820 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 11820 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 15722 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 679 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 11544 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 11932 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 11452 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 11932 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 11515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mulid2i 10445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 6988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 11582 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2802 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 11597 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 12035 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 11943 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 11964 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 11653 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 11940 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 15623 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 16307 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 15911 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 679 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 222 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2802 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 11526 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mulid2i 10445 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 6988 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 11600 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2802 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 11546 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mulid2i 10445 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 6986 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 12007 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2802 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 11965 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 16265 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2778 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 11534 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mulid2i 10445 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 11593 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 6988 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 11986 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2802 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 11542 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mulid2i 10445 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 6986 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 12006 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 10632 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2802 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 11965 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 16265 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2778 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 11595 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 11934 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2802 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 11609 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 10615 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 6988 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 10393 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addid1i 10627 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2802 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 6986 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 11538 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 11596 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 10632 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 11934 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2806 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 11965 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mulid2i 10445 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 6986 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 11998 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 10632 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2802 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 11965 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 16265 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2778 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2778 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 11943 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 11610 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 6988 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2802 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 12028 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 10449 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 11606 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 11972 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 11965 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 11530 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 12013 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 10449 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addid2i 10628 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 11972 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 11965 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 16265 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2778 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2778 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 11943 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 11965 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 6986 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 11990 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2802 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 11965 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 16265 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2778 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2778 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 11943 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 6987 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 12017 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 10449 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 10632 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 11972 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2802 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 12022 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 10449 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 12002 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 10632 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 11973 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 11965 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 11611 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 6986 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 11989 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 10632 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2802 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 11965 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 16265 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2778 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 11720 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addid1i 10627 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addid2i 10628 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 6988 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2802 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 6986 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2802 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 11965 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 11521 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mulid2i 10445 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 6986 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 11988 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 10632 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2802 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 11965 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 6986 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 11590 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 11934 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2806 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 11965 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2805 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 16265 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 16266 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  cmin 10670  cn 11439  2c2 11495  3c3 11496  4c4 11497  5c5 11498  6c6 11499  7c7 11500  8c8 11501  9c9 11502  0cn0 11707  cz 11793  cdc 11911  cexp 13244  cdvds 15467   gcd cgcd 15703  cprime 15871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-prm 15872
This theorem is referenced by:  2503prm  16329
  Copyright terms: Public domain W3C validator