MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 17081
Description: Lemma for 2503prm 17082. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 12289 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 12492 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 12499 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12696 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14045 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 689 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12517 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 12494 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 12696 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 12696 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 12493 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 12496 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12696 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 12491 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12696 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 12295 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 12701 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2823 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 17079 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 12341 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2726 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 12712 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 17014 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 12497 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 12498 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 12696 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 12696 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 12495 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12696 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 12696 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 12696 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 12696 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 12696 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 12696 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 12500 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 12696 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 12696 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 12591 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 12591 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 16461 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 12314 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 12701 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 12701 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mullidi 11223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 12351 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 12366 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 12803 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 12712 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 12733 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 12422 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 12709 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 16362 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 17060 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 16655 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2754 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 12301 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mullidi 11223 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 7417 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 12369 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2754 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 12316 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mullidi 11223 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 12775 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2754 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 12734 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 17015 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2726 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 12307 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mullidi 11223 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 12362 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 7417 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 12754 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 12313 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mullidi 11223 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 12774 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 11410 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 12734 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 17015 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2726 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 12364 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 12703 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2754 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 12378 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 11393 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 7417 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addridi 11405 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 12310 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 12365 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 11410 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 12703 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2758 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 12734 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mullidi 11223 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 12766 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 11410 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 12734 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 17015 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2726 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2726 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 12712 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 12379 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 7417 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 12796 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 11227 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 12375 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 12741 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 12734 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 12304 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 12781 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 12741 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 12734 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 17015 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2726 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2726 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 12712 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 12734 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 12758 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2754 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 12734 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 17015 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2726 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2726 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 12712 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 12785 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 11410 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 12741 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2754 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 12790 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 11227 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 12770 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 11410 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 12742 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 12734 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 12380 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 7415 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 12757 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 11410 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2754 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 12734 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 17015 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2726 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 12488 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addridi 11405 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addlidi 11406 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 7417 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 12734 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 12297 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 12756 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 11410 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2754 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 12734 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 7415 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 12359 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 12703 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2758 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 12734 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2757 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 17015 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 17016 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cmin 11448  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  0cn0 12476  cz 12562  cdc 12681  cexp 14032  cdvds 16204   gcd cgcd 16442  cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  2503prm  17082
  Copyright terms: Public domain W3C validator