MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 16460
Description: Lemma for 2503prm 16461. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 11698 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 11901 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 11908 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12101 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13430 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 688 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11926 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 11903 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 12101 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 12101 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 11902 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 11905 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12101 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 11900 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12101 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 11704 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 12106 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2906 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 16458 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 11750 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2818 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 12117 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 16396 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 11906 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 11907 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 12101 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 12101 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 11904 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12101 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 12101 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 12101 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 12101 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 12101 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 12101 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 11909 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 12101 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 12101 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 11995 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 11995 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 15850 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 11723 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 12106 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 11637 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 12106 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mulid2i 10634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 11760 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 11775 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 12117 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 12138 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 11831 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 12114 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 15751 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 16439 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 16043 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 231 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2841 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 11710 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mulid2i 10634 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 7157 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 11778 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 11725 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mulid2i 10634 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 12180 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 12139 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 16397 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2818 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 11716 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mulid2i 10634 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 11771 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 7157 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 12159 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2841 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 11722 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mulid2i 10634 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 7155 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 12179 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 10820 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2841 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 12139 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 16397 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2818 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 11773 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 12108 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2841 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 11787 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 10803 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 7157 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addid1i 10815 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2841 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 7155 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 11719 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 11774 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 10820 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 12108 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2845 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 12139 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mulid2i 10634 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 12171 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 10820 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 12139 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 16397 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2818 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2818 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 12117 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 11788 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 12201 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 10638 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 11784 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 12146 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 12139 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 11713 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 12186 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 10638 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addid2i 10816 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 12146 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 12139 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 16397 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2818 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2818 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 12117 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 12139 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 12163 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2841 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 12139 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 16397 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2818 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2818 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 12117 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 7156 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 12190 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 10638 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 10820 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 12146 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2841 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 12195 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 10638 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 12175 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 10820 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 12147 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 12139 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 11789 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 7155 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 12162 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 10820 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2841 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 12139 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 16397 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2818 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 11897 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addid1i 10815 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addid2i 10816 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 7157 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2841 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2841 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 12139 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 11706 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mulid2i 10634 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 12161 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 10820 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2841 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 12139 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 7155 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 11768 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 12108 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2845 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 12139 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2844 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 16397 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 16398 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  0cn0 11885  cz 11969  cdc 12086  cexp 13417  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  2503prm  16461
  Copyright terms: Public domain W3C validator