MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 17076
Description: Lemma for 2503prm 17077. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 12289 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 12492 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 12499 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12696 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14044 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 688 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12517 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 12494 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 12696 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 12696 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 12493 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 12496 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12696 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 12491 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12696 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 12295 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 12701 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2827 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 17074 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 12341 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2730 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 12712 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 17009 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 12497 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 12498 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 12696 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 12696 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 12495 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12696 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 12696 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 12696 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 12696 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 12696 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 12696 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 12500 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 12696 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 12696 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 12591 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 12591 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 16458 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 12314 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 12701 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 12701 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mullidi 11223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 12351 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 12366 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 12803 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 12712 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 12733 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 12422 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 12709 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 16359 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 17055 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 16652 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2758 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 12301 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mullidi 11223 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 7423 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 12369 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 12316 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mullidi 11223 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 12775 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 12734 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 17010 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2730 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 12307 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mullidi 11223 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 12362 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 7423 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 12754 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2758 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 12313 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mullidi 11223 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 12774 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 11410 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2758 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 12734 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 17010 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2730 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 12364 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 12703 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2758 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 12378 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 11393 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 7423 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addridi 11405 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2758 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 12310 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 12365 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 11410 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 12703 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2762 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 12734 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mullidi 11223 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 12766 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 11410 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2758 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 12734 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 17010 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2730 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2730 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 12712 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 12379 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 7423 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2758 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 12796 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 11227 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 12375 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 12741 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 12734 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 12304 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 12781 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 12741 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 12734 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 17010 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2730 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2730 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 12712 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 12734 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 12758 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2758 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 12734 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 17010 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2730 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2730 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 12712 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 7422 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 12785 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 11410 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 12741 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2758 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 12790 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 11227 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 12770 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 11410 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 12742 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 12734 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 12380 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 7421 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 12757 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 11410 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2758 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 12734 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 17010 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2730 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 12488 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addridi 11405 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addlidi 11406 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 7423 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2758 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2758 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 12734 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 12297 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 12756 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 11410 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2758 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 12734 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 7421 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 12359 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 12703 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2762 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 12734 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2761 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 17010 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 17011 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cmin 11448  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  0cn0 12476  cz 12562  cdc 12681  cexp 14031  cdvds 16201   gcd cgcd 16439  cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613
This theorem is referenced by:  2503prm  17077
  Copyright terms: Public domain W3C validator