MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 16468
Description: Lemma for 2503prm 16469. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 11702 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 11905 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 11912 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12105 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13442 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 691 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11930 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 11907 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 12105 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 12105 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 11906 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 11909 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12105 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 11904 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12105 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 11708 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 12110 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2889 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 16466 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 11754 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2801 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 12121 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 16402 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 11910 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 11911 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 12105 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 12105 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 11908 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12105 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 12105 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 12105 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 12105 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 12105 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 12105 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 11913 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 12105 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 12105 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 11999 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 11999 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 15856 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 11727 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 12110 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 11640 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 12110 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mulid2i 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 11764 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 11779 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 12212 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 12121 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 12142 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 11835 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 12118 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 15757 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 16447 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 16049 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 233 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2824 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 11714 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mulid2i 10639 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 7151 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 11782 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2824 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 11729 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mulid2i 10639 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 7149 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 12184 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2824 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 12143 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 16403 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2801 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 11720 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mulid2i 10639 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 11775 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 7151 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 12163 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2824 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 11726 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mulid2i 10639 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 12183 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 10825 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2824 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 12143 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 16403 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2801 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 11777 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 12112 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2824 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 11791 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 10808 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 7151 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addid1i 10820 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2824 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 11723 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 11778 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 10825 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 12112 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2828 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 12143 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mulid2i 10639 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 7149 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 12175 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 10825 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2824 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 12143 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 16403 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2801 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2801 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 12121 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 11792 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 7151 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2824 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 12205 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 10643 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 11788 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 12150 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 12143 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 11717 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 12190 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 10643 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addid2i 10821 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 12150 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 12143 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 16403 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2801 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2801 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 12121 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 12143 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 7149 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 12167 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2824 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 12143 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 16403 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2801 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2801 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 12121 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 7150 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 12194 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 10643 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 10825 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 12150 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2824 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 12199 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 10643 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 12179 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 10825 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 12151 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 12143 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 11793 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 7149 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 12166 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 10825 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2824 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 12143 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 16403 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2801 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 11901 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addid1i 10820 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addid2i 10821 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 7151 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2824 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 7149 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2824 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 12143 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 11710 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mulid2i 10639 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 7149 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 12165 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 10825 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2824 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 12143 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 7149 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 11772 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 12112 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2828 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 12143 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2827 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 16403 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 16404 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  7c7 11689  8c8 11690  9c9 11691  0cn0 11889  cz 11973  cdc 12090  cexp 13429  cdvds 15603   gcd cgcd 15837  cprime 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010
This theorem is referenced by:  2503prm  16469
  Copyright terms: Public domain W3C validator