MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 17176
Description: Lemma for 2503prm 17177. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 12339 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 12542 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 12549 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12748 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14115 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 692 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12567 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 12544 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 12748 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 12748 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 12543 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 12546 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12748 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12748 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 12345 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 12753 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2837 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 17174 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 12391 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2737 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 12764 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 17110 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 12547 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 12548 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 12748 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 12748 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 12545 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12748 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 12748 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 12748 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 12748 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 12748 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 12748 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 12550 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 12748 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 12748 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 12642 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 12642 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 16550 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 12364 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 12753 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 12277 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 12753 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 12401 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 12416 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 12855 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 12764 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 12785 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 12472 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 12761 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 16449 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 17155 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 16748 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 12351 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mullidi 11266 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 7443 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 12419 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 12366 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mullidi 11266 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 12827 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 12786 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 17111 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2737 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 12357 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mullidi 11266 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 12412 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 12806 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 12363 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mullidi 11266 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 12826 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 11453 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 12786 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 17111 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2737 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 12414 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 12755 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 12428 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 11436 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addridi 11448 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 12360 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 12415 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 11453 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 12755 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2769 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 12786 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mullidi 11266 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 12818 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 11453 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 12786 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 17111 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2737 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2737 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 12764 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 12429 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 12848 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 11270 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 12425 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 12793 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 12786 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 12354 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 12833 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 11270 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addlidi 11449 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 12793 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 12786 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 17111 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2737 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2737 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 12764 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 12786 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 12810 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 12786 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 17111 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2737 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2737 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 12764 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 12837 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 11270 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 11453 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 12793 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 12842 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 11270 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 12822 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 11453 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 12794 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 12786 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 12430 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 12809 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 11453 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 12786 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 17111 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2737 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 12538 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addridi 11448 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addlidi 11449 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 12786 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 12347 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mullidi 11266 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 12808 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 11453 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 12786 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 7441 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 12409 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 12755 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2769 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 12786 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2768 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 17111 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 17112 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  0cn0 12526  cz 12613  cdc 12733  cexp 14102  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  2503prm  17177
  Copyright terms: Public domain W3C validator