MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem4 17016
Description: Lemma for 4001prm 17017. Calculate the GCD of 2↑800 − 1≡2310 with 𝑁 = 4001. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem4 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 4001lem4
StepHypRef Expression
1 2nn 12226 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 8nn0 12436 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
3 0nn0 12428 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12633 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12633 . . . 4 800 ∈ ℕ0
6 nnexpcl 13980 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 800 ∈ ℕ0) → (2↑800) ∈ ℕ)
71, 5, 6mp2an 690 . . 3 (2↑800) ∈ ℕ
8 nnm1nn0 12454 . . 3 ((2↑800) ∈ ℕ → ((2↑800) − 1) ∈ ℕ0)
97, 8ax-mp 5 . 2 ((2↑800) − 1) ∈ ℕ0
10 2nn0 12430 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
11 3nn0 12431 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
1210, 11deccl 12633 . . . 4 23 ∈ ℕ0
13 1nn0 12429 . . . 4 1 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12633 . . 3 231 ∈ ℕ0
1514, 3deccl 12633 . 2 2310 ∈ ℕ0
16 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
17 4nn0 12432 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 12633 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
1918, 3deccl 12633 . . . 4 400 ∈ ℕ0
20 1nn 12164 . . . 4 1 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 12638 . . 3 4001 ∈ ℕ
2216, 21eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23164001lem2 17014 . . 3 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
24 0p1e1 12275 . . . 4 (0 + 1) = 1
25 eqid 2736 . . . 4 2310 = 2310
2614, 3, 24, 25decsuc 12649 . . 3 (2310 + 1) = 2311
2722, 7, 13, 15, 23, 26modsubi 16944 . 2 (((2↑800) − 1) mod 𝑁) = (2310 mod 𝑁)
28 6nn0 12434 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 12633 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
30 9nn0 12437 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 12633 . . . 4 169 ∈ ℕ0
3231, 13deccl 12633 . . 3 1691 ∈ ℕ0
3328, 13deccl 12633 . . . . 5 61 ∈ ℕ0
3433, 30deccl 12633 . . . 4 619 ∈ ℕ0
35 5nn0 12433 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
3617, 35deccl 12633 . . . . . 6 45 ∈ ℕ0
3736, 11deccl 12633 . . . . 5 453 ∈ ℕ0
3829, 28deccl 12633 . . . . . 6 166 ∈ ℕ0
3913, 10deccl 12633 . . . . . . . 8 12 ∈ ℕ0
4039, 13deccl 12633 . . . . . . 7 121 ∈ ℕ0
4111, 13deccl 12633 . . . . . . . . 9 31 ∈ ℕ0
4213, 17deccl 12633 . . . . . . . . . 10 14 ∈ ℕ0
4342nn0zi 12528 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℤ
4411nn0zi 12528 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
45 gcdcom 16393 . . . . . . . . . . . . 13 ((14 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (14 gcd 3) = (3 gcd 14))
4643, 44, 45mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (14 gcd 3) = (3 gcd 14)
47 3nn 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℕ
48 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℂ
49 3cn 12234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
50 4t3e12 12716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · 3) = 12
5148, 49, 50mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 4) = 12
52 2p2e4 12288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 2) = 4
5313, 10, 10, 51, 52decaddi 12678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 4) + 2) = 14
54 2lt3 12325 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
5547, 17, 1, 53, 54ndvdsi 16294 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 14
56 3prm 16570 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℙ
57 coprm 16587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℙ ∧ 14 ∈ ℤ) → (¬ 3 ∥ 14 ↔ (3 gcd 14) = 1))
5856, 43, 57mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 ∥ 14 ↔ (3 gcd 14) = 1)
5955, 58mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (3 gcd 14) = 1
6046, 59eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 (14 gcd 3) = 1
61 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 14 = 14
6211dec0h 12640 . . . . . . . . . . . 12 3 = 03
63 2t1e2 12316 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 1) = 2
6463, 24oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 1) + (0 + 1)) = (2 + 1)
65 2p1e3 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
6664, 65eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 1) + (0 + 1)) = 3
67 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
68 4t2e8 12321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 · 2) = 8
6948, 67, 68mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 4) = 8
7069oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 4) + 3) = (8 + 3)
71 8p3e11 12699 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
7270, 71eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 4) + 3) = 11
7313, 17, 3, 11, 61, 62, 10, 13, 13, 66, 72decma2c 12671 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 14) + 3) = 31
7410, 11, 42, 60, 73gcdi 16945 . . . . . . . . . 10 (31 gcd 14) = 1
75 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 31 = 31
7649mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 3) = 3
77 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
7877addid1i 11342 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 0) = 1
7976, 78oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
80 3p1e4 12298 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 1) = 4
8179, 80eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
82 1t1e1 12315 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
8382oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + 4) = (1 + 4)
84 4p1e5 12299 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
8548, 77, 84addcomli 11347 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
8635dec0h 12640 . . . . . . . . . . . 12 5 = 05
8783, 85, 863eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + 4) = 05
8811, 13, 13, 17, 75, 61, 13, 35, 3, 81, 87decma2c 12671 . . . . . . . . . 10 ((1 · 31) + 14) = 45
8913, 42, 41, 74, 88gcdi 16945 . . . . . . . . 9 (45 gcd 31) = 1
90 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 45 = 45
9169, 80oveq12i 7369 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) + (3 + 1)) = (8 + 4)
92 8p4e12 12700 . . . . . . . . . . 11 (8 + 4) = 12
9391, 92eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((2 · 4) + (3 + 1)) = 12
94 5cn 12241 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
95 5t2e10 12718 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 2) = 10
9694, 67, 95mulcomli 11164 . . . . . . . . . . 11 (2 · 5) = 10
9713, 3, 24, 96decsuc 12649 . . . . . . . . . 10 ((2 · 5) + 1) = 11
9817, 35, 11, 13, 90, 75, 10, 13, 13, 93, 97decma2c 12671 . . . . . . . . 9 ((2 · 45) + 31) = 121
9910, 41, 36, 89, 98gcdi 16945 . . . . . . . 8 (121 gcd 45) = 1
100 eqid 2736 . . . . . . . . 9 121 = 121
101 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 12 = 12
10248addid1i 11342 . . . . . . . . . . 11 (4 + 0) = 4
10317dec0h 12640 . . . . . . . . . . 11 4 = 04
104102, 103eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 04
105 00id 11330 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
10682, 105oveq12i 7369 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107106, 78eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10867mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 2) = 2
109108oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 2) + 4) = (2 + 4)
110 4p2e6 12306 . . . . . . . . . . . 12 (4 + 2) = 6
11148, 67, 110addcomli 11347 . . . . . . . . . . 11 (2 + 4) = 6
11228dec0h 12640 . . . . . . . . . . 11 6 = 06
113109, 111, 1123eqtri 2768 . . . . . . . . . 10 ((1 · 2) + 4) = 06
11413, 10, 3, 17, 101, 104, 13, 28, 3, 107, 113decma2c 12671 . . . . . . . . 9 ((1 · 12) + (4 + 0)) = 16
11582oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 5) = (1 + 5)
116 5p1e6 12300 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
11794, 77, 116addcomli 11347 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
118115, 117, 1123eqtri 2768 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 5) = 06
11939, 13, 17, 35, 100, 90, 13, 28, 3, 114, 118decma2c 12671 . . . . . . . 8 ((1 · 121) + 45) = 166
12013, 36, 40, 99, 119gcdi 16945 . . . . . . 7 (166 gcd 121) = 1
121 eqid 2736 . . . . . . . 8 166 = 166
122 eqid 2736 . . . . . . . . 9 16 = 16
12313, 10, 65, 101decsuc 12649 . . . . . . . . 9 (12 + 1) = 13
124 1p1e2 12278 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
12563, 124oveq12i 7369 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
126125, 52eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
127 6cn 12244 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
128 6t2e12 12722 . . . . . . . . . . 11 (6 · 2) = 12
129127, 67, 128mulcomli 11164 . . . . . . . . . 10 (2 · 6) = 12
130 3p2e5 12304 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
13149, 67, 130addcomli 11347 . . . . . . . . . 10 (2 + 3) = 5
13213, 10, 11, 129, 131decaddi 12678 . . . . . . . . 9 ((2 · 6) + 3) = 15
13313, 28, 13, 11, 122, 123, 10, 35, 13, 126, 132decma2c 12671 . . . . . . . 8 ((2 · 16) + (12 + 1)) = 45
13413, 10, 65, 129decsuc 12649 . . . . . . . 8 ((2 · 6) + 1) = 13
13529, 28, 39, 13, 121, 100, 10, 11, 13, 133, 134decma2c 12671 . . . . . . 7 ((2 · 166) + 121) = 453
13610, 40, 38, 120, 135gcdi 16945 . . . . . 6 (453 gcd 166) = 1
137 eqid 2736 . . . . . . 7 453 = 453
13829nn0cni 12425 . . . . . . . . 9 16 ∈ ℂ
139138addid1i 11342 . . . . . . . 8 (16 + 0) = 16
14048mulid2i 11160 . . . . . . . . . 10 (1 · 4) = 4
141140, 124oveq12i 7369 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
142141, 110eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
14394mulid2i 11160 . . . . . . . . . 10 (1 · 5) = 5
144143oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 ((1 · 5) + 6) = (5 + 6)
145 6p5e11 12691 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
146127, 94, 145addcomli 11347 . . . . . . . . 9 (5 + 6) = 11
147144, 146eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 6) = 11
14817, 35, 13, 28, 90, 139, 13, 13, 13, 142, 147decma2c 12671 . . . . . . 7 ((1 · 45) + (16 + 0)) = 61
14976oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + 6) = (3 + 6)
150 6p3e9 12313 . . . . . . . . 9 (6 + 3) = 9
151127, 49, 150addcomli 11347 . . . . . . . 8 (3 + 6) = 9
15230dec0h 12640 . . . . . . . 8 9 = 09
153149, 151, 1523eqtri 2768 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 6) = 09
15436, 11, 29, 28, 137, 121, 13, 30, 3, 148, 153decma2c 12671 . . . . . 6 ((1 · 453) + 166) = 619
15513, 38, 37, 136, 154gcdi 16945 . . . . 5 (619 gcd 453) = 1
156 eqid 2736 . . . . . 6 619 = 619
157 7nn0 12435 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
158 eqid 2736 . . . . . . 7 61 = 61
159 5p2e7 12309 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
16017, 35, 10, 90, 159decaddi 12678 . . . . . . 7 (45 + 2) = 47
161102oveq2i 7368 . . . . . . . 8 ((2 · 6) + (4 + 0)) = ((2 · 6) + 4)
16213, 10, 17, 129, 111decaddi 12678 . . . . . . . 8 ((2 · 6) + 4) = 16
163161, 162eqtri 2764 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 0)) = 16
16463oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 7) = (2 + 7)
165 7cn 12247 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
166 7p2e9 12314 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
167165, 67, 166addcomli 11347 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
168164, 167, 1523eqtri 2768 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 7) = 09
16928, 13, 17, 157, 158, 160, 10, 30, 3, 163, 168decma2c 12671 . . . . . 6 ((2 · 61) + (45 + 2)) = 169
170 9cn 12253 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
171 9t2e18 12740 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
172170, 67, 171mulcomli 11164 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
17313, 2, 11, 172, 124, 13, 71decaddci 12679 . . . . . 6 ((2 · 9) + 3) = 21
17433, 30, 36, 11, 156, 137, 10, 13, 10, 169, 173decma2c 12671 . . . . 5 ((2 · 619) + 453) = 1691
17510, 37, 34, 155, 174gcdi 16945 . . . 4 (1691 gcd 619) = 1
176 eqid 2736 . . . . 5 1691 = 1691
177 eqid 2736 . . . . . 6 169 = 169
17828, 13, 124, 158decsuc 12649 . . . . . 6 (61 + 1) = 62
179 6p1e7 12301 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
180157dec0h 12640 . . . . . . . 8 7 = 07
181179, 180eqtri 2764 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
18282, 24oveq12i 7369 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
183182, 124eqtri 2764 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
184127mulid2i 11160 . . . . . . . . 9 (1 · 6) = 6
185184oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((1 · 6) + 7) = (6 + 7)
186 7p6e13 12696 . . . . . . . . 9 (7 + 6) = 13
187165, 127, 186addcomli 11347 . . . . . . . 8 (6 + 7) = 13
188185, 187eqtri 2764 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 7) = 13
18913, 28, 3, 157, 122, 181, 13, 11, 13, 183, 188decma2c 12671 . . . . . 6 ((1 · 16) + (6 + 1)) = 23
190170mulid2i 11160 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
191190oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 2) = (9 + 2)
192 9p2e11 12705 . . . . . . 7 (9 + 2) = 11
193191, 192eqtri 2764 . . . . . 6 ((1 · 9) + 2) = 11
19429, 30, 28, 10, 177, 178, 13, 13, 13, 189, 193decma2c 12671 . . . . 5 ((1 · 169) + (61 + 1)) = 231
19582oveq1i 7367 . . . . . 6 ((1 · 1) + 9) = (1 + 9)
196 9p1e10 12620 . . . . . . 7 (9 + 1) = 10
197170, 77, 196addcomli 11347 . . . . . 6 (1 + 9) = 10
198195, 197eqtri 2764 . . . . 5 ((1 · 1) + 9) = 10
19931, 13, 33, 30, 176, 156, 13, 3, 13, 194, 198decma2c 12671 . . . 4 ((1 · 1691) + 619) = 2310
20013, 34, 32, 175, 199gcdi 16945 . . 3 (2310 gcd 1691) = 1
201 eqid 2736 . . . . . 6 231 = 231
20231nn0cni 12425 . . . . . . 7 169 ∈ ℂ
203202addid1i 11342 . . . . . 6 (169 + 0) = 169
204 eqid 2736 . . . . . . 7 23 = 23
20513, 28, 179, 122decsuc 12649 . . . . . . 7 (16 + 1) = 17
206108, 124oveq12i 7369 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
207206, 52eqtri 2764 . . . . . . 7 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
20876oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
209 7p3e10 12693 . . . . . . . . 9 (7 + 3) = 10
210165, 49, 209addcomli 11347 . . . . . . . 8 (3 + 7) = 10
211208, 210eqtri 2764 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = 10
21210, 11, 13, 157, 204, 205, 13, 3, 13, 207, 211decma2c 12671 . . . . . 6 ((1 · 23) + (16 + 1)) = 40
21312, 13, 29, 30, 201, 203, 13, 3, 13, 212, 198decma2c 12671 . . . . 5 ((1 · 231) + (169 + 0)) = 400
21477mul01i 11345 . . . . . . 7 (1 · 0) = 0
215214oveq1i 7367 . . . . . 6 ((1 · 0) + 1) = (0 + 1)
21613dec0h 12640 . . . . . 6 1 = 01
217215, 24, 2163eqtri 2768 . . . . 5 ((1 · 0) + 1) = 01
21814, 3, 31, 13, 25, 176, 13, 13, 3, 213, 217decma2c 12671 . . . 4 ((1 · 2310) + 1691) = 4001
219218, 16eqtr4i 2767 . . 3 ((1 · 2310) + 1691) = 𝑁
22013, 32, 15, 200, 219gcdi 16945 . 2 (𝑁 gcd 2310) = 1
2219, 15, 22, 27, 220gcdmodi 16946 1 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  0cn0 12413  cz 12499  cdc 12618  cexp 13967  cdvds 16136   gcd cgcd 16374  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548
This theorem is referenced by:  4001prm  17017
  Copyright terms: Public domain W3C validator