lgsquad2lem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgsquad2lem2 27429

Description: Lemma for lgsquad2 27430. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem2.s	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑘)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Distinct variable groups: 𝑚,𝑀 𝑥,𝑚,𝑁 𝜑,𝑚,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝜓(𝑥,𝑘,𝑚) 𝑀(𝑥,𝑘) 𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgsquad2lem2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		2nn 12339	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lgsquad2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1	nnzd 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		2z 12649	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		gcdcom 16550	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
9		lgsquad2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
10		2prm 16729	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
11		coprm 16748	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
12	10, 5, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
13	9, 12	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝑀) = 1)
14	8, 13	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = 1)
15		rpmulgcd 16594	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 2) = 1) → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
16	1, 3, 4, 14, 15	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
17		lgsquad2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
18	16, 17	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
19		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 /_L 𝑁) = (1 /_L 𝑁))
20		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 1))
21	19, 20	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)))
22		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
23		1m1e0 12338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
25	24	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = (0 / 2))
26		2cn 12341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		2ne0 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
28	26, 27	div0i 12001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 2) = 0
29	25, 28	eqtrdi 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = 0)
30	29	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (0 · ((𝑁 − 1) / 2)))
31	30	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
32	21, 31	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
33	32	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))))
34	33	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
35		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑥 gcd (2 · 𝑁)))
36	35	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
37		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑥 /_L 𝑁))
38		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑥))
39	37, 38	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)))
40		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 − 1) = (𝑥 − 1))
41	40	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑥 − 1) / 2))
42	41	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
43	42	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
44	39, 43	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
45	36, 44	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
46	45	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
47		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑦 gcd (2 · 𝑁)))
48	47	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
49		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑦 /_L 𝑁))
50		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑦))
51	49, 50	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)))
52		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 − 1) = (𝑦 − 1))
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑦 − 1) / 2))
54	53	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
55	54	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
56	51, 55	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
57	48, 56	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
58	57	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
59		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
60	59	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1))
61		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 /_L 𝑁) = ((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁))
62		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦)))
63	61, 62	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))))
64		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 − 1) = ((𝑥 · 𝑦) − 1))
65	64	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 − 1) / 2) = (((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2))
66	65	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
67	66	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
68	63, 67	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	60, 68	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
70	69	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
71		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (2 · 𝑁)))
72	71	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
73		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑀 /_L 𝑁))
74		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑀))
75	73, 74	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)))
76		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 − 1) = (𝑀 − 1))
77	76	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
78	77	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
79	78	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
80	75, 79	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
81	72, 80	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
82	81	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
83		1t1e1 12428	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
84		neg1cn 12380	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
85		exp0 14106	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
87	83, 86	eqtr4i 2768	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = (-1↑0)
88		sq1 14234	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
89	88	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑2) /_L 𝑁) = (1 /_L 𝑁)
90		1z 12647	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
91		ax-1ne0 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
92	90, 91	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)
93	4	nnzd 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
94		1gcd 16570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
96		lgssq 27381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 gcd 𝑁) = 1) → ((1↑2) /_L 𝑁) = 1)
97	92, 93, 95, 96	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1↑2) /_L 𝑁) = 1)
98	89, 97	eqtr3id 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 /_L 𝑁) = 1)
99	88	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 /_L (1↑2)) = (𝑁 /_L 1)
100		1nn 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
102		gcd1 16565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
103	93, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
104		lgssq2 27382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝑁 gcd 1) = 1) → (𝑁 /_L (1↑2)) = 1)
105	93, 101, 103, 104	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L (1↑2)) = 1)
106	99, 105	eqtr3id 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 1) = 1)
107	98, 106	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (1 · 1))
108		nnm1nn0 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
109	4, 108	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
110	109	nn0cnd 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
111	110	halfcld 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
112	111	mul02d 11459	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑁 − 1) / 2)) = 0)
113	112	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑0))
114	87, 107, 113	3eqtr4a 2803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
115	114	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
116		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
117		prmz 16712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℤ)
118	117	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
119	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℤ)
120	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
121	120	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
122		zmulcl 12666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
123	6, 121, 122	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
124		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
125		dvdsmul1 16315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
126	6, 121, 125	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
127		rpdvds 16697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁))) → (𝑚 gcd 2) = 1)
128	118, 119, 123, 124, 126, 127	syl32anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 2) = 1)
129		prmrp 16749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
130	116, 10, 129	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
131	128, 130	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
132		eldifsn 4786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑚 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ≠ 2))
133	116, 131, 132	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
134		prmnn 16711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
135	134	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℕ)
137		rpmulgcd 16594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 gcd 2) = 1) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
138	135, 136, 120, 128, 137	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
139	138, 124	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
140	133, 139	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1))
141		lgsquad2lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
142	140, 141	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
143	142	exp32 420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℙ → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
144	143	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
145		jcab 517	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) ↔ ((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
146		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2))
147		eluz2nn 12924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ ℕ)
149		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))
150		eluz2nn 12924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑦 ∈ ℕ)
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ ℕ)
152	148, 151	nnmulcld 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
153		n2dvds1 16405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
154	93	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
155	6, 154, 125	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
156		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
157		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
158	156, 157	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
159	158	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
160		zmulcl 12666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
162	6, 154, 122	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
163		dvdsgcd 16581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
164	6, 161, 162, 163	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
165	155, 164	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
166		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1)
167	166	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) ↔ 2 ∥ 1))
168	165, 167	sylibd 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ 1))
169	153, 168	mtoi 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
170	169	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
171	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
172		lgsquad2.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
173	172	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
174		dvdsmul2 16316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
175	6, 154, 174	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
176		rpdvds 16697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
177	161, 154, 162, 166, 175, 176	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
178	177	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
179		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
180	159	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∈ ℤ)
181	180, 162	gcdcomd 16551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑥))
182	162, 161	gcdcomd 16551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
183	182, 166	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1)
184		dvdsmul1 16315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
185	159, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
186		rpdvds 16697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
187	162, 180, 161, 183, 185, 186	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
188	181, 187	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
189	188	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
190		simprrl 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
191	189, 190	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
192	159	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∈ ℤ)
193	192, 162	gcdcomd 16551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑦))
194		dvdsmul2 16316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
195	159, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
196		rpdvds 16697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
197	162, 192, 161, 183, 195, 196	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
198	193, 197	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
199	198	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
200		simprrr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
201	199, 200	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
202	152, 170, 171, 173, 178, 148, 151, 179, 191, 201	lgsquad2lem1 27428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
203	202	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
204	203	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
205	204	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝜑 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
206	205	a2d 29	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
207	145, 206	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
208	34, 46, 58, 70, 82, 115, 144, 207	prmind 16723	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
209	1, 208	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
210	18, 209	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∖ cdif 3948 {csn 4626 class class class wbr 5143 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 0cc0 11155 1c1 11156 · cmul 11160 − cmin 11492 -cneg 11493 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 ℤ_≥cuz 12878 ...cfz 13547 ↑cexp 14102 ∥ cdvds 16290 gcd cgcd 16531 ℙcprime 16708 /_L clgs 27338

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-2o 8507 df-oadd 8510 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-sup 9482 df-inf 9483 df-dju 9941 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-5 12332 df-6 12333 df-7 12334 df-8 12335 df-9 12336 df-n0 12527 df-xnn0 12600 df-z 12614 df-uz 12879 df-q 12991 df-rp 13035 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14043 df-exp 14103 df-hash 14370 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-dvds 16291 df-gcd 16532 df-prm 16709 df-phi 16803 df-pc 16875 df-lgs 27339

This theorem is referenced by: lgsquad2 27430

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