lgsquad2lem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgsquad2lem2 25969

Description: Lemma for lgsquad2 25970. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem2.s	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑘)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Distinct variable groups: 𝑚,𝑀 𝑥,𝑚,𝑁 𝜑,𝑚,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝜓(𝑥,𝑘,𝑚) 𝑀(𝑥,𝑘) 𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgsquad2lem2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		2nn 11698	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lgsquad2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1	nnzd 12074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		2z 12002	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		gcdcom 15852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
8	5, 6, 7	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
9		lgsquad2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
10		2prm 16026	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
11		coprm 16045	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
12	10, 5, 11	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
13	9, 12	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝑀) = 1)
14	8, 13	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = 1)
15		rpmulgcd 15896	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 2) = 1) → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
16	1, 3, 4, 14, 15	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
17		lgsquad2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
18	16, 17	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
19		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 /_L 𝑁) = (1 /_L 𝑁))
20		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 1))
21	19, 20	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)))
22		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
23		1m1e0 11697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
25	24	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = (0 / 2))
26		2cn 11700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		2ne0 11729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
28	26, 27	div0i 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 2) = 0
29	25, 28	eqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = 0)
30	29	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (0 · ((𝑁 − 1) / 2)))
31	30	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
32	21, 31	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
33	32	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))))
34	33	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
35		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑥 gcd (2 · 𝑁)))
36	35	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
37		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑥 /_L 𝑁))
38		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑥))
39	37, 38	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)))
40		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 − 1) = (𝑥 − 1))
41	40	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑥 − 1) / 2))
42	41	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
43	42	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
44	39, 43	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
45	36, 44	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
46	45	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
47		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑦 gcd (2 · 𝑁)))
48	47	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
49		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑦 /_L 𝑁))
50		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑦))
51	49, 50	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)))
52		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 − 1) = (𝑦 − 1))
53	52	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑦 − 1) / 2))
54	53	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
55	54	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
56	51, 55	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
57	48, 56	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
58	57	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
59		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
60	59	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1))
61		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 /_L 𝑁) = ((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁))
62		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦)))
63	61, 62	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))))
64		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 − 1) = ((𝑥 · 𝑦) − 1))
65	64	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 − 1) / 2) = (((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2))
66	65	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
67	66	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
68	63, 67	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	60, 68	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
70	69	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
71		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (2 · 𝑁)))
72	71	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
73		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑀 /_L 𝑁))
74		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑀))
75	73, 74	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)))
76		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 − 1) = (𝑀 − 1))
77	76	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
78	77	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
79	78	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
80	75, 79	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
81	72, 80	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
82	81	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
83		1t1e1 11787	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
84		neg1cn 11739	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
85		exp0 13429	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
87	83, 86	eqtr4i 2824	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = (-1↑0)
88		sq1 13554	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
89	88	oveq1i 7145	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑2) /_L 𝑁) = (1 /_L 𝑁)
90		1z 12000	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
91		ax-1ne0 10595	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
92	90, 91	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)
93	4	nnzd 12074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
94		1gcd 15871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
96		lgssq 25921	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 gcd 𝑁) = 1) → ((1↑2) /_L 𝑁) = 1)
97	92, 93, 95, 96	mp3an2i 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1↑2) /_L 𝑁) = 1)
98	89, 97	syl5eqr 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 /_L 𝑁) = 1)
99	88	oveq2i 7146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 /_L (1↑2)) = (𝑁 /_L 1)
100		1nn 11636	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
102		gcd1 15866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
103	93, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
104		lgssq2 25922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝑁 gcd 1) = 1) → (𝑁 /_L (1↑2)) = 1)
105	93, 101, 103, 104	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L (1↑2)) = 1)
106	99, 105	syl5eqr 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 1) = 1)
107	98, 106	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (1 · 1))
108		nnm1nn0 11926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
109	4, 108	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
110	109	nn0cnd 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
111	110	halfcld 11870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
112	111	mul02d 10827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑁 − 1) / 2)) = 0)
113	112	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑0))
114	87, 107, 113	3eqtr4a 2859	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
115	114	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
116		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
117		prmz 16009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℤ)
118	117	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
119	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℤ)
120	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
121	120	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
122		zmulcl 12019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
123	6, 121, 122	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
124		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
125		dvdsmul1 15623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
126	6, 121, 125	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
127		rpdvds 15994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁))) → (𝑚 gcd 2) = 1)
128	118, 119, 123, 124, 126, 127	syl32anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 2) = 1)
129		prmrp 16046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
130	116, 10, 129	sylancl 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
131	128, 130	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
132		eldifsn 4680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑚 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ≠ 2))
133	116, 131, 132	sylanbrc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
134		prmnn 16008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
135	134	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℕ)
137		rpmulgcd 15896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 gcd 2) = 1) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
138	135, 136, 120, 128, 137	syl31anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
139	138, 124	eqtr3d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
140	133, 139	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1))
141		lgsquad2lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
142	140, 141	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
143	142	exp32 424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℙ → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
144	143	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
145		jcab 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) ↔ ((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
146		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2))
147		eluz2nn 12272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ ℕ)
149		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))
150		eluz2nn 12272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑦 ∈ ℕ)
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ ℕ)
152	148, 151	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
153		n2dvds1 15709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
154	93	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
155	6, 154, 125	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
156		eluzelz 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
157		eluzelz 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
158	156, 157	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
159	158	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
160		zmulcl 12019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
162	6, 154, 122	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
163		dvdsgcd 15882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
164	6, 161, 162, 163	mp3an2i 1463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
165	155, 164	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
166		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1)
167	166	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) ↔ 2 ∥ 1))
168	165, 167	sylibd 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ 1))
169	153, 168	mtoi 202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
170	169	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
171	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
172		lgsquad2.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
173	172	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
174		dvdsmul2 15624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
175	6, 154, 174	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
176		rpdvds 15994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
177	161, 154, 162, 166, 175, 176	syl32anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
178	177	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
179		eqidd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
180	159	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∈ ℤ)
181		gcdcom 15852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑥))
182	180, 162, 181	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑥))
183		gcdcom 15852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
184	162, 161, 183	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
185	184, 166	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1)
186		dvdsmul1 15623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
187	159, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
188		rpdvds 15994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
189	162, 180, 161, 185, 187, 188	syl32anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
190	182, 189	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
191	190	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
192		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
193	191, 192	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
194	159	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∈ ℤ)
195		gcdcom 15852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑦))
196	194, 162, 195	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑦))
197		dvdsmul2 15624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
198	159, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
199		rpdvds 15994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
200	162, 194, 161, 185, 198, 199	syl32anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
201	196, 200	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
202	201	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
203		simprrr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
204	202, 203	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
205	152, 170, 171, 173, 178, 148, 151, 179, 193, 204	lgsquad2lem1 25968	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
206	205	exp32 424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
207	206	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
208	207	expcom 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝜑 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
209	208	a2d 29	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
210	145, 209	syl5bir 246	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
211	34, 46, 58, 70, 82, 115, 144, 210	prmind 16020	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
212	1, 211	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
213	18, 212	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 ∀wral 3106 ∖ cdif 3878 {csn 4525 class class class wbr 5030 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 0cc0 10526 1c1 10527 · cmul 10531 − cmin 10859 -cneg 10860 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ℤ_≥cuz 12231 ...cfz 12885 ↑cexp 13425 ∥ cdvds 15599 gcd cgcd 15833 ℙcprime 16005 /_L clgs 25878

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-er 8272 df-map 8391 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-sup 8890 df-inf 8891 df-dju 9314 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-5 11691 df-6 11692 df-7 11693 df-8 11694 df-9 11695 df-n0 11886 df-xnn0 11956 df-z 11970 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-mod 13233 df-seq 13365 df-exp 13426 df-hash 13687 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-dvds 15600 df-gcd 15834 df-prm 16006 df-phi 16093 df-pc 16164 df-lgs 25879

This theorem is referenced by: lgsquad2 25970

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