lgsquad2lem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgsquad2lem2 27272

Description: Lemma for lgsquad2 27273. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem2.s	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑘)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquad2lem2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Distinct variable groups: 𝑚,𝑀 𝑥,𝑚,𝑁 𝜑,𝑚,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝜓(𝑥,𝑘,𝑚) 𝑀(𝑥,𝑘) 𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgsquad2lem2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		2nn 12235	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lgsquad2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1	nnzd 12532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		2z 12541	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		gcdcom 16459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
9		lgsquad2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
10		2prm 16638	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
11		coprm 16657	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
12	10, 5, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
13	9, 12	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝑀) = 1)
14	8, 13	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = 1)
15		rpmulgcd 16503	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 2) = 1) → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
16	1, 3, 4, 14, 15	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
17		lgsquad2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
18	16, 17	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
19		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 /_L 𝑁) = (1 /_L 𝑁))
20		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 1))
21	19, 20	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)))
22		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
23		1m1e0 12234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
25	24	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = (0 / 2))
26		2cn 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		2ne0 12266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
28	26, 27	div0i 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 2) = 0
29	25, 28	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = 0)
30	29	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (0 · ((𝑁 − 1) / 2)))
31	30	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
32	21, 31	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
33	32	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))))
34	33	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
35		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑥 gcd (2 · 𝑁)))
36	35	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
37		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑥 /_L 𝑁))
38		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑥))
39	37, 38	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)))
40		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 − 1) = (𝑥 − 1))
41	40	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑥 − 1) / 2))
42	41	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
43	42	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
44	39, 43	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
45	36, 44	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
46	45	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
47		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑦 gcd (2 · 𝑁)))
48	47	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
49		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑦 /_L 𝑁))
50		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑦))
51	49, 50	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)))
52		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 − 1) = (𝑦 − 1))
53	52	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑦 − 1) / 2))
54	53	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
55	54	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
56	51, 55	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
57	48, 56	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
58	57	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
59		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
60	59	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1))
61		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 /_L 𝑁) = ((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁))
62		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦)))
63	61, 62	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))))
64		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 − 1) = ((𝑥 · 𝑦) − 1))
65	64	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 − 1) / 2) = (((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2))
66	65	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
67	66	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
68	63, 67	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	60, 68	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
70	69	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
71		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (2 · 𝑁)))
72	71	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
73		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 /_L 𝑁) = (𝑀 /_L 𝑁))
74		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 /_L 𝑚) = (𝑁 /_L 𝑀))
75	73, 74	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)))
76		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 − 1) = (𝑀 − 1))
77	76	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
78	77	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
79	78	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
80	75, 79	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
81	72, 80	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
82	81	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
83		1t1e1 12319	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
84		neg1cn 12147	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
85		exp0 14006	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
87	83, 86	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = (-1↑0)
88		sq1 14136	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
89	88	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑2) /_L 𝑁) = (1 /_L 𝑁)
90		1z 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
91		ax-1ne0 11113	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
92	90, 91	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)
93	4	nnzd 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
94		1gcd 16479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
96		lgssq 27224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 gcd 𝑁) = 1) → ((1↑2) /_L 𝑁) = 1)
97	92, 93, 95, 96	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1↑2) /_L 𝑁) = 1)
98	89, 97	eqtr3id 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 /_L 𝑁) = 1)
99	88	oveq2i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 /_L (1↑2)) = (𝑁 /_L 1)
100		1nn 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
102		gcd1 16474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
103	93, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
104		lgssq2 27225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝑁 gcd 1) = 1) → (𝑁 /_L (1↑2)) = 1)
105	93, 101, 103, 104	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L (1↑2)) = 1)
106	99, 105	eqtr3id 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /_L 1) = 1)
107	98, 106	oveq12d 7387	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (1 · 1))
108		nnm1nn0 12459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
109	4, 108	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
110	109	nn0cnd 12481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
111	110	halfcld 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
112	111	mul02d 11348	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑁 − 1) / 2)) = 0)
113	112	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑0))
114	87, 107, 113	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
115	114	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
116		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
117		prmz 16621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℤ)
118	117	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
119	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℤ)
120	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
121	120	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
122		zmulcl 12558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
123	6, 121, 122	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
124		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
125		dvdsmul1 16223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
126	6, 121, 125	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
127		rpdvds 16606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁))) → (𝑚 gcd 2) = 1)
128	118, 119, 123, 124, 126, 127	syl32anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 2) = 1)
129		prmrp 16658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
130	116, 10, 129	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
131	128, 130	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
132		eldifsn 4746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑚 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ≠ 2))
133	116, 131, 132	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
134		prmnn 16620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
135	134	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℕ)
137		rpmulgcd 16503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 gcd 2) = 1) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
138	135, 136, 120, 128, 137	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
139	138, 124	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
140	133, 139	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1))
141		lgsquad2lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
142	140, 141	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
143	142	exp32 420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℙ → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
144	143	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
145		jcab 517	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) ↔ ((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
146		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2))
147		eluz2nn 12823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ ℕ)
149		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))
150		eluz2nn 12823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑦 ∈ ℕ)
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ ℕ)
152	148, 151	nnmulcld 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
153		n2dvds1 16314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
154	93	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
155	6, 154, 125	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
156		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
157		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
158	156, 157	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
159	158	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
160		zmulcl 12558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
162	6, 154, 122	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
163		dvdsgcd 16490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
164	6, 161, 162, 163	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
165	155, 164	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
166		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1)
167	166	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) ↔ 2 ∥ 1))
168	165, 167	sylibd 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ 1))
169	153, 168	mtoi 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
170	169	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
171	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
172		lgsquad2.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
173	172	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
174		dvdsmul2 16224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
175	6, 154, 174	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
176		rpdvds 16606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
177	161, 154, 162, 166, 175, 176	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
178	177	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
179		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
180	159	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∈ ℤ)
181	180, 162	gcdcomd 16460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑥))
182	162, 161	gcdcomd 16460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
183	182, 166	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1)
184		dvdsmul1 16223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
185	159, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
186		rpdvds 16606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
187	162, 180, 161, 183, 185, 186	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
188	181, 187	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
189	188	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
190		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
191	189, 190	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
192	159	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∈ ℤ)
193	192, 162	gcdcomd 16460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑦))
194		dvdsmul2 16224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
195	159, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
196		rpdvds 16606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
197	162, 192, 161, 183, 195, 196	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
198	193, 197	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
199	198	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
200		simprrr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
201	199, 200	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
202	152, 170, 171, 173, 178, 148, 151, 179, 191, 201	lgsquad2lem1 27271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
203	202	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
204	203	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2))) → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
205	204	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝜑 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
206	205	a2d 29	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
207	145, 206	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /_L 𝑁) · (𝑁 /_L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
208	34, 46, 58, 70, 82, 115, 144, 207	prmind 16632	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
209	1, 208	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
210	18, 209	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /_L 𝑁) · (𝑁 /_L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ∖ cdif 3908 {csn 4585 class class class wbr 5102 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 0cc0 11044 1c1 11045 · cmul 11049 − cmin 11381 -cneg 11382 / cdiv 11811 ℕcn 12162 2c2 12217 ℕ₀cn0 12418 ℤcz 12505 ℤ_≥cuz 12769 ...cfz 13444 ↑cexp 14002 ∥ cdvds 16198 gcd cgcd 16440 ℙcprime 16617 /_L clgs 27181

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-oadd 8415 df-er 8648 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-sup 9369 df-inf 9370 df-dju 9830 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-xnn0 12492 df-z 12506 df-uz 12770 df-q 12884 df-rp 12928 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-fl 13730 df-mod 13808 df-seq 13943 df-exp 14003 df-hash 14272 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-dvds 16199 df-gcd 16441 df-prm 16618 df-phi 16712 df-pc 16784 df-lgs 27182

This theorem is referenced by: lgsquad2 27273

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