Theorem lgsquad2lem2 27234

Description: Lemma for lgsquad2 27235. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem2.s	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑘)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2lem2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑀   𝑥,𝑚,𝑁   𝜑,𝑚,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgsquad2lem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		2nn 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lgsquad2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	1	nnzd 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		2z 12591	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		gcdcom 16451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
8	5, 6, 7	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
9		lgsquad2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
10		2prm 16626	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
11		coprm 16645	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
12	10, 5, 11	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
13	9, 12	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝑀) = 1)
14	8, 13	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = 1)
15		rpmulgcd 16495	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 2) = 1) → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
16	1, 3, 4, 14, 15	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
17		lgsquad2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
18	16, 17	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
19		oveq1 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 /L 𝑁) = (1 /L 𝑁))
20		oveq2 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 1))
21	19, 20	oveq12d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)))
22		oveq1 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
23		1m1e0 12281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
25	24	oveq1d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = (0 / 2))
26		2cn 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		2ne0 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
28	26, 27	div0i 11945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 / 2) = 0
29	25, 28	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = 0)
30	29	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (0 · ((𝑁 − 1) / 2)))
31	30	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
32	21, 31	eqeq12d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
33	32	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))))
34	33	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
35		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑥 gcd (2 · 𝑁)))
36	35	eqeq1d 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
37		oveq1 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑥 /L 𝑁))
38		oveq2 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑥))
39	37, 38	oveq12d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)))
40		oveq1 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 − 1) = (𝑥 − 1))
41	40	oveq1d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑥 − 1) / 2))
42	41	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
43	42	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
44	39, 43	eqeq12d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
45	36, 44	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
46	45	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
47		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑦 gcd (2 · 𝑁)))
48	47	eqeq1d 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
49		oveq1 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑦 /L 𝑁))
50		oveq2 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑦))
51	49, 50	oveq12d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)))
52		oveq1 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 − 1) = (𝑦 − 1))
53	52	oveq1d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑦 − 1) / 2))
54	53	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
55	54	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
56	51, 55	eqeq12d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
57	48, 56	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
58	57	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
59		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
60	59	eqeq1d 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1))
61		oveq1 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 /L 𝑁) = ((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁))
62		oveq2 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦)))
63	61, 62	oveq12d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))))
64		oveq1 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 − 1) = ((𝑥 · 𝑦) − 1))
65	64	oveq1d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 − 1) / 2) = (((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2))
66	65	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
67	66	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
68	63, 67	eqeq12d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	60, 68	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
70	69	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
71		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (2 · 𝑁)))
72	71	eqeq1d 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
73		oveq1 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑀 /L 𝑁))
74		oveq2 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑀))
75	73, 74	oveq12d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
76		oveq1 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 − 1) = (𝑀 − 1))
77	76	oveq1d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
78	77	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
79	78	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
80	75, 79	eqeq12d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
81	72, 80	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
82	81	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
83		1t1e1 12371	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
84		neg1cn 12323	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
85		exp0 14028	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑0) = 1
87	83, 86	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = (-1↑0)
88		sq1 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
89	88	oveq1i 7411	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑2) /L 𝑁) = (1 /L 𝑁)
90		1z 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
91		ax-1ne0 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
92	90, 91	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)
93	4	nnzd 12582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
94		1gcd 16472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
96		lgssq 27186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 gcd 𝑁) = 1) → ((1↑2) /L 𝑁) = 1)
97	92, 93, 95, 96	mp3an2i 1462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1↑2) /L 𝑁) = 1)
98	89, 97	eqtr3id 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 /L 𝑁) = 1)
99	88	oveq2i 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 /L (1↑2)) = (𝑁 /L 1)
100		1nn 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
102		gcd1 16466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
103	93, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
104		lgssq2 27187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝑁 gcd 1) = 1) → (𝑁 /L (1↑2)) = 1)
105	93, 101, 103, 104	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L (1↑2)) = 1)
106	99, 105	eqtr3id 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 /L 1) = 1)
107	98, 106	oveq12d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (1 · 1))
108		nnm1nn0 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
109	4, 108	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
110	109	nn0cnd 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
111	110	halfcld 12454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
112	111	mul02d 11409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑁 − 1) / 2)) = 0)
113	112	oveq2d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑0))
114	87, 107, 113	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
115	114	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
116		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
117		prmz 16609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℤ)
118	117	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
119	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℤ)
120	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
121	120	nnzd 12582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
122		zmulcl 12608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
123	6, 121, 122	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
124		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
125		dvdsmul1 16218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
126	6, 121, 125	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
127		rpdvds 16594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁))) → (𝑚 gcd 2) = 1)
128	118, 119, 123, 124, 126, 127	syl32anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 2) = 1)
129		prmrp 16646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
130	116, 10, 129	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
131	128, 130	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
132		eldifsn 4782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑚 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ≠ 2))
133	116, 131, 132	sylanbrc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
134		prmnn 16608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
135	134	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℕ)
137		rpmulgcd 16495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 gcd 2) = 1) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
138	135, 136, 120, 128, 137	syl31anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
139	138, 124	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
140	133, 139	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1))
141		lgsquad2lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
142	140, 141	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
143	142	exp32 420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℙ → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
144	143	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
145		jcab 517	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) ↔ ((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
146		simplrl 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
147		eluz2nn 12865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ ℕ)
149		simplrr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))
150		eluz2nn 12865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℕ)
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ ℕ)
152	148, 151	nnmulcld 12262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
153		n2dvds1 16308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
154	93	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
155	6, 154, 125	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
156		eluzelz 12829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
157		eluzelz 12829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
158	156, 157	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
159	158	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
160		zmulcl 12608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
162	6, 154, 122	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
163		dvdsgcd 16483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
164	6, 161, 162, 163	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
165	155, 164	mpan2d 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
166		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1)
167	166	breq2d 5150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) ↔ 2 ∥ 1))
168	165, 167	sylibd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ 1))
169	153, 168	mtoi 198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
170	169	adantrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
171	4	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
172		lgsquad2.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
173	172	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
174		dvdsmul2 16219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
175	6, 154, 174	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
176		rpdvds 16594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
177	161, 154, 162, 166, 175, 176	syl32anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
178	177	adantrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
179		eqidd 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
180	159	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∈ ℤ)
181	180, 162	gcdcomd 16452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑥))
182	162, 161	gcdcomd 16452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
183	182, 166	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1)
184		dvdsmul1 16218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
185	159, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
186		rpdvds 16594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
187	162, 180, 161, 183, 185, 186	syl32anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
188	181, 187	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
189	188	adantrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
190		simprrl 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
191	189, 190	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
192	159	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∈ ℤ)
193	192, 162	gcdcomd 16452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑦))
194		dvdsmul2 16219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
195	159, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
196		rpdvds 16594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
197	162, 192, 161, 183, 195, 196	syl32anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
198	193, 197	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
199	198	adantrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
200		simprrr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
201	199, 200	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
202	152, 170, 171, 173, 178, 148, 151, 179, 191, 201	lgsquad2lem1 27233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
203	202	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
204	203	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))) → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
205	204	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝜑 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
206	205	a2d 29	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
207	145, 206	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
208	34, 46, 58, 70, 82, 115, 144, 207	prmind 16620	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
209	1, 208	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
210	18, 209	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053   ∖ cdif 3937  {csn 4620   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  ℕcn 12209  2c2 12264  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  ...cfz 13481  ↑cexp 14024   ∥ cdvds 16194   gcd cgcd 16432  ℙcprime 16605   /_L clgs 27143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16698  df-pc 16769  df-lgs 27144

This theorem is referenced by:  lgsquad2  27235