MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquad2lem2 26533
Description: Lemma for lgsquad2 26534. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsquad2.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
lgsquad2lem2.f ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
lgsquad2lem2.s (𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑘)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
Assertion
Ref Expression
lgsquad2lem2 (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑀   𝑥,𝑚,𝑁   𝜑,𝑚,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgsquad2lem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsquad2.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 2nn 12046 . . . . 5 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4 lgsquad2.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
51nnzd 12425 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 2z 12352 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
7 gcdcom 16220 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
85, 6, 7sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = (2 gcd 𝑀))
9 lgsquad2.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
10 2prm 16397 . . . . . . 7 2 ∈ ℙ
11 coprm 16416 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
1210, 5, 11sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ (2 gcd 𝑀) = 1))
139, 12mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (2 gcd 𝑀) = 1)
148, 13eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 gcd 2) = 1)
15 rpmulgcd 16266 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 2) = 1) → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
161, 3, 4, 14, 15syl31anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
17 lgsquad2.5 . . 3 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
1816, 17eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
19 oveq1 7282 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (𝑚 /L 𝑁) = (1 /L 𝑁))
20 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 1))
2119, 20oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)))
22 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
23 1m1e0 12045 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
2422, 23eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
2524oveq1d 7290 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = (0 / 2))
26 2cn 12048 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
27 2ne0 12077 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
2826, 27div0i 11709 . . . . . . . . . 10 (0 / 2) = 0
2925, 28eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1) / 2) = 0)
3029oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (0 · ((𝑁 − 1) / 2)))
3130oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
3221, 31eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
3332imbi2d 341 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))))
3433imbi2d 341 . . . 4 (𝑚 = 1 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
35 oveq1 7282 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑥 gcd (2 · 𝑁)))
3635eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
37 oveq1 7282 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑥 /L 𝑁))
38 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑥))
3937, 38oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)))
40 oveq1 7282 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 − 1) = (𝑥 − 1))
4140oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑥 − 1) / 2))
4241oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
4342oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
4439, 43eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
4536, 44imbi12d 345 . . . . 5 (𝑚 = 𝑥 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
4645imbi2d 341 . . . 4 (𝑚 = 𝑥 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
47 oveq1 7282 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑦 gcd (2 · 𝑁)))
4847eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
49 oveq1 7282 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑦 /L 𝑁))
50 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑦 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑦))
5149, 50oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)))
52 oveq1 7282 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚 − 1) = (𝑦 − 1))
5352oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑦 − 1) / 2))
5453oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
5554oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑦 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
5651, 55eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
5748, 56imbi12d 345 . . . . 5 (𝑚 = 𝑦 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
5857imbi2d 341 . . . 4 (𝑚 = 𝑦 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
59 oveq1 7282 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
6059eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1))
61 oveq1 7282 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 /L 𝑁) = ((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁))
62 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦)))
6361, 62oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))))
64 oveq1 7282 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑚 − 1) = ((𝑥 · 𝑦) − 1))
6564oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝑚 − 1) / 2) = (((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2))
6665oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = ((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
6766oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
6863, 67eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
6960, 68imbi12d 345 . . . . 5 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
7069imbi2d 341 . . . 4 (𝑚 = (𝑥 · 𝑦) → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
71 oveq1 7282 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (2 · 𝑁)))
7271eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1))
73 oveq1 7282 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝑀 /L 𝑁))
74 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 /L 𝑚) = (𝑁 /L 𝑀))
7573, 74oveq12d 7293 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)))
76 oveq1 7282 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 − 1) = (𝑀 − 1))
7776oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
7877oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))
7978oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
8075, 79eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ↔ ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
8172, 80imbi12d 345 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
8281imbi2d 341 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
83 1t1e1 12135 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
84 neg1cn 12087 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
85 exp0 13786 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑0) = 1
8783, 86eqtr4i 2769 . . . . . 6 (1 · 1) = (-1↑0)
88 sq1 13912 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
8988oveq1i 7285 . . . . . . . 8 ((1↑2) /L 𝑁) = (1 /L 𝑁)
90 1z 12350 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
91 ax-1ne0 10940 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
9290, 91pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)
934nnzd 12425 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
94 1gcd 16241 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
96 lgssq 26485 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 gcd 𝑁) = 1) → ((1↑2) /L 𝑁) = 1)
9792, 93, 95, 96mp3an2i 1465 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1↑2) /L 𝑁) = 1)
9889, 97eqtr3id 2792 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 /L 𝑁) = 1)
9988oveq2i 7286 . . . . . . . 8 (𝑁 /L (1↑2)) = (𝑁 /L 1)
100 1nn 11984 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
101100a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
102 gcd1 16235 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
10393, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
104 lgssq2 26486 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝑁 gcd 1) = 1) → (𝑁 /L (1↑2)) = 1)
10593, 101, 103, 104syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 /L (1↑2)) = 1)
10699, 105eqtr3id 2792 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 /L 1) = 1)
10798, 106oveq12d 7293 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (1 · 1))
108 nnm1nn0 12274 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1094, 108syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
110109nn0cnd 12295 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
111110halfcld 12218 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
112111mul02d 11173 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((𝑁 − 1) / 2)) = 0)
113112oveq2d 7291 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑0))
11487, 107, 1133eqtr4a 2804 . . . . 5 (𝜑 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2))))
115114a1d 25 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((1 /L 𝑁) · (𝑁 /L 1)) = (-1↑(0 · ((𝑁 − 1) / 2)))))
116 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
117 prmz 16380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℤ)
118117ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1196a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℤ)
1204adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
121120nnzd 12425 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
122 zmulcl 12369 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
1236, 121, 122sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
124 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
125 dvdsmul1 15987 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
1266, 121, 125sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
127 rpdvds 16365 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁))) → (𝑚 gcd 2) = 1)
128118, 119, 123, 124, 126, 127syl32anc 1377 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 2) = 1)
129 prmrp 16417 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
130116, 10, 129sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 gcd 2) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2))
131128, 130mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
132 eldifsn 4720 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑚 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ≠ 2))
133116, 131, 132sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
134 prmnn 16379 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
135134ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1362a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → 2 ∈ ℕ)
137 rpmulgcd 16266 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 gcd 2) = 1) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
138135, 136, 120, 128, 137syl31anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = (𝑚 gcd 𝑁))
139138, 124eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
140133, 139jca 512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1))
141 lgsquad2lem2.f . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
142140, 141syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℙ ∧ (𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
143142exp32 421 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℙ → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
144143com12 32 . . . 4 (𝑚 ∈ ℙ → (𝜑 → ((𝑚 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
145 jcab 518 . . . . 5 ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) ↔ ((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
146 simplrl 774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
147 eluz2nn 12624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℕ)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑥 ∈ ℕ)
149 simplrr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
150 eluz2nn 12624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℕ)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑦 ∈ ℕ)
152148, 151nnmulcld 12026 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
153 n2dvds1 16077 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 1
15493ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
1556, 154, 125sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
156 eluzelz 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
157 eluzelz 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
158156, 157anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
159158ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
160 zmulcl 12369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
1626, 154, 122sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
163 dvdsgcd 16252 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
1646, 161, 162, 163mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 ∥ (𝑥 · 𝑦) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑁)) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
165155, 164mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁))))
166 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1)
167166breq2d 5086 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) ↔ 2 ∥ 1))
168165, 167sylibd 238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (2 ∥ (𝑥 · 𝑦) → 2 ∥ 1))
169153, 168mtoi 198 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
170169adantrr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ (𝑥 · 𝑦))
1714ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
172 lgsquad2.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
173172ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
174 dvdsmul2 15988 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
1756, 154, 174sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
176 rpdvds 16365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
177161, 154, 162, 166, 175, 176syl32anc 1377 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
178177adantrr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 · 𝑦) gcd 𝑁) = 1)
179 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
180159simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∈ ℤ)
181180, 162gcdcomd 16221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑥))
182162, 161gcdcomd 16221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)))
183182, 166eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1)
184 dvdsmul1 15987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
185159, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))
186 rpdvds 16365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑥 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
187162, 180, 161, 183, 185, 186syl32anc 1377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑥) = 1)
188181, 187eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
189188adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
190 simprrl 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
191189, 190mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
192159simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∈ ℤ)
193192, 162gcdcomd 16221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) gcd 𝑦))
194 dvdsmul2 15988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
195159, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))
196 rpdvds 16365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) gcd (𝑥 · 𝑦)) = 1 ∧ 𝑦 ∥ (𝑥 · 𝑦))) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
197162, 192, 161, 183, 195, 196syl32anc 1377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → ((2 · 𝑁) gcd 𝑦) = 1)
198193, 197eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
199198adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1)
200 simprrr 779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
201199, 200mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
202152, 170, 171, 173, 178, 148, 151, 179, 191, 201lgsquad2lem1 26532 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) ∧ (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 ∧ (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))) → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
203202exp32 421 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
204203com23 86 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2))) → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
205204expcom 414 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)) → (𝜑 → ((((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
206205a2d 29 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝜑 → (((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ∧ ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
207145, 206syl5bir 242 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝜑 → ((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))) ∧ (𝜑 → ((𝑦 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑦 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑦)) = (-1↑(((𝑦 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))) → (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) gcd (2 · 𝑁)) = 1 → (((𝑥 · 𝑦) /L 𝑁) · (𝑁 /L (𝑥 · 𝑦))) = (-1↑((((𝑥 · 𝑦) − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))))
20834, 46, 58, 70, 82, 115, 144, 207prmind 16391 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))))
2091, 208mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝑀 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
21018, 209mpd 15 1 (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  cexp 13782  cdvds 15963   gcd cgcd 16201  cprime 16376   /L clgs 26442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467  df-pc 16538  df-lgs 26443
This theorem is referenced by:  lgsquad2  26534
  Copyright terms: Public domain W3C validator