MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divgcdcoprmex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divgcdcoprmex 16628
Description: Integers divided by gcd are coprime (see ProofWiki "Integers Divided by GCD are Coprime", 11-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Integers_Divided_by_GCD_are_Coprime): Any pair of integers, not both zero, can be reduced to a pair of coprime ones by dividing them by their gcd. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divgcdcoprmex ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘   ๐ต,๐‘Ž,๐‘   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘

Proof of Theorem divgcdcoprmex
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
21anim2i 616 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
3 zeqzmulgcd 16476 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)))
42, 3syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)))
543adant3 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)))
6 zeqzmulgcd 16476 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
76adantlr 714 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
87ancoms 458 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
983adant3 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
10 reeanv 3221 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))))
11 zcn 12585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
13 gcdcl 16472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
142, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
1514nn0cnd 12556 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
16153adant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1812, 17mulcomd 11257 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘Ž))
19 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต))
2019eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = ๐‘€)
2120oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘Ž) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
2221adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘Ž) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
2318, 22eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
25 eqeq1 2731 . . . . . . . . . 10 (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โ†” (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โ†” (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
2726adantl 481 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โ†” (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
2824, 27mpbird 257 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ ๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž))
29 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
302ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค))
31 gcdcom 16479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐ต))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐ต))
33323adant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐ต))
3433oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)))
3534adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)))
36 zcn 12585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
38143adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
4039nn0cnd 12556 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4137, 40mulcomd 11257 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘))
4220adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = ๐‘€)
4342oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
4435, 41, 433eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
4544adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
4629, 45sylan9eqr 2789 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘))
47 zcn 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
48473ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5012adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
51 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5213ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
5351, 52gcdcld 16474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
5453nn0cnd 12556 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
56 gcdeq0 16483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
5856, 57biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 0 โ†’ ๐ต = 0))
5958necon3d 2956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0))
6059impr 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
61603adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
6349, 50, 55, 62divmul3d 12046 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โ†” ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต))))
6463bicomd 222 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž))
65 zcn 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
67663ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6936adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7068, 69, 55, 62divmul3d 12046 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘ โ†” ๐ต = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต))))
7123adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
72 gcdcom 16479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
7574oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))
7675eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) โ†” ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))))
7770, 76bitr2d 280 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)) โ†” (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘))
7864, 77anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†” ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘)))
79 3anass 1093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)))
8079biimpri 227 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
81803adant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
82 divgcdcoprm0 16627 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)
84 oveq12 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = (๐‘Ž gcd ๐‘))
8584eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1 โ†” (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
8683, 85syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
8786ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
8878, 87sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
8988imp 406 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)
9028, 46, 893jca 1126 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด)))) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
9190ex 412 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)))
9291reximdva 3163 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)))
9392reximdva 3163 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)))
9410, 93biimtrrid 242 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐ต = (๐‘ ยท (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1)))
955, 9, 94mp2and 698 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘€ = (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐ด = (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆง ๐ต = (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135   / cdiv 11893  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461
This theorem is referenced by:  cncongr1  16629
  Copyright terms: Public domain W3C validator