Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdf 15924
 Description: Domain and codomain of the gcd operator. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
gcdf gcd :(ℤ × ℤ)⟶ℕ0

Proof of Theorem gcdf
Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdval 15908 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑦) = if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )))
2 gcdcl 15918 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑦) ∈ ℕ0)
31, 2eqeltrrd 2853 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )) ∈ ℕ0)
43rgen2 3132 . 2 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )) ∈ ℕ0
5 df-gcd 15907 . . 3 gcd = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℤ ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )))
65fmpo 7776 . 2 (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )) ∈ ℕ0 ↔ gcd :(ℤ × ℤ)⟶ℕ0)
74, 6mpbi 233 1 gcd :(ℤ × ℤ)⟶ℕ0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074  ifcif 4423   class class class wbr 5036   × cxp 5526  ⟶wf 6336  (class class class)co 7156  supcsup 8950  ℝcr 10587  0cc0 10588   < clt 10726  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033   ∥ cdvds 15668   gcd cgcd 15906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator