MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6gcd4e2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6gcd4e2 15874
Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6gcd4e2 (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2
StepHypRef Expression
1 6nn 11714 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 11994 . . 3 6 ∈ ℤ
3 4z 12004 . . 3 4 ∈ ℤ
4 gcdcom 15850 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
52, 3, 4mp2an 688 . 2 (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6 4cn 11710 . . . 4 4 ∈ ℂ
7 2cn 11700 . . . 4 2 ∈ ℂ
8 4p2e6 11778 . . . 4 (4 + 2) = 6
96, 7, 8addcomli 10820 . . 3 (2 + 4) = 6
109oveq2i 7156 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11 2z 12002 . . . . 5 2 ∈ ℤ
12 gcdadd 15862 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
1311, 11, 12mp2an 688 . . . 4 (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14 2p2e4 11760 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
1514oveq2i 7156 . . . . 5 (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16 gcdcom 15850 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
1711, 3, 16mp2an 688 . . . . 5 (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
1815, 17eqtri 2841 . . . 4 (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
1913, 18eqtri 2841 . . 3 (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20 gcdid 15863 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
2111, 20ax-mp 5 . . . 4 (2 gcd 2) = (abs‘2)
22 2re 11699 . . . . 5 2 ∈ ℝ
23 0le2 11727 . . . . 5 0 ≤ 2
24 absid 14644 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
2522, 23, 24mp2an 688 . . . 4 (abs‘2) = 2
2621, 25eqtri 2841 . . 3 (2 gcd 2) = 2
27 gcdadd 15862 . . . 4 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
283, 11, 27mp2an 688 . . 3 (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
2919, 26, 283eqtr3ri 2850 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = 2
305, 10, 293eqtr2i 2847 1 (6 gcd 4) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528  cle 10664  2c2 11680  4c4 11682  6c6 11684  cz 11969  abscabs 14581   gcd cgcd 15831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832
This theorem is referenced by:  6lcm4e12  15948
  Copyright terms: Public domain W3C validator