Theorem 6gcd4e2 16484

Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gcd4e2	⊢ (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12302	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12587	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		4z 12597	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
4		gcdcom 16458	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
5	2, 3, 4	mp2an 689	. 2 ⊢ (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6		4cn 12298	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		2cn 12288	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		4p2e6 12366	. . . 4 ⊢ (4 + 2) = 6
9	6, 7, 8	addcomli 11407	. . 3 ⊢ (2 + 4) = 6
10	9	oveq2i 7415	. 2 ⊢ (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11		2z 12595	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		gcdadd 16471	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
13	11, 11, 12	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14		2p2e4 12348	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
15	14	oveq2i 7415	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16		gcdcom 16458	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
17	11, 3, 16	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
18	15, 17	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
19	13, 18	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20		gcdid 16472	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
21	11, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2 gcd 2) = (abs‘2)
22		2re 12287	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		0le2 12315	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
24		absid 15246	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
25	22, 23, 24	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (abs‘2) = 2
26	21, 25	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (2 gcd 2) = 2
27		gcdadd 16471	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
28	3, 11, 27	mp2an 689	. . 3 ⊢ (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
29	19, 26, 28	3eqtr3ri 2763	. 2 ⊢ (4 gcd (2 + 4)) = 2
30	5, 10, 29	3eqtr2i 2760	1 ⊢ (6 gcd 4) = 2

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   ≤ cle 11250  2c2 12268  4c4 12270  6c6 12272  ℤcz 12559  abscabs 15184   gcd cgcd 16439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440

This theorem is referenced by:  6lcm4e12  16557