MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6gcd4e2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6gcd4e2 15881
Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6gcd4e2 (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2
StepHypRef Expression
1 6nn 11720 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 12000 . . 3 6 ∈ ℤ
3 4z 12010 . . 3 4 ∈ ℤ
4 gcdcom 15857 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
52, 3, 4mp2an 688 . 2 (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6 4cn 11716 . . . 4 4 ∈ ℂ
7 2cn 11706 . . . 4 2 ∈ ℂ
8 4p2e6 11784 . . . 4 (4 + 2) = 6
96, 7, 8addcomli 10826 . . 3 (2 + 4) = 6
109oveq2i 7161 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11 2z 12008 . . . . 5 2 ∈ ℤ
12 gcdadd 15869 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
1311, 11, 12mp2an 688 . . . 4 (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14 2p2e4 11766 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
1514oveq2i 7161 . . . . 5 (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16 gcdcom 15857 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
1711, 3, 16mp2an 688 . . . . 5 (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
1815, 17eqtri 2849 . . . 4 (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
1913, 18eqtri 2849 . . 3 (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20 gcdid 15870 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
2111, 20ax-mp 5 . . . 4 (2 gcd 2) = (abs‘2)
22 2re 11705 . . . . 5 2 ∈ ℝ
23 0le2 11733 . . . . 5 0 ≤ 2
24 absid 14651 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
2522, 23, 24mp2an 688 . . . 4 (abs‘2) = 2
2621, 25eqtri 2849 . . 3 (2 gcd 2) = 2
27 gcdadd 15869 . . . 4 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
283, 11, 27mp2an 688 . . 3 (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
2919, 26, 283eqtr3ri 2858 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = 2
305, 10, 293eqtr2i 2855 1 (6 gcd 4) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534  cle 10670  2c2 11686  4c4 11688  6c6 11690  cz 11975  abscabs 14588   gcd cgcd 15838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15839
This theorem is referenced by:  6lcm4e12  15955
  Copyright terms: Public domain W3C validator