Theorem 6gcd4e2 16575

Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gcd4e2	⊢ (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12355	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12641	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		4z 12651	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
4		gcdcom 16550	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6		4cn 12351	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		2cn 12341	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		4p2e6 12419	. . . 4 ⊢ (4 + 2) = 6
9	6, 7, 8	addcomli 11453	. . 3 ⊢ (2 + 4) = 6
10	9	oveq2i 7442	. 2 ⊢ (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11		2z 12649	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		gcdadd 16563	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
13	11, 11, 12	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14		2p2e4 12401	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
15	14	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16		gcdcom 16550	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
17	11, 3, 16	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
18	15, 17	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
19	13, 18	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20		gcdid 16564	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
21	11, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2 gcd 2) = (abs‘2)
22		2re 12340	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		0le2 12368	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
24		absid 15335	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
25	22, 23, 24	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (abs‘2) = 2
26	21, 25	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (2 gcd 2) = 2
27		gcdadd 16563	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
28	3, 11, 27	mp2an 692	. . 3 ⊢ (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
29	19, 26, 28	3eqtr3ri 2774	. 2 ⊢ (4 gcd (2 + 4)) = 2
30	5, 10, 29	3eqtr2i 2771	1 ⊢ (6 gcd 4) = 2

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   ≤ cle 11296  2c2 12321  4c4 12323  6c6 12325  ℤcz 12613  abscabs 15273   gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  6lcm4e12  16653