![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > coprmdvds | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. Generalization of euclemma 16590. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
coprmdvds | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ ๐พ โฅ ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12505 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | zcn 12505 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
3 | mulcom 11138 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 597 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
5 | 4 | breq2d 5118 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
6 | dvdsmulgcd 16437 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) | |
7 | 6 | ancoms 460 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) |
8 | 5, 7 | bitrd 279 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) |
9 | 8 | 3adant1 1131 | . . . . . 6 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) |
10 | 9 | adantr 482 | . . . . 5 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) |
11 | gcdcom 16394 | . . . . . . . . . . 11 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ gcd ๐) = (๐ gcd ๐พ)) | |
12 | 11 | 3adant3 1133 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ gcd ๐) = (๐ gcd ๐พ)) |
13 | 12 | eqeq1d 2739 | . . . . . . . . 9 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ gcd ๐) = 1 โ (๐ gcd ๐พ) = 1)) |
14 | oveq2 7366 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ gcd ๐พ) = 1 โ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) = (๐ ยท 1)) | |
15 | 13, 14 | syl6bi 253 | . . . . . . . 8 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ gcd ๐) = 1 โ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) = (๐ ยท 1))) |
16 | 15 | imp 408 | . . . . . . 7 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) = (๐ ยท 1)) |
17 | 2 | mulid1d 11173 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ (๐ ยท 1) = ๐) |
18 | 17 | 3ad2ant3 1136 | . . . . . . . 8 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท 1) = ๐) |
19 | 18 | adantr 482 | . . . . . . 7 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐ ยท 1) = ๐) |
20 | 16, 19 | eqtrd 2777 | . . . . . 6 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) = ๐) |
21 | 20 | breq2d 5118 | . . . . 5 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) โ ๐พ โฅ ๐)) |
22 | 10, 21 | bitrd 279 | . . . 4 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ ๐)) |
23 | 22 | biimpd 228 | . . 3 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ ๐)) |
24 | 23 | ex 414 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ gcd ๐) = 1 โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ ๐))) |
25 | 24 | impcomd 413 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ ๐พ โฅ ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcc 11050 1c1 11053 ยท cmul 11057 โคcz 12500 โฅ cdvds 16137 gcd cgcd 16375 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 ax-pre-sup 11130 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-sup 9379 df-inf 9380 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-rp 12917 df-fl 13698 df-mod 13776 df-seq 13908 df-exp 13969 df-cj 14985 df-re 14986 df-im 14987 df-sqrt 15121 df-abs 15122 df-dvds 16138 df-gcd 16376 |
This theorem is referenced by: coprmdvds2 16531 qredeq 16534 cncongr1 16544 euclemma 16590 eulerthlem2 16655 prmdiveq 16659 prmpwdvds 16777 ablfacrp2 19847 dvdsmulf1o 26546 perfectlem1 26580 lgseisenlem1 26726 lgseisenlem2 26727 lgsquadlem2 26732 lgsquadlem3 26733 2sqlem8 26777 2sqmod 26787 nn0prpwlem 34797 coprmdvdsb 41312 jm2.20nn 41324 perfectALTVlem1 45920 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |