![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > coprmdvds | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. Generalization of euclemma 16650. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
coprmdvds | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ ๐พ โฅ ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12563 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | zcn 12563 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
3 | mulcom 11196 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 597 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
5 | 4 | breq2d 5161 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) |
6 | dvdsmulgcd 16497 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) | |
7 | 6 | ancoms 460 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) |
8 | 5, 7 | bitrd 279 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) |
9 | 8 | 3adant1 1131 | . . . . . 6 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) |
10 | 9 | adantr 482 | . . . . 5 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)))) |
11 | gcdcom 16454 | . . . . . . . . . . 11 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ gcd ๐) = (๐ gcd ๐พ)) | |
12 | 11 | 3adant3 1133 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ gcd ๐) = (๐ gcd ๐พ)) |
13 | 12 | eqeq1d 2735 | . . . . . . . . 9 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ gcd ๐) = 1 โ (๐ gcd ๐พ) = 1)) |
14 | oveq2 7417 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ gcd ๐พ) = 1 โ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) = (๐ ยท 1)) | |
15 | 13, 14 | syl6bi 253 | . . . . . . . 8 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ gcd ๐) = 1 โ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) = (๐ ยท 1))) |
16 | 15 | imp 408 | . . . . . . 7 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) = (๐ ยท 1)) |
17 | 2 | mulridd 11231 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ (๐ ยท 1) = ๐) |
18 | 17 | 3ad2ant3 1136 | . . . . . . . 8 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท 1) = ๐) |
19 | 18 | adantr 482 | . . . . . . 7 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐ ยท 1) = ๐) |
20 | 16, 19 | eqtrd 2773 | . . . . . 6 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) = ๐) |
21 | 20 | breq2d 5161 | . . . . 5 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ โฅ (๐ ยท (๐ gcd ๐พ)) โ ๐พ โฅ ๐)) |
22 | 10, 21 | bitrd 279 | . . . 4 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ ๐)) |
23 | 22 | biimpd 228 | . . 3 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ ๐)) |
24 | 23 | ex 414 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ gcd ๐) = 1 โ (๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โ ๐พ โฅ ๐))) |
25 | 24 | impcomd 413 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ ๐พ โฅ ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5149 (class class class)co 7409 โcc 11108 1c1 11111 ยท cmul 11115 โคcz 12558 โฅ cdvds 16197 gcd cgcd 16435 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-sup 9437 df-inf 9438 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-rp 12975 df-fl 13757 df-mod 13835 df-seq 13967 df-exp 14028 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-dvds 16198 df-gcd 16436 |
This theorem is referenced by: coprmdvds2 16591 qredeq 16594 cncongr1 16604 euclemma 16650 eulerthlem2 16715 prmdiveq 16719 prmpwdvds 16837 ablfacrp2 19937 dvdsmulf1o 26698 perfectlem1 26732 lgseisenlem1 26878 lgseisenlem2 26879 lgsquadlem2 26884 lgsquadlem3 26885 2sqlem8 26929 2sqmod 26939 nn0prpwlem 35207 coprmdvdsb 41724 jm2.20nn 41736 perfectALTVlem1 46389 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |