Theorem coprmdvds 16715

Description: Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. Generalization of euclemma 16776. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem coprmdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		mulcom 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
5	4	breq2d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)))
6		dvdsmulgcd 16618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
7	6	ancoms 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
8	5, 7	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
9	8	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
10	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾))))
11		gcdcom 16575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝐾))
12	11	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝐾))
13	12	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 ↔ (𝑀 gcd 𝐾) = 1))
14		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 gcd 𝐾) = 1 → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1))
15	13, 14	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1)))
16	15	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = (𝑁 · 1))
17	2	mulridd 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
18	17	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
20	16, 19	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) = 𝑁)
21	20	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑁 · (𝑀 gcd 𝐾)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
22	10, 21	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
23	22	biimpd 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
24	23	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁)))
25	24	impcomd 416	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  1c1 11105   · cmul 11109  ℤcz 12595   ∥ cdvds 16314   gcd cgcd 16556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-dvds 16315  df-gcd 16557

This theorem is used by:  coprmdvds2  16716  qredeq  16719  cncongr1  16729  euclemma  16776  eulerthlem2  16845  prmdiveq  16849  prmpwdvds  16968  ablfacrp2  20143  mpodvdsmulf1o  27367  dvdsmulf1o  27369  perfectlem1  27402  lgseisenlem1  27548  lgseisenlem2  27549  lgsquadlem2  27554  lgsquadlem3  27555  2sqlem8  27599  2sqmod  27609  nn0prpwlem  36861  hashscontpow1  42916  coprmdvdsb  43740  jm2.20nn  43752  perfectALTVlem1  48514