MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvds 16594
Description: Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. Generalization of euclemma 16654. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem coprmdvds
StepHypRef Expression
1 zcn 12567 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2 zcn 12567 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 11198 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
41, 2, 3syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
54breq2d 5159 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€)))
6 dvdsmulgcd 16501 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
76ancoms 457 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
85, 7bitrd 278 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
983adant1 1128 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
109adantr 479 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
11 gcdcom 16458 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐พ))
12113adant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐พ))
1312eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†” (๐‘€ gcd ๐พ) = 1))
14 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ gcd ๐พ) = 1 โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1))
1513, 14syl6bi 252 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1)))
1615imp 405 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1))
172mulridd 11235 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
18173ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
1918adantr 479 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
2016, 19eqtrd 2770 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = ๐‘)
2120breq2d 5159 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) โ†” ๐พ โˆฅ ๐‘))
2210, 21bitrd 278 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ ๐‘))
2322biimpd 228 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
2423ex 411 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)))
2524impcomd 410 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440
This theorem is referenced by:  coprmdvds2  16595  qredeq  16598  cncongr1  16608  euclemma  16654  eulerthlem2  16719  prmdiveq  16723  prmpwdvds  16841  ablfacrp2  19978  dvdsmulf1o  26934  perfectlem1  26968  lgseisenlem1  27114  lgseisenlem2  27115  lgsquadlem2  27120  lgsquadlem3  27121  2sqlem8  27165  2sqmod  27175  nn0prpwlem  35510  coprmdvdsb  42026  jm2.20nn  42038  perfectALTVlem1  46687
  Copyright terms: Public domain W3C validator