MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvds 16590
Description: Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. Generalization of euclemma 16650. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem coprmdvds
StepHypRef Expression
1 zcn 12563 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2 zcn 12563 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 11196 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
41, 2, 3syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
54breq2d 5161 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€)))
6 dvdsmulgcd 16497 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
76ancoms 460 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
85, 7bitrd 279 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
983adant1 1131 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
109adantr 482 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
11 gcdcom 16454 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐พ))
12113adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐พ))
1312eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†” (๐‘€ gcd ๐พ) = 1))
14 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ gcd ๐พ) = 1 โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1))
1513, 14syl6bi 253 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1)))
1615imp 408 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1))
172mulridd 11231 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
18173ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
1918adantr 482 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
2016, 19eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = ๐‘)
2120breq2d 5161 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) โ†” ๐พ โˆฅ ๐‘))
2210, 21bitrd 279 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ ๐‘))
2322biimpd 228 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
2423ex 414 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)))
2524impcomd 413 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  1c1 11111   ยท cmul 11115  โ„คcz 12558   โˆฅ cdvds 16197   gcd cgcd 16435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436
This theorem is referenced by:  coprmdvds2  16591  qredeq  16594  cncongr1  16604  euclemma  16650  eulerthlem2  16715  prmdiveq  16719  prmpwdvds  16837  ablfacrp2  19937  dvdsmulf1o  26698  perfectlem1  26732  lgseisenlem1  26878  lgseisenlem2  26879  lgsquadlem2  26884  lgsquadlem3  26885  2sqlem8  26929  2sqmod  26939  nn0prpwlem  35207  coprmdvdsb  41724  jm2.20nn  41736  perfectALTVlem1  46389
  Copyright terms: Public domain W3C validator