MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvds 16530
Description: Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. Generalization of euclemma 16590. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem coprmdvds
StepHypRef Expression
1 zcn 12505 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2 zcn 12505 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 11138 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
41, 2, 3syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
54breq2d 5118 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€)))
6 dvdsmulgcd 16437 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
76ancoms 460 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘€) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
85, 7bitrd 279 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
983adant1 1131 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
109adantr 482 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ))))
11 gcdcom 16394 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐พ))
12113adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐พ))
1312eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†” (๐‘€ gcd ๐พ) = 1))
14 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ gcd ๐พ) = 1 โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1))
1513, 14syl6bi 253 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1)))
1615imp 408 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = (๐‘ ยท 1))
172mulid1d 11173 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
18173ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
1918adantr 482 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
2016, 19eqtrd 2777 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) = ๐‘)
2120breq2d 5118 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ gcd ๐พ)) โ†” ๐พ โˆฅ ๐‘))
2210, 21bitrd 279 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ ๐‘))
2322biimpd 228 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
2423ex 414 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)))
2524impcomd 413 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  1c1 11053   ยท cmul 11057  โ„คcz 12500   โˆฅ cdvds 16137   gcd cgcd 16375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376
This theorem is referenced by:  coprmdvds2  16531  qredeq  16534  cncongr1  16544  euclemma  16590  eulerthlem2  16655  prmdiveq  16659  prmpwdvds  16777  ablfacrp2  19847  dvdsmulf1o  26546  perfectlem1  26580  lgseisenlem1  26726  lgseisenlem2  26727  lgsquadlem2  26732  lgsquadlem3  26733  2sqlem8  26777  2sqmod  26787  nn0prpwlem  34797  coprmdvdsb  41312  jm2.20nn  41324  perfectALTVlem1  45920
  Copyright terms: Public domain W3C validator