Theorem gcdcomd 16558

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16557	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7396  ℤcz 12578   gcd cgcd 16538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-mulcl 11146  ax-i2m1 11152  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9386  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-ltxr 11232  df-gcd 16539

This theorem is referenced by:  modgcd  16576  rplpwr  16602  rprpwr  16603  coprmprod  16705  rpexp12i  16769  phiprmpw  16821  eulerthlem1  16826  eulerthlem2  16827  prmdiv  16830  coprimeprodsq  16854  pythagtriplem3  16864  prmpwdvds  16950  prmgaplem7  17103  gexexlem  19902  ablfacrp2  20119  pgpfac1lem2  20127  mpodvdsmulf1o  27265  dvdsmulf1o  27267  perfect1  27299  perfectlem1  27300  lgslem1  27368  lgsqrlem2  27418  lgsqr  27422  gausslemma2dlem0c  27429  lgsquad2lem2  27456  lgsquad2  27457  lgsquad3  27458  2sqlem8  27497  2sqmod  27507  nn0prpwlem  36687  aks4d1p8d2  42707  aks4d1p8d3  42708  hashscontpow1  42743  aks6d1c4  42746  aks5  42826  fltbccoprm  43228  flt4lem3  43235  flt4lem5c  43241  flt4lem5d  43242  flt4lem5e  43243  flt4lem5f  43244  flt4lem7  43246  nna4b4nsq  43247  jm2.19lem2  43572  jm2.20nn  43579  perfectALTVlem1  48334