Theorem gcdcomd 16445

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16444	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℤcz 12492   gcd cgcd 16425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-mulcl 11092  ax-i2m1 11098  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-gcd 16426

This theorem is referenced by:  modgcd  16463  rplpwr  16489  rprpwr  16490  coprmprod  16592  rpexp12i  16655  phiprmpw  16707  eulerthlem1  16712  eulerthlem2  16713  prmdiv  16716  coprimeprodsq  16740  pythagtriplem3  16750  prmpwdvds  16836  prmgaplem7  16989  gexexlem  19785  ablfacrp2  20002  pgpfac1lem2  20010  mpodvdsmulf1o  27164  dvdsmulf1o  27166  perfect1  27199  perfectlem1  27200  lgslem1  27268  lgsqrlem2  27318  lgsqr  27322  gausslemma2dlem0c  27329  lgsquad2lem2  27356  lgsquad2  27357  lgsquad3  27358  2sqlem8  27397  2sqmod  27407  nn0prpwlem  36497  aks4d1p8d2  42376  aks4d1p8d3  42377  hashscontpow1  42412  aks6d1c4  42415  aks5  42495  fltbccoprm  42920  flt4lem3  42927  flt4lem5c  42933  flt4lem5d  42934  flt4lem5e  42935  flt4lem5f  42936  flt4lem7  42938  nna4b4nsq  42939  jm2.19lem2  43268  jm2.20nn  43275  perfectALTVlem1  48003