Theorem gcdcomd 16571

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16570	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  ℤcz 12590   gcd cgcd 16551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-mulcl 11161  ax-i2m1 11167  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-gcd 16552

This theorem is referenced by:  modgcd  16589  rplpwr  16615  rprpwr  16616  coprmprod  16718  rpexp12i  16782  phiprmpw  16834  eulerthlem1  16839  eulerthlem2  16840  prmdiv  16843  coprimeprodsq  16867  pythagtriplem3  16877  prmpwdvds  16963  prmgaplem7  17116  gexexlem  19921  ablfacrp2  20138  pgpfac1lem2  20146  mpodvdsmulf1o  27334  dvdsmulf1o  27336  perfect1  27368  perfectlem1  27369  lgslem1  27437  lgsqrlem2  27487  lgsqr  27491  gausslemma2dlem0c  27498  lgsquad2lem2  27525  lgsquad2  27526  lgsquad3  27527  2sqlem8  27566  2sqmod  27576  nn0prpwlem  36777  aks4d1p8d2  42798  aks4d1p8d3  42799  hashscontpow1  42834  aks6d1c4  42837  aks5  42917  fltbccoprm  43321  flt4lem3  43328  flt4lem5c  43334  flt4lem5d  43335  flt4lem5e  43336  flt4lem5f  43337  flt4lem7  43339  nna4b4nsq  43340  jm2.19lem2  43665  jm2.20nn  43672  perfectALTVlem1  48431