Theorem gcdcomd 16533

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16532	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℤcz 12588   gcd cgcd 16513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-mulcl 11191  ax-i2m1 11197  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-gcd 16514

This theorem is referenced by:  modgcd  16551  rplpwr  16577  rprpwr  16578  coprmprod  16680  rpexp12i  16743  phiprmpw  16795  eulerthlem1  16800  eulerthlem2  16801  prmdiv  16804  coprimeprodsq  16828  pythagtriplem3  16838  prmpwdvds  16924  prmgaplem7  17077  gexexlem  19833  ablfacrp2  20050  pgpfac1lem2  20058  mpodvdsmulf1o  27156  dvdsmulf1o  27158  perfect1  27191  perfectlem1  27192  lgslem1  27260  lgsqrlem2  27310  lgsqr  27314  gausslemma2dlem0c  27321  lgsquad2lem2  27348  lgsquad2  27349  lgsquad3  27350  2sqlem8  27389  2sqmod  27399  nn0prpwlem  36340  aks4d1p8d2  42098  aks4d1p8d3  42099  hashscontpow1  42134  aks6d1c4  42137  aks5  42217  fltbccoprm  42664  flt4lem3  42671  flt4lem5c  42677  flt4lem5d  42678  flt4lem5e  42679  flt4lem5f  42680  flt4lem7  42682  nna4b4nsq  42683  jm2.19lem2  43014  jm2.20nn  43021  perfectALTVlem1  47735