Theorem gcdcomd 16417

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16416	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341  ℤcz 12460   gcd cgcd 16397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-mulcl 11060  ax-i2m1 11066  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-gcd 16398

This theorem is referenced by:  modgcd  16435  rplpwr  16461  rprpwr  16462  coprmprod  16564  rpexp12i  16627  phiprmpw  16679  eulerthlem1  16684  eulerthlem2  16685  prmdiv  16688  coprimeprodsq  16712  pythagtriplem3  16722  prmpwdvds  16808  prmgaplem7  16961  gexexlem  19757  ablfacrp2  19974  pgpfac1lem2  19982  mpodvdsmulf1o  27124  dvdsmulf1o  27126  perfect1  27159  perfectlem1  27160  lgslem1  27228  lgsqrlem2  27278  lgsqr  27282  gausslemma2dlem0c  27289  lgsquad2lem2  27316  lgsquad2  27317  lgsquad3  27318  2sqlem8  27357  2sqmod  27367  nn0prpwlem  36335  aks4d1p8d2  42097  aks4d1p8d3  42098  hashscontpow1  42133  aks6d1c4  42136  aks5  42216  fltbccoprm  42653  flt4lem3  42660  flt4lem5c  42666  flt4lem5d  42667  flt4lem5e  42668  flt4lem5f  42669  flt4lem7  42671  nna4b4nsq  42672  jm2.19lem2  43002  jm2.20nn  43009  perfectALTVlem1  47731