MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcomd 16395
Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
gcdcomd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
gcdcomd (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd
StepHypRef Expression
1 gcdcomd.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 gcdcomd.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 gcdcom 16394 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cz 12500   gcd cgcd 16375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-mulcl 11114  ax-i2m1 11120  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-gcd 16376
This theorem is referenced by:  modgcd  16414  rplpwr  16439  rprpwr  16440  coprmprod  16538  rpexp12i  16601  phiprmpw  16649  eulerthlem1  16654  eulerthlem2  16655  prmdiv  16658  coprimeprodsq  16681  pythagtriplem3  16691  prmpwdvds  16777  prmgaplem7  16930  gexexlem  19631  ablfacrp2  19847  pgpfac1lem2  19855  dvdsmulf1o  26546  perfect1  26579  perfectlem1  26580  lgslem1  26648  lgsqrlem2  26698  lgsqr  26702  gausslemma2dlem0c  26709  lgsquad2lem2  26736  lgsquad2  26737  lgsquad3  26738  2sqlem8  26777  2sqmod  26787  nn0prpwlem  34797  aks4d1p8d2  40545  aks4d1p8d3  40546  fltbccoprm  40982  flt4lem3  40989  flt4lem5c  40995  flt4lem5d  40996  flt4lem5e  40997  flt4lem5f  40998  flt4lem7  41000  nna4b4nsq  41001  jm2.19lem2  41317  jm2.20nn  41324  perfectALTVlem1  45920
  Copyright terms: Public domain W3C validator