Theorem gcdcomd 16651

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16650	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℤcz 12662   gcd cgcd 16631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-mulcl 11233  ax-i2m1 11239  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319  df-gcd 16632

This theorem is used by:  modgcd  16669  rplpwr  16695  rprpwr  16696  coprmprod  16798  rpexp12i  16862  phiprmpw  16914  eulerthlem1  16919  eulerthlem2  16920  prmdiv  16923  coprimeprodsq  16947  pythagtriplem3  16957  prmpwdvds  17043  prmgaplem7  17196  gexexlem  20027  ablfacrp2  20244  pgpfac1lem2  20252  mpodvdsmulf1o  27484  dvdsmulf1o  27486  perfect1  27518  perfectlem1  27519  lgslem1  27587  lgsqrlem2  27637  lgsqr  27641  gausslemma2dlem0c  27648  lgsquad2lem2  27675  lgsquad2  27676  lgsquad3  27677  2sqlem8  27716  2sqmod  27726  nn0prpwlem  37032  aks4d1p8d2  43055  aks4d1p8d3  43056  hashscontpow1  43091  aks6d1c4  43094  aks5  43174  fltbccoprm  43591  flt4lem3  43598  flt4lem5c  43604  flt4lem5d  43605  flt4lem5e  43606  flt4lem5f  43607  flt4lem7  43609  nna4b4nsq  43610  jm2.19lem2  43935  jm2.20nn  43942  perfectALTVlem1  48741