Theorem gcdcomd 16459

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℤcz 12562   gcd cgcd 16439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-mulcl 11174  ax-i2m1 11180  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-gcd 16440

This theorem is referenced by:  modgcd  16478  rplpwr  16503  rprpwr  16504  coprmprod  16602  rpexp12i  16665  phiprmpw  16713  eulerthlem1  16718  eulerthlem2  16719  prmdiv  16722  coprimeprodsq  16745  pythagtriplem3  16755  prmpwdvds  16841  prmgaplem7  16994  gexexlem  19761  ablfacrp2  19978  pgpfac1lem2  19986  dvdsmulf1o  26934  perfect1  26967  perfectlem1  26968  lgslem1  27036  lgsqrlem2  27086  lgsqr  27090  gausslemma2dlem0c  27097  lgsquad2lem2  27124  lgsquad2  27125  lgsquad3  27126  2sqlem8  27165  2sqmod  27175  nn0prpwlem  35510  aks4d1p8d2  41256  aks4d1p8d3  41257  fltbccoprm  41685  flt4lem3  41692  flt4lem5c  41698  flt4lem5d  41699  flt4lem5e  41700  flt4lem5f  41701  flt4lem7  41703  nna4b4nsq  41704  jm2.19lem2  42031  jm2.20nn  42038  perfectALTVlem1  46687