Theorem gcdcomd 16443

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16442	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℤcz 12489   gcd cgcd 16423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-mulcl 11090  ax-i2m1 11096  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-gcd 16424

This theorem is referenced by:  modgcd  16461  rplpwr  16487  rprpwr  16488  coprmprod  16590  rpexp12i  16653  phiprmpw  16705  eulerthlem1  16710  eulerthlem2  16711  prmdiv  16714  coprimeprodsq  16738  pythagtriplem3  16748  prmpwdvds  16834  prmgaplem7  16987  gexexlem  19749  ablfacrp2  19966  pgpfac1lem2  19974  mpodvdsmulf1o  27120  dvdsmulf1o  27122  perfect1  27155  perfectlem1  27156  lgslem1  27224  lgsqrlem2  27274  lgsqr  27278  gausslemma2dlem0c  27285  lgsquad2lem2  27312  lgsquad2  27313  lgsquad3  27314  2sqlem8  27353  2sqmod  27363  nn0prpwlem  36295  aks4d1p8d2  42058  aks4d1p8d3  42059  hashscontpow1  42094  aks6d1c4  42097  aks5  42177  fltbccoprm  42614  flt4lem3  42621  flt4lem5c  42627  flt4lem5d  42628  flt4lem5e  42629  flt4lem5f  42630  flt4lem7  42632  nna4b4nsq  42633  jm2.19lem2  42963  jm2.20nn  42970  perfectALTVlem1  47706