Theorem gcdcomd 16520

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16519	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℤcz 12554   gcd cgcd 16500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-mulcl 11121  ax-i2m1 11127  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-ltxr 11207  df-gcd 16501

This theorem is referenced by:  modgcd  16538  rplpwr  16564  rprpwr  16565  coprmprod  16667  rpexp12i  16731  phiprmpw  16783  eulerthlem1  16788  eulerthlem2  16789  prmdiv  16792  coprimeprodsq  16816  pythagtriplem3  16826  prmpwdvds  16912  prmgaplem7  17065  gexexlem  19864  ablfacrp2  20081  pgpfac1lem2  20089  mpodvdsmulf1o  27224  dvdsmulf1o  27226  perfect1  27258  perfectlem1  27259  lgslem1  27327  lgsqrlem2  27377  lgsqr  27381  gausslemma2dlem0c  27388  lgsquad2lem2  27415  lgsquad2  27416  lgsquad3  27417  2sqlem8  27456  2sqmod  27466  nn0prpwlem  36620  aks4d1p8d2  42640  aks4d1p8d3  42641  hashscontpow1  42676  aks6d1c4  42679  aks5  42759  fltbccoprm  43161  flt4lem3  43168  flt4lem5c  43174  flt4lem5d  43175  flt4lem5e  43176  flt4lem5f  43177  flt4lem7  43179  nna4b4nsq  43180  jm2.19lem2  43505  jm2.20nn  43512  perfectALTVlem1  48281