Theorem gcdcomd 16431

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16430	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7352  ℤcz 12474   gcd cgcd 16411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-mulcl 11074  ax-i2m1 11080  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-ltxr 11157  df-gcd 16412

This theorem is referenced by:  modgcd  16449  rplpwr  16475  rprpwr  16476  coprmprod  16578  rpexp12i  16641  phiprmpw  16693  eulerthlem1  16698  eulerthlem2  16699  prmdiv  16702  coprimeprodsq  16726  pythagtriplem3  16736  prmpwdvds  16822  prmgaplem7  16975  gexexlem  19770  ablfacrp2  19987  pgpfac1lem2  19995  mpodvdsmulf1o  27137  dvdsmulf1o  27139  perfect1  27172  perfectlem1  27173  lgslem1  27241  lgsqrlem2  27291  lgsqr  27295  gausslemma2dlem0c  27302  lgsquad2lem2  27329  lgsquad2  27330  lgsquad3  27331  2sqlem8  27370  2sqmod  27380  nn0prpwlem  36373  aks4d1p8d2  42184  aks4d1p8d3  42185  hashscontpow1  42220  aks6d1c4  42223  aks5  42303  fltbccoprm  42740  flt4lem3  42747  flt4lem5c  42753  flt4lem5d  42754  flt4lem5e  42755  flt4lem5f  42756  flt4lem7  42758  nna4b4nsq  42759  jm2.19lem2  43088  jm2.20nn  43095  perfectALTVlem1  47826