Theorem gcdcomd 16715

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16714	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℤcz 12720   gcd cgcd 16693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-mulcl 11289  ax-i2m1 11295  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-gcd 16694

This theorem is used by:  modgcd  16734  rplpwr  16761  rprpwr  16762  coprmprod  16865  rpexp12i  16929  phiprmpw  16982  eulerthlem1  16987  eulerthlem2  16988  prmdiv  16991  coprimeprodsq  17015  pythagtriplem3  17025  prmpwdvds  17111  prmgaplem7  17264  gexexlem  20096  ablfacrp2  20313  pgpfac1lem2  20321  mpodvdsmulf1o  27551  dvdsmulf1o  27553  perfect1  27585  perfectlem1  27586  lgslem1  27654  lgsqrlem2  27704  lgsqr  27708  gausslemma2dlem0c  27715  lgsquad2lem2  27742  lgsquad2  27743  lgsquad3  27744  2sqlem8  27783  2sqmod  27793  fltbccoprm  28003  flt4lem3  28008  flt4lem5c  28014  flt4lem5d  28015  flt4lem5e  28016  flt4lem5f  28017  flt4lem7  28019  nna4b4nsq  28020  nn0prpwlem  37288  aks4d1p8d2  43327  aks4d1p8d3  43328  hashscontpow1  43363  aks6d1c4  43366  aks5  43446  jm2.19lem2  44190  jm2.20nn  44197  perfectALTVlem1  49024