Theorem gcdcomd 16608

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16607	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℤcz 12618   gcd cgcd 16588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-mulcl 11189  ax-i2m1 11195  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-gcd 16589

This theorem is used by:  modgcd  16626  rplpwr  16652  rprpwr  16653  coprmprod  16755  rpexp12i  16819  phiprmpw  16871  eulerthlem1  16876  eulerthlem2  16877  prmdiv  16880  coprimeprodsq  16904  pythagtriplem3  16914  prmpwdvds  17000  prmgaplem7  17153  gexexlem  19980  ablfacrp2  20197  pgpfac1lem2  20205  mpodvdsmulf1o  27428  dvdsmulf1o  27430  perfect1  27462  perfectlem1  27463  lgslem1  27531  lgsqrlem2  27581  lgsqr  27585  gausslemma2dlem0c  27592  lgsquad2lem2  27619  lgsquad2  27620  lgsquad3  27621  2sqlem8  27660  2sqmod  27670  nn0prpwlem  36928  aks4d1p8d2  42938  aks4d1p8d3  42939  hashscontpow1  42974  aks6d1c4  42977  aks5  43057  fltbccoprm  43474  flt4lem3  43481  flt4lem5c  43487  flt4lem5d  43488  flt4lem5e  43489  flt4lem5f  43490  flt4lem7  43492  nna4b4nsq  43493  jm2.19lem2  43818  jm2.20nn  43825  perfectALTVlem1  48624