Theorem gcdcomd 16472

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16471	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356  ℤcz 12513   gcd cgcd 16452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-mulcl 11089  ax-i2m1 11095  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-gcd 16453

This theorem is referenced by:  modgcd  16490  rplpwr  16516  rprpwr  16517  coprmprod  16619  rpexp12i  16683  phiprmpw  16735  eulerthlem1  16740  eulerthlem2  16741  prmdiv  16744  coprimeprodsq  16768  pythagtriplem3  16778  prmpwdvds  16864  prmgaplem7  17017  gexexlem  19816  ablfacrp2  20033  pgpfac1lem2  20041  mpodvdsmulf1o  27145  dvdsmulf1o  27147  perfect1  27179  perfectlem1  27180  lgslem1  27248  lgsqrlem2  27298  lgsqr  27302  gausslemma2dlem0c  27309  lgsquad2lem2  27336  lgsquad2  27337  lgsquad3  27338  2sqlem8  27377  2sqmod  27387  nn0prpwlem  36492  aks4d1p8d2  42512  aks4d1p8d3  42513  hashscontpow1  42548  aks6d1c4  42551  aks5  42631  fltbccoprm  43062  flt4lem3  43069  flt4lem5c  43075  flt4lem5d  43076  flt4lem5e  43077  flt4lem5f  43078  flt4lem7  43080  nna4b4nsq  43081  jm2.19lem2  43406  jm2.20nn  43413  perfectALTVlem1  48185