Theorem gcdcomd 16686

Description: The gcd operator is commutative, deduction version. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcomd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdcomd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gcdcomd	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcomd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdcomd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		gcdcom 16685	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℤcz 12693   gcd cgcd 16664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-mulcl 11262  ax-i2m1 11268  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-gcd 16665

This theorem is used by:  modgcd  16705  rplpwr  16732  rprpwr  16733  coprmprod  16836  rpexp12i  16900  phiprmpw  16953  eulerthlem1  16958  eulerthlem2  16959  prmdiv  16962  coprimeprodsq  16986  pythagtriplem3  16996  prmpwdvds  17082  prmgaplem7  17235  gexexlem  20066  ablfacrp2  20283  pgpfac1lem2  20291  mpodvdsmulf1o  27521  dvdsmulf1o  27523  perfect1  27555  perfectlem1  27556  lgslem1  27624  lgsqrlem2  27674  lgsqr  27678  gausslemma2dlem0c  27685  lgsquad2lem2  27712  lgsquad2  27713  lgsquad3  27714  2sqlem8  27753  2sqmod  27763  fltbccoprm  27973  flt4lem3  27978  flt4lem5c  27984  flt4lem5d  27985  flt4lem5e  27986  flt4lem5f  27987  flt4lem7  27989  nna4b4nsq  27990  nn0prpwlem  37152  aks4d1p8d2  43178  aks4d1p8d3  43179  hashscontpow1  43214  aks6d1c4  43217  aks5  43297  jm2.19lem2  44040  jm2.20nn  44047  perfectALTVlem1  48862