Theorem gcdmodi 17108

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. Theorem 5.6 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2	⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
gcdmodi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
gcdmodi.4	⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
gcdmodi.5	⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺

Assertion

Ref	Expression
gcdmodi	⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdmodi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmodi.4	. . . 4 ⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
2	1	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁)
3		gcdi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12640	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
5		gcdmodi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
6		modgcd 16566	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁)
8		gcdi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12640	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℤ
10		modgcd 16566	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁))
11	9, 5, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
12	2, 7, 11	3eqtr3i 2771	. 2 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
13	5	nnzi 12639	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
14		gcdcom 16547	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
15	9, 13, 14	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅)
16		gcdmodi.5	. 2 ⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
17	12, 15, 16	3eqtri 2767	1 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611   mod cmo 13906   gcd cgcd 16528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529

This theorem is referenced by:  1259lem5  17169  2503lem3  17173  4001lem4  17178