Theorem gcdmodi 17045

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. Theorem 5.6 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2	⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
gcdmodi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
gcdmodi.4	⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
gcdmodi.5	⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺

Assertion

Ref	Expression
gcdmodi	⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdmodi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmodi.4	. . . 4 ⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
2	1	oveq1i 7377	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁)
3		gcdi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12552	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
5		gcdmodi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
6		modgcd 16501	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁))
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁)
8		gcdi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12552	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℤ
10		modgcd 16501	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁))
11	9, 5, 10	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
12	2, 7, 11	3eqtr3i 2767	. 2 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
13	5	nnzi 12551	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
14		gcdcom 16482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
15	9, 13, 14	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅)
16		gcdmodi.5	. 2 ⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
17	12, 15, 16	3eqtri 2763	1 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524   mod cmo 13828   gcd cgcd 16463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464

This theorem is referenced by:  1259lem5  17105  2503lem3  17109  4001lem4  17114