Theorem gcdmodi 17112

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. Theorem 5.6 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2	⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
gcdmodi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
gcdmodi.4	⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
gcdmodi.5	⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺

Assertion

Ref	Expression
gcdmodi	⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdmodi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmodi.4	. . . 4 ⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
2	1	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁)
3		gcdi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12642	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
5		gcdmodi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
6		modgcd 16569	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁)
8		gcdi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12642	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℤ
10		modgcd 16569	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁))
11	9, 5, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
12	2, 7, 11	3eqtr3i 2773	. 2 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
13	5	nnzi 12641	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
14		gcdcom 16550	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
15	9, 13, 14	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅)
16		gcdmodi.5	. 2 ⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
17	12, 15, 16	3eqtri 2769	1 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613   mod cmo 13909   gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  1259lem5  17172  2503lem3  17176  4001lem4  17181