Theorem gcdmodi 17284

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. Theorem 5.6 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2	⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
gcdmodi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
gcdmodi.4	⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
gcdmodi.5	⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺

Assertion

Ref	Expression
gcdmodi	⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdmodi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmodi.4	. . . 4 ⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
2	1	oveq1i 7456	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁)
3		gcdi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12751	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
5		gcdmodi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
6		modgcd 16737	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁)
8		gcdi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12751	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℤ
10		modgcd 16737	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁))
11	9, 5, 10	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
12	2, 7, 11	3eqtr3i 2794	. 2 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
13	5	nnzi 12750	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
14		gcdcom 16717	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
15	9, 13, 14	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅)
16		gcdmodi.5	. 2 ⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
17	12, 15, 16	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723   mod cmo 14039   gcd cgcd 16696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-gcd 16697

This theorem is used by:  1259lem5  17345  2503lem3  17349  4001lem4  17354