Theorem gcdmodi 17079

Description: Calculate a GCD via Euclid's algorithm. Theorem 5.6 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdi.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
gcdi.2	⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
gcdmodi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
gcdmodi.4	⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
gcdmodi.5	⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺

Assertion

Ref	Expression
gcdmodi	⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Proof of Theorem gcdmodi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmodi.4	. . . 4 ⊢ (𝐾 mod 𝑁) = (𝑅 mod 𝑁)
2	1	oveq1i 7409	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁)
3		gcdi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12609	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
5		gcdmodi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
6		modgcd 16536	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐾 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝐾 gcd 𝑁)
8		gcdi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12609	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℤ
10		modgcd 16536	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁))
11	9, 5, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑅 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
12	2, 7, 11	3eqtr3i 2765	. 2 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = (𝑅 gcd 𝑁)
13	5	nnzi 12608	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
14		gcdcom 16517	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
15	9, 13, 14	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅)
16		gcdmodi.5	. 2 ⊢ (𝑁 gcd 𝑅) = 𝐺
17	12, 15, 16	3eqtri 2761	1 ⊢ (𝐾 gcd 𝑁) = 𝐺

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7399  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12493  ℤcz 12580   mod cmo 13875   gcd cgcd 16498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9448  df-inf 9449  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 13001  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-dvds 16258  df-gcd 16499

This theorem is referenced by:  1259lem5  17139  2503lem3  17143  4001lem4  17148