Theorem gcd32 35689

Description: Swap the second and third arguments of a gcd. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcd32	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = ((𝐴 gcd 𝐶) gcd 𝐵))

Proof of Theorem gcd32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcom 16537	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝐵))
2	1	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝐵))
3	2	oveq2d 7442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd (𝐵 gcd 𝐶)) = (𝐴 gcd (𝐶 gcd 𝐵)))
4		gcdass 16571	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = (𝐴 gcd (𝐵 gcd 𝐶)))
5		gcdass 16571	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐶) gcd 𝐵) = (𝐴 gcd (𝐶 gcd 𝐵)))
6	5	3com23 1124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐶) gcd 𝐵) = (𝐴 gcd (𝐶 gcd 𝐵)))
7	3, 4, 6	3eqtr4d 2783	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = ((𝐴 gcd 𝐶) gcd 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7426  ℤcz 12605   gcd cgcd 16518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7748  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6318  df-ord 6384  df-on 6385  df-lim 6386  df-suc 6387  df-iota 6511  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7882  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-er 8739  df-en 8980  df-dom 8981  df-sdom 8982  df-sup 9474  df-inf 9475  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12606  df-uz 12871  df-rp 13027  df-fl 13819  df-mod 13897  df-seq 14030  df-exp 14090  df-cj 15125  df-re 15126  df-im 15127  df-sqrt 15261  df-abs 15262  df-dvds 16278  df-gcd 16519

This theorem is referenced by: (None)