MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdirnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdirnn0 26847
Description: Variation on lgsdir 26835 valid for all ๐ด, ๐ต but only for positive ๐‘. (The exact location of the failure of this law is for ๐ด = 0, ๐ต < 0, ๐‘ = -1 in which case (0 /L -1) = 1 but (๐ต /L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirnn0 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))

Proof of Theorem lgsdirnn0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))
21oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
32eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
4 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5 nn0z 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 lgscl 26814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
74, 5, 6syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
87zcnd 12667 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
109mul01d 11413 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0) = 0)
11 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = 0)
1211oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0))
1310, 12, 113eqtr4rd 2784 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
14 0z 12569 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„ค
155adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 lgsne0 26838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
1714, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
18 gcdcom 16454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
1914, 15, 18sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
20 nn0gcdid0 16462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2219, 21eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = ๐‘)
2322eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘ = 1))
24 lgs1 26844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
2524adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
26 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐‘ฅ /L 1))
2726eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ฅ /L 1) = 1))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
2923, 28sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3017, 29sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3130imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1)
3231oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = (1 ยท (0 /L ๐‘)))
335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
34 lgscl 26814 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3514, 33, 34sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 12667 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3736mullidd 11232 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (1 ยท (0 /L ๐‘)) = (0 /L ๐‘))
3832, 37eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
3913, 38pm2.61dane 3030 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4039ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
41403ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
42 simp2 1138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
433, 41, 42rspcdva 3614 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4443adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4553ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4614, 45, 34sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4746zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4847adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
49 lgscl 26814 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5042, 45, 49syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5150zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5251adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5348, 52mulcomd 11235 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
5444, 53eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
55 oveq1 7416 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
56 zcn 12563 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
57563ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
5955, 58sylan9eqr 2795 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
6059oveq1d 7424 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
61 simpr 486 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
6261oveq1d 7424 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
6362oveq1d 7424 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
6454, 60, 633eqtr4d 2783 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
65 oveq1 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
6665oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
6766eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
68 simp1 1137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6967, 41, 68rspcdva 3614 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7069adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
71 oveq2 7417 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
7268zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7372mul01d 11413 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
7471, 73sylan9eqr 2795 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
7574oveq1d 7424 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
76 simpr 486 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
7776oveq1d 7424 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
7877oveq2d 7425 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7970, 75, 783eqtr4d 2783 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
80 lgsdir 26835 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
815, 80syl3anl3 1415 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
8264, 79, 81pm2.61da2ne 3031 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558   gcd cgcd 16435   /L clgs 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-lgs 26798
This theorem is referenced by:  lgsdchr  26858
  Copyright terms: Public domain W3C validator