Theorem lgsdirnn0 27311

Description: Variation on lgsdir 27299 valid for all 𝐴, 𝐵 but only for positive 𝑁. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = 0, 𝐵 < 0, 𝑁 = -1 in which case (0 /_L -1) = 1 but (𝐵 /_L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdirnn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))
2	1	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
3	2	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
4		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
5		nn0z 12512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		lgscl 27278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · 0) = 0)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = 0)
12	11	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝑥 /L 𝑁) · 0))
13	10, 12, 11	3eqtr4rd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
14		0z 12499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		lgsne0 27302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
18		gcdcom 16440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
19	14, 15, 18	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
20		nn0gcdid0 16448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
22	19, 21	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
23	22	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑁 = 1))
24		lgs1 27308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 /L 1) = 1)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 1) = 1)
26		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝑥 /L 1))
27	26	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 /L 1) = 1))
28	25, 27	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
29	23, 28	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
30	17, 29	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
31	30	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (𝑥 /L 𝑁) = 1)
32	31	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = (1 · (0 /L 𝑁)))
33	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		lgscl 27278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
35	14, 33, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (1 · (0 /L 𝑁)) = (0 /L 𝑁))
38	32, 37	eqtr2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
39	13, 38	pm2.61dane 3019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
40	39	ralrimiva 3128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
41	40	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
42		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
43	3, 41, 42	rspcdva 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
45	5	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
46	14, 45, 34	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
49		lgscl 27278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
50	42, 45, 49	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
51	50	zcnd 12597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
52	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
53	48, 52	mulcomd 11153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
54	44, 53	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
55		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
56		zcn 12493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
57	56	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	57	mul02d 11331	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐵) = 0)
59	55, 58	sylan9eqr 2793	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
60	59	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
61		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
62	61	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
63	62	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
64	54, 60, 63	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
65		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
66	65	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
67	66	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
68		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
69	67, 41, 68	rspcdva 3577	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
70	69	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
71		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
72	68	zcnd 12597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
73	72	mul01d 11332	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 0) = 0)
74	71, 73	sylan9eqr 2793	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
75	74	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
76		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
77	76	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
78	77	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
79	70, 75, 78	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
80		lgsdir 27299	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
81	5, 80	syl3anl3 1416	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
82	64, 79, 81	pm2.61da2ne 3020	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488   gcd cgcd 16421   /_L clgs 27261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-phi 16693  df-pc 16765  df-lgs 27262

This theorem is referenced by:  lgsdchr  27322