MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdirnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdirnn0 26695
Description: Variation on lgsdir 26683 valid for all ๐ด, ๐ต but only for positive ๐‘. (The exact location of the failure of this law is for ๐ด = 0, ๐ต < 0, ๐‘ = -1 in which case (0 /L -1) = 1 but (๐ต /L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirnn0 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))

Proof of Theorem lgsdirnn0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))
21oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
32eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
4 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5 nn0z 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 lgscl 26662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
74, 5, 6syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
87zcnd 12609 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
109mul01d 11355 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0) = 0)
11 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = 0)
1211oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0))
1310, 12, 113eqtr4rd 2788 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
14 0z 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„ค
155adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 lgsne0 26686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
1714, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
18 gcdcom 16394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
1914, 15, 18sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
20 nn0gcdid0 16402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2219, 21eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = ๐‘)
2322eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘ = 1))
24 lgs1 26692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
2524adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
26 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐‘ฅ /L 1))
2726eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ฅ /L 1) = 1))
2825, 27syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
2923, 28sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3017, 29sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3130imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1)
3231oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = (1 ยท (0 /L ๐‘)))
335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
34 lgscl 26662 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3514, 33, 34sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 12609 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3736mulid2d 11174 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (1 ยท (0 /L ๐‘)) = (0 /L ๐‘))
3832, 37eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
3913, 38pm2.61dane 3033 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4039ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
41403ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
42 simp2 1138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
433, 41, 42rspcdva 3583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4443adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4553ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4614, 45, 34sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4746zcnd 12609 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4847adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
49 lgscl 26662 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5042, 45, 49syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5150zcnd 12609 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5251adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5348, 52mulcomd 11177 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
5444, 53eqtr4d 2780 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
55 oveq1 7365 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
56 zcn 12505 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
57563ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11354 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
5955, 58sylan9eqr 2799 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
6059oveq1d 7373 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
61 simpr 486 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
6261oveq1d 7373 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
6362oveq1d 7373 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
6454, 60, 633eqtr4d 2787 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
65 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
6665oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
6766eqeq2d 2748 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
68 simp1 1137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6967, 41, 68rspcdva 3583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7069adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
71 oveq2 7366 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
7268zcnd 12609 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7372mul01d 11355 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
7471, 73sylan9eqr 2799 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
7574oveq1d 7373 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
76 simpr 486 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
7776oveq1d 7373 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
7877oveq2d 7374 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7970, 75, 783eqtr4d 2787 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
80 lgsdir 26683 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
815, 80syl3anl3 1415 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
8264, 79, 81pm2.61da2ne 3034 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500   gcd cgcd 16375   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  lgsdchr  26706
  Copyright terms: Public domain W3C validator