MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdirnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdirnn0 27232
Description: Variation on lgsdir 27220 valid for all ๐ด, ๐ต but only for positive ๐‘. (The exact location of the failure of this law is for ๐ด = 0, ๐ต < 0, ๐‘ = -1 in which case (0 /L -1) = 1 but (๐ต /L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirnn0 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))

Proof of Theorem lgsdirnn0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))
21oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
32eqeq2d 2737 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
4 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5 nn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 lgscl 27199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
74, 5, 6syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
87zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
109mul01d 11417 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0) = 0)
11 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = 0)
1211oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0))
1310, 12, 113eqtr4rd 2777 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
14 0z 12573 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„ค
155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 lgsne0 27223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
1714, 15, 16sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
18 gcdcom 16461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
1914, 15, 18sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
20 nn0gcdid0 16469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2219, 21eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = ๐‘)
2322eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘ = 1))
24 lgs1 27229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
26 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐‘ฅ /L 1))
2726eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ฅ /L 1) = 1))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
2923, 28sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3017, 29sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3130imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1)
3231oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = (1 ยท (0 /L ๐‘)))
335ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
34 lgscl 27199 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3514, 33, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3736mullidd 11236 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (1 ยท (0 /L ๐‘)) = (0 /L ๐‘))
3832, 37eqtr2d 2767 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
3913, 38pm2.61dane 3023 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4039ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
41403ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
42 simp2 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
433, 41, 42rspcdva 3607 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4443adantr 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4553ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4614, 45, 34sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4746zcnd 12671 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4847adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
49 lgscl 27199 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5042, 45, 49syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5150zcnd 12671 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5251adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5348, 52mulcomd 11239 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
5444, 53eqtr4d 2769 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
55 oveq1 7412 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
56 zcn 12567 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
57563ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11416 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
5955, 58sylan9eqr 2788 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
6059oveq1d 7420 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
61 simpr 484 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
6261oveq1d 7420 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
6362oveq1d 7420 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
6454, 60, 633eqtr4d 2776 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
65 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
6665oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
6766eqeq2d 2737 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
68 simp1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6967, 41, 68rspcdva 3607 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7069adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
71 oveq2 7413 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
7268zcnd 12671 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7372mul01d 11417 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
7471, 73sylan9eqr 2788 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
7574oveq1d 7420 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
76 simpr 484 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
7776oveq1d 7420 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
7877oveq2d 7421 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7970, 75, 783eqtr4d 2776 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
80 lgsdir 27220 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
815, 80syl3anl3 1411 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
8264, 79, 81pm2.61da2ne 3024 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562   gcd cgcd 16442   /L clgs 27182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708  df-pc 16779  df-lgs 27183
This theorem is referenced by:  lgsdchr  27243
  Copyright terms: Public domain W3C validator