MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdirnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdirnn0 27295
Description: Variation on lgsdir 27283 valid for all ๐ด, ๐ต but only for positive ๐‘. (The exact location of the failure of this law is for ๐ด = 0, ๐ต < 0, ๐‘ = -1 in which case (0 /L -1) = 1 but (๐ต /L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirnn0 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))

Proof of Theorem lgsdirnn0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7423 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))
21oveq1d 7431 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
32eqeq2d 2736 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
4 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5 nn0z 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 lgscl 27262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
74, 5, 6syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
87zcnd 12697 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
98adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
109mul01d 11443 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0) = 0)
11 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = 0)
1211oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0))
1310, 12, 113eqtr4rd 2776 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
14 0z 12599 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„ค
155adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 lgsne0 27286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
1714, 15, 16sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
18 gcdcom 16487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
1914, 15, 18sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
20 nn0gcdid0 16495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2219, 21eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = ๐‘)
2322eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘ = 1))
24 lgs1 27292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
2524adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
26 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐‘ฅ /L 1))
2726eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ฅ /L 1) = 1))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
2923, 28sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3017, 29sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3130imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1)
3231oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = (1 ยท (0 /L ๐‘)))
335ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
34 lgscl 27262 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3514, 33, 34sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 12697 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3736mullidd 11262 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (1 ยท (0 /L ๐‘)) = (0 /L ๐‘))
3832, 37eqtr2d 2766 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
3913, 38pm2.61dane 3019 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4039ralrimiva 3136 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
41403ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
42 simp2 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
433, 41, 42rspcdva 3602 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4443adantr 479 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4553ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4614, 45, 34sylancr 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4746zcnd 12697 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4847adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
49 lgscl 27262 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5042, 45, 49syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5150zcnd 12697 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5251adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5348, 52mulcomd 11265 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
5444, 53eqtr4d 2768 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
55 oveq1 7423 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
56 zcn 12593 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
57563ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11442 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
5955, 58sylan9eqr 2787 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
6059oveq1d 7431 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
61 simpr 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
6261oveq1d 7431 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
6362oveq1d 7431 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
6454, 60, 633eqtr4d 2775 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
65 oveq1 7423 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
6665oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
6766eqeq2d 2736 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
68 simp1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6967, 41, 68rspcdva 3602 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7069adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
71 oveq2 7424 . . . . 5 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
7268zcnd 12697 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7372mul01d 11443 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
7471, 73sylan9eqr 2787 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
7574oveq1d 7431 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
76 simpr 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
7776oveq1d 7431 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
7877oveq2d 7432 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7970, 75, 783eqtr4d 2775 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
80 lgsdir 27283 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
815, 80syl3anl3 1411 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
8264, 79, 81pm2.61da2ne 3020 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588   gcd cgcd 16468   /L clgs 27245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734  df-pc 16805  df-lgs 27246
This theorem is referenced by:  lgsdchr  27306
  Copyright terms: Public domain W3C validator