Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = ๐ต โ (๐ฅ /L ๐) = (๐ต /L ๐)) |
2 | 1 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ต โ ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐)) = ((๐ต /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
3 | 2 | eqeq2d 2748 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ต โ ((0 /L ๐) = ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐)) โ (0
/L ๐) =
((๐ต /L
๐) ยท (0
/L ๐)))) |
4 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ
โค) |
5 | | nn0z 12525 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
โค) |
6 | | lgscl 26662 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ฅ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ฅ /L ๐) โ
โค) |
7 | 4, 5, 6 | syl2anr 598 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ (๐ฅ
/L ๐)
โ โค) |
8 | 7 | zcnd 12609 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ (๐ฅ
/L ๐)
โ โ) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) = 0) โ (๐ฅ /L ๐) โ โ) |
10 | 9 | mul01d 11355 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) = 0) โ ((๐ฅ /L ๐) ยท 0) = 0) |
11 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) = 0) โ (0 /L ๐) = 0) |
12 | 11 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) = 0) โ ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐)) = ((๐ฅ /L ๐) ยท 0)) |
13 | 10, 12, 11 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) = 0) โ (0 /L ๐) = ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
14 | | 0z 12511 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข 0 โ
โค |
15 | 5 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ ๐ โ
โค) |
16 | | lgsne0 26686 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((0
โ โค โง ๐
โ โค) โ ((0 /L ๐) โ 0 โ (0 gcd ๐) = 1)) |
17 | 14, 15, 16 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ ((0 /L ๐) โ 0 โ (0 gcd ๐) = 1)) |
18 | | gcdcom 16394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((0
โ โค โง ๐
โ โค) โ (0 gcd ๐) = (๐ gcd 0)) |
19 | 14, 15, 18 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ (0 gcd ๐) = (๐ gcd 0)) |
20 | | nn0gcdid0 16402 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ โ0
โ (๐ gcd 0) = ๐) |
21 | 20 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ (๐ gcd 0) = ๐) |
22 | 19, 21 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ (0 gcd ๐) = ๐) |
23 | 22 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ ((0 gcd ๐) = 1
โ ๐ =
1)) |
24 | | lgs1 26692 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฅ โ โค โ (๐ฅ /L 1) =
1) |
25 | 24 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ (๐ฅ
/L 1) = 1) |
26 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = 1 โ (๐ฅ /L ๐) = (๐ฅ /L 1)) |
27 | 26 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = 1 โ ((๐ฅ /L ๐) = 1 โ (๐ฅ /L 1) =
1)) |
28 | 25, 27 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ (๐ = 1 โ (๐ฅ /L ๐) = 1)) |
29 | 23, 28 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ ((0 gcd ๐) = 1
โ (๐ฅ
/L ๐) =
1)) |
30 | 17, 29 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ ((0 /L ๐) โ 0 โ (๐ฅ /L ๐) = 1)) |
31 | 30 | imp 408 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) โ 0) โ (๐ฅ /L ๐) = 1) |
32 | 31 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) โ 0) โ ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐)) = (1 ยท (0
/L ๐))) |
33 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) โ 0) โ ๐ โ โค) |
34 | | lgscl 26662 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((0
โ โค โง ๐
โ โค) โ (0 /L ๐) โ โค) |
35 | 14, 33, 34 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) โ 0) โ (0 /L
๐) โ
โค) |
36 | 35 | zcnd 12609 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) โ 0) โ (0 /L
๐) โ
โ) |
37 | 36 | mulid2d 11174 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) โ 0) โ (1 ยท (0
/L ๐)) =
(0 /L ๐)) |
38 | 32, 37 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โง (0 /L ๐) โ 0) โ (0 /L
๐) = ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
39 | 13, 38 | pm2.61dane 3033 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ฅ โ โค)
โ (0 /L ๐) = ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
40 | 39 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ โ๐ฅ โ
โค (0 /L ๐) = ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
41 | 40 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ โ๐ฅ โ
โค (0 /L ๐) = ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
42 | | simp2 1138 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ ๐ต โ
โค) |
43 | 3, 41, 42 | rspcdva 3583 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ (0 /L ๐) = ((๐ต /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
44 | 43 | adantr 482 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ (0
/L ๐) =
((๐ต /L
๐) ยท (0
/L ๐))) |
45 | 5 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ ๐ โ
โค) |
46 | 14, 45, 34 | sylancr 588 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ (0 /L ๐) โ โค) |
47 | 46 | zcnd 12609 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ (0 /L ๐) โ โ) |
48 | 47 | adantr 482 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ (0
/L ๐)
โ โ) |
49 | | lgscl 26662 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ต โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ต /L ๐) โ
โค) |
50 | 42, 45, 49 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ (๐ต
/L ๐)
โ โค) |
51 | 50 | zcnd 12609 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ (๐ต
/L ๐)
โ โ) |
52 | 51 | adantr 482 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ (๐ต /L ๐) โ
โ) |
53 | 48, 52 | mulcomd 11177 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ ((0
/L ๐)
ยท (๐ต
/L ๐)) =
((๐ต /L
๐) ยท (0
/L ๐))) |
54 | 44, 53 | eqtr4d 2780 |
. . 3
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ (0
/L ๐) =
((0 /L ๐)
ยท (๐ต
/L ๐))) |
55 | | oveq1 7365 |
. . . . 5
โข (๐ด = 0 โ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต)) |
56 | | zcn 12505 |
. . . . . . 7
โข (๐ต โ โค โ ๐ต โ
โ) |
57 | 56 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ ๐ต โ
โ) |
58 | 57 | mul02d 11354 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ (0 ยท ๐ต) =
0) |
59 | 55, 58 | sylan9eqr 2799 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ (๐ด ยท ๐ต) = 0) |
60 | 59 | oveq1d 7373 |
. . 3
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐) = (0 /L ๐)) |
61 | | simpr 486 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ ๐ด = 0) |
62 | 61 | oveq1d 7373 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ (๐ด /L ๐) = (0 /L
๐)) |
63 | 62 | oveq1d 7373 |
. . 3
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ ((๐ด /L ๐) ยท (๐ต /L ๐)) = ((0 /L ๐) ยท (๐ต /L ๐))) |
64 | 54, 60, 63 | 3eqtr4d 2787 |
. 2
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ด = 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐) = ((๐ด /L ๐) ยท (๐ต /L ๐))) |
65 | | oveq1 7365 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฅ /L ๐) = (๐ด /L ๐)) |
66 | 65 | oveq1d 7373 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ด โ ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐)) = ((๐ด /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
67 | 66 | eqeq2d 2748 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ด โ ((0 /L ๐) = ((๐ฅ /L ๐) ยท (0 /L ๐)) โ (0
/L ๐) =
((๐ด /L
๐) ยท (0
/L ๐)))) |
68 | | simp1 1137 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ ๐ด โ
โค) |
69 | 67, 41, 68 | rspcdva 3583 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ (0 /L ๐) = ((๐ด /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
70 | 69 | adantr 482 |
. . 3
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ต = 0) โ (0
/L ๐) =
((๐ด /L
๐) ยท (0
/L ๐))) |
71 | | oveq2 7366 |
. . . . 5
โข (๐ต = 0 โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0)) |
72 | 68 | zcnd 12609 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ ๐ด โ
โ) |
73 | 72 | mul01d 11355 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ (๐ด ยท 0) =
0) |
74 | 71, 73 | sylan9eqr 2799 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ต = 0) โ (๐ด ยท ๐ต) = 0) |
75 | 74 | oveq1d 7373 |
. . 3
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ต = 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐) = (0 /L ๐)) |
76 | | simpr 486 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ต = 0) โ ๐ต = 0) |
77 | 76 | oveq1d 7373 |
. . . 4
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ต = 0) โ (๐ต /L ๐) = (0 /L
๐)) |
78 | 77 | oveq2d 7374 |
. . 3
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ต = 0) โ ((๐ด /L ๐) ยท (๐ต /L ๐)) = ((๐ด /L ๐) ยท (0 /L ๐))) |
79 | 70, 75, 78 | 3eqtr4d 2787 |
. 2
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง ๐ต = 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐) = ((๐ด /L ๐) ยท (๐ต /L ๐))) |
80 | | lgsdir 26683 |
. . 3
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ด โ 0 โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐) = ((๐ด /L ๐) ยท (๐ต /L ๐))) |
81 | 5, 80 | syl3anl3 1415 |
. 2
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โง (๐ด โ 0 โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐) = ((๐ด /L ๐) ยท (๐ต /L ๐))) |
82 | 64, 79, 81 | pm2.61da2ne 3034 |
1
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0)
โ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐) = ((๐ด /L ๐) ยท (๐ต /L ๐))) |