Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goldbachthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem goldbachthlem2 47471
Description: Lemma 2 for goldbachth 47472. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
goldbachthlem2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachthlem2
StepHypRef Expression
1 fmtnonn 47456 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
21nnzd 12638 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
3 fmtnonn 47456 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
43nnzd 12638 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
52, 4anim12ci 614 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
653adant3 1131 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
7 gcddvds 16537 . . 3 (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
86, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
9 goldbachthlem1 47470 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))
10 gcdcl 16540 . . . . . . 7 (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 12637 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ)
1343ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
14 2z 12647 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
162, 15zsubcld 12725 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
17163ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
18 dvdstr 16328 . . . . 5 ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
1912, 13, 17, 18syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
209, 19mpan2d 694 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
2123ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
22 dvds2sub 16325 . . . . . 6 ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
2312, 21, 17, 22syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
2423ancomsd 465 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
251nncnd 12280 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
26253ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
27 2cnd 12342 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
2826, 27nncand 11623 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) = 2)
2928breq2d 5160 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) ↔ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2))
30 2prm 16726 . . . . . . 7 2 ∈ ℙ
311, 3anim12ci 614 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
32313adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
33 gcdnncl 16541 . . . . . . . 8 (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
35 dvdsprime 16721 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℙ ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
3630, 34, 35sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
375, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
38 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
40 fmtnoodd 47458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
4140pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
4339, 42sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
4443ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
4544com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
4645adantld 490 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
4737, 46mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
48473adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
49 gcdcom 16547 . . . . . . . . . 10 (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
506, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
5150eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 ↔ ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
5251biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
5348, 52jaod 859 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
5436, 53sylbid 240 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
5529, 54sylbid 240 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
5624, 55syld 47 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
5720, 56syland 603 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
588, 57mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   < clt 11293  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705  FermatNocfmtno 47452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-fmtno 47453
This theorem is referenced by:  goldbachth  47472
  Copyright terms: Public domain W3C validator