Theorem goldbachthlem2 48898

Description: Lemma 2 for goldbachth 48899. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
goldbachthlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnonn 48883	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12757	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
3		fmtnonn 48883	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12757	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
5	2, 4	anim12ci 626	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
6	5	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
7		gcddvds 16714	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
9		goldbachthlem1 48897	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))
10		gcdcl 16717	. . . . . . 7 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12756	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ)
13	4	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
14		2z 12766	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
16	2, 15	zsubcld 12846	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
18		dvdstr 16505	. . . . 5 ⊢ ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
19	12, 13, 17, 18	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
20	9, 19	mpan2d 707	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
21	2	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
22		dvds2sub 16502	. . . . . 6 ⊢ ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
23	12, 21, 17, 22	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
24	23	ancomsd 471	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
25	1	nncnd 12389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
27		2cnd 12459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 11711	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) = 2)
29	28	breq2d 5118	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) ↔ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2))
30		2prm 16908	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
31	1, 3	anim12ci 626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
32	31	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
33		gcdnncl 16718	. . . . . . . 8 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
35		dvdsprime 16903	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
36	30, 34, 35	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
37	5, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
38		breq1 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
40		fmtnoodd 48885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
41	40	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
43	39, 42	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
44	43	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
45	44	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
46	45	adantld 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
47	37, 46	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
48	47	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
49		gcdcom 16726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
50	6, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
51	50	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 ↔ ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
52	51	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
53	48, 52	jaod 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
54	36, 53	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
55	29, 54	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
56	24, 55	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
57	20, 56	syland 615	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
58	8, 57	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  1c1 11238   < clt 11380   − cmin 11578  ℕcn 12373  2c2 12435  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731   ∥ cdvds 16463   gcd cgcd 16705  ℙcprime 16887  FermatNocfmtno 48879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-prod 16114  df-dvds 16464  df-gcd 16706  df-prm 16888  df-fmtno 48880

This theorem is used by:  goldbachth  48899