Theorem goldbachthlem2 46809

Description: Lemma 2 for goldbachth 46810. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
goldbachthlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnonn 46794	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12607	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
3		fmtnonn 46794	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12607	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
5	2, 4	anim12ci 613	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
6	5	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
7		gcddvds 16469	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
9		goldbachthlem1 46808	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))
10		gcdcl 16472	. . . . . . 7 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12606	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ)
13	4	3ad2ant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
14		2z 12616	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
16	2, 15	zsubcld 12693	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
18		dvdstr 16262	. . . . 5 ⊢ ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
19	12, 13, 17, 18	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
20	9, 19	mpan2d 693	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
21	2	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
22		dvds2sub 16259	. . . . . 6 ⊢ ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
23	12, 21, 17, 22	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
24	23	ancomsd 465	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
25	1	nncnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
27		2cnd 12312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 11598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) = 2)
29	28	breq2d 5154	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) ↔ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2))
30		2prm 16654	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
31	1, 3	anim12ci 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
32	31	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
33		gcdnncl 16473	. . . . . . . 8 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
35		dvdsprime 16649	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
36	30, 34, 35	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
37	5, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
38		breq1 5145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
40		fmtnoodd 46796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
41	40	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
43	39, 42	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
44	43	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
45	44	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
46	45	adantld 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
47	37, 46	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
48	47	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
49		gcdcom 16479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
50	6, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
51	50	eqeq1d 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 ↔ ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
52	51	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
53	48, 52	jaod 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
54	36, 53	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
55	29, 54	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
56	24, 55	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
57	20, 56	syland 602	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
58	8, 57	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  1c1 11131   < clt 11270   − cmin 11466  ℕcn 12234  2c2 12289  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16460  ℙcprime 16633  FermatNocfmtno 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-prod 15874  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-fmtno 46791

This theorem is referenced by:  goldbachth  46810