Theorem goldbachthlem2 48180

Description: Lemma 2 for goldbachth 48181. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
goldbachthlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnonn 48165	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
3		fmtnonn 48165	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12613	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
5	2, 4	anim12ci 625	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
6	5	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
7		gcddvds 16557	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
9		goldbachthlem1 48179	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))
10		gcdcl 16560	. . . . . . 7 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12612	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ)
13	4	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
14		2z 12622	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
16	2, 15	zsubcld 12701	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
18		dvdstr 16348	. . . . 5 ⊢ ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
19	12, 13, 17, 18	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
20	9, 19	mpan2d 706	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
21	2	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
22		dvds2sub 16345	. . . . . 6 ⊢ ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
23	12, 21, 17, 22	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
24	23	ancomsd 470	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
25	1	nncnd 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
27		2cnd 12315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 11570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) = 2)
29	28	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) ↔ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2))
30		2prm 16746	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
31	1, 3	anim12ci 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
32	31	3adant3 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
33		gcdnncl 16561	. . . . . . . 8 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
35		dvdsprime 16741	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
36	30, 34, 35	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
37	5, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
38		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
39	38	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
40		fmtnoodd 48167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
41	40	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
42	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
43	39, 42	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
44	43	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
45	44	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
46	45	adantld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
47	37, 46	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
48	47	3adant3 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
49		gcdcom 16567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
50	6, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
51	50	eqeq1d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 ↔ ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
52	51	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
53	48, 52	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
54	36, 53	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
55	29, 54	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
56	24, 55	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
57	20, 56	syland 614	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
58	8, 57	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   < clt 11239   − cmin 11437  ℕcn 12229  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587   ∥ cdvds 16306   gcd cgcd 16548  ℙcprime 16725  FermatNocfmtno 48161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-fmtno 48162

This theorem is referenced by:  goldbachth  48181