Theorem goldbachthlem2 48331

Description: Lemma 2 for goldbachth 48332. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
goldbachthlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtnonn 48316	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12628	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
3		fmtnonn 48316	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12628	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
5	2, 4	anim12ci 626	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
6	5	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ))
7		gcddvds 16578	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
9		goldbachthlem1 48330	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2))
10		gcdcl 16581	. . . . . . 7 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12627	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ)
13	4	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
14		2z 12637	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
16	2, 15	zsubcld 12716	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ)
18		dvdstr 16369	. . . . 5 ⊢ ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
19	12, 13, 17, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ (FermatNo‘𝑀) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
20	9, 19	mpan2d 707	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)))
21	2	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
22		dvds2sub 16366	. . . . . 6 ⊢ ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∈ ℤ) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
23	12, 21, 17, 22	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
24	23	ancomsd 471	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2))))
25	1	nncnd 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℂ)
27		2cnd 12330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 11585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) = 2)
29	28	breq2d 5123	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) ↔ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2))
30		2prm 16767	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
31	1, 3	anim12ci 626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
32	31	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ))
33		gcdnncl 16582	. . . . . . . 8 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ)
35		dvdsprime 16762	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∈ ℕ) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
36	30, 34, 35	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 ↔ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)))
37	5, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
38		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
40		fmtnoodd 48318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
41	40	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (2 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
43	39, 42	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
44	43	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
45	44	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
46	45	adantld 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
47	37, 46	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
48	47	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
49		gcdcom 16588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
50	6, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)))
51	50	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 ↔ ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
52	51	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
53	48, 52	jaod 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 2 ∨ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
54	36, 53	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ 2 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
55	29, 54	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → (((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − ((FermatNo‘𝑁) − 2)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
56	24, 55	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ ((FermatNo‘𝑁) − 2) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
57	20, 56	syland 615	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑀) ∧ ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
58	8, 57	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   < clt 11254   − cmin 11452  ℕcn 12244  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602   ∥ cdvds 16327   gcd cgcd 16569  ℙcprime 16746  FermatNocfmtno 48312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-prod 15976  df-dvds 16328  df-gcd 16570  df-prm 16747  df-fmtno 48313

This theorem is used by:  goldbachth  48332