Theorem cncongrprm 16898

Description: Corollary 2 of Cancellability of Congruences: Two products with a common factor are congruent modulo a prime number not dividing the common factor iff the other factors are congruent modulo the prime number. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cncongrprm	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))

Proof of Theorem cncongrprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16842	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3		coprm 16880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐶 ↔ (𝑃 gcd 𝐶) = 1))
4		prmz 16843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		gcdcom 16678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝑃))
6	4, 5	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝑃))
7	6	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐶) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
8	3, 7	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
9	8	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
10	9	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐶 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
11	10	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
12	11	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
13	12	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
14	2, 13	jca 521	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
15		cncongrcoprm 16838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))
16	14, 15	syldan 603	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  1c1 11194   · cmul 11198  ℕcn 12328  ℤcz 12686   mod cmo 14002   ∥ cdvds 16415   gcd cgcd 16657  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-prm 16840

This theorem is used by: (None)