MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncongrprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncongrprm 16057
Description: Corollary 2 of Cancellability of Congruences: Two products with a common factor are congruent modulo a prime number not dividing the common factor iff the other factors are congruent modulo the prime number. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongrprm (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))

Proof of Theorem cncongrprm
StepHypRef Expression
1 prmnn 16006 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21ad2antrl 724 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3 coprm 16043 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐶 ↔ (𝑃 gcd 𝐶) = 1))
4 prmz 16007 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 gcdcom 15850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝑃))
64, 5sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝑃))
76eqeq1d 2820 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐶) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
83, 7bitrd 280 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐶 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
98ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝐶 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
109biimpd 230 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝐶 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
1110expimpd 454 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
12113ad2ant3 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
1312imp 407 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
142, 13jca 512 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
15 cncongrcoprm 16002 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))
1614, 15syldan 591 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  1c1 10526   · cmul 10530  cn 11626  cz 11969   mod cmo 13225  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator