MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncongrprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncongrprm 15767
Description: Corollary 2 of Cancellability of Congruences: Two products with a common factor are congruent modulo a prime number not dividing the common factor iff the other factors are congruent modulo the prime number. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongrprm (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))

Proof of Theorem cncongrprm
StepHypRef Expression
1 prmnn 15719 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21ad2antrl 720 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3 coprm 15753 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐶 ↔ (𝑃 gcd 𝐶) = 1))
4 prmz 15720 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 gcdcom 15567 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝑃))
64, 5sylan 576 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝑃))
76eqeq1d 2799 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐶) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
83, 7bitrd 271 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐶 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
98ancoms 451 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝐶 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
109biimpd 221 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝐶 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
1110expimpd 446 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
12113ad2ant3 1166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
1312imp 396 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
142, 13jca 508 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
15 cncongrcoprm 15715 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))
1614, 15syldan 586 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃𝐶)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4841  (class class class)co 6876  1c1 10223   · cmul 10227  cn 11310  cz 11662   mod cmo 12919  cdvds 15316   gcd cgcd 15548  cprime 15716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fl 12844  df-mod 12920  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-dvds 15317  df-gcd 15549  df-prm 15717
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator