Theorem cncongrprm 16783

Description: Corollary 2 of Cancellability of Congruences: Two products with a common factor are congruent modulo a prime number not dividing the common factor iff the other factors are congruent modulo the prime number. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cncongrprm	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))

Proof of Theorem cncongrprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16727	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	ad2antrl 740	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3		coprm 16765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐶 ↔ (𝑃 gcd 𝐶) = 1))
4		prmz 16728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		gcdcom 16566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝑃))
6	4, 5	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐶) = (𝐶 gcd 𝑃))
7	6	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐶) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
8	3, 7	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
9	8	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
10	9	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐶 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
11	10	expimpd 458	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
12	11	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
13	12	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
14	2, 13	jca 520	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
15		cncongrcoprm 16723	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))
16	14, 15	syldan 602	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐶)) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑃) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑃) ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (𝐵 mod 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  1c1 11096   · cmul 11100  ℕcn 12228  ℤcz 12586   mod cmo 13898   ∥ cdvds 16305   gcd cgcd 16547  ℙcprime 16724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725

This theorem is referenced by: (None)