MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 16463
Description: Lemma for 1259prm 16464. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 11702 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 11907 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 11908 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12105 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13442 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 691 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11930 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 11912 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 11910 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12105 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 11913 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12105 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 11905 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 11906 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12105 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 11909 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12105 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 11727 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 12110 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2889 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 16460 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 11777 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2801 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 12121 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2801 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 12131 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 16401 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 12105 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 11904 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12105 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 12105 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 12105 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 12105 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 11999 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 11999 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 15855 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 691 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 11708 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 12110 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 11724 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 12112 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulid1i 10638 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addid2i 10821 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 7151 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 11754 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 11710 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulid1i 10638 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 11726 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 12171 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 10825 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 12142 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 11640 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 12222 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 12128 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 15756 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 16444 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 16048 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 691 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 233 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2824 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2801 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 11704 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mulid2i 10639 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addid1i 10820 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 7151 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 11771 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2824 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 7149 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 11774 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 10825 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 12112 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2828 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 12143 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 16402 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2801 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 11795 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 10643 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addid1i 10820 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 7151 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 11788 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2824 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 11714 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 11797 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 10643 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 7149 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 11779 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 12112 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2828 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 12143 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 16402 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2801 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 11783 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 10825 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 7150 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 11911 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 12207 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 10643 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 11723 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 11790 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 10825 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 12150 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2824 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 11729 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 12214 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 10643 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 12162 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 12152 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 12143 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 16402 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2801 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2801 . . . . . 6 39 = 39
11954addid1i 10820 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2824 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addid2i 10821 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 7151 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2824 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 12212 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 10643 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 12176 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 12151 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 12143 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 11798 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 7149 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addid2i 10821 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2828 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 12143 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 16402 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 11901 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addid1i 10820 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mulid2i 10639 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 7151 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 12172 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2824 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 11720 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mulid2i 10639 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 7149 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 12181 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 10825 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2824 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 12143 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mulid2i 10639 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 7149 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addid1i 10820 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2828 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 12143 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2827 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 16402 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 16403 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  7c7 11689  8c8 11690  9c9 11691  0cn0 11889  cz 11973  cdc 12090  cexp 13429  cdvds 15602   gcd cgcd 15836  cprime 16008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009
This theorem is referenced by:  1259prm  16464
  Copyright terms: Public domain W3C validator