MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 17173
Description: Lemma for 1259prm 17174. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 12340 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 12546 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 12547 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12750 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14116 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 692 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12569 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 12551 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 12549 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12750 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 12552 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12750 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 12544 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 12545 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12750 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 12548 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12750 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 12365 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 12755 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2836 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 17170 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 12415 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2736 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 12766 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2736 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 12776 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 17111 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 12750 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 12543 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12750 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 12750 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 12750 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 12750 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 12644 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 12644 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 16551 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 692 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 12346 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 12755 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 12362 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 12757 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulridi 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addlidi 11450 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 7444 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 12392 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 12348 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulridi 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 12364 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 12816 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 11454 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 12787 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 12278 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 12867 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 12773 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 16450 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 17154 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 16749 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 692 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 230 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2764 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2736 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 12342 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mullidi 11267 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addridi 11449 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 7444 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 12409 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 7442 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 12412 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 11454 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 12757 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2768 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 12788 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 17112 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2736 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 12433 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 11271 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addridi 11449 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 7444 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 12426 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2764 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 12352 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 12435 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 11271 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 7442 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 12417 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 12757 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2768 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 12788 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 17112 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2736 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 12421 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 11454 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 7443 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 12550 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 12852 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 11271 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 12361 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 12428 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 11454 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 12795 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2764 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 12367 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 12859 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 11271 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 12807 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 12797 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 12788 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 17112 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2736 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2736 . . . . . 6 39 = 39
11954addridi 11449 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2764 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addlidi 11450 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 7444 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2764 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 12857 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 11271 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 12821 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 12796 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 12788 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 12436 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 7442 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addlidi 11450 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2768 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 12788 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 17112 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 12540 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addridi 11449 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mullidi 11267 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 7444 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 12817 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2764 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 12358 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mullidi 11267 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 7442 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 12826 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 11454 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2764 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 12788 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mullidi 11267 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 7442 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addridi 11449 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2768 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 12788 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2767 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 17112 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 17113 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  0cn0 12528  cz 12615  cdc 12735  cexp 14103  cdvds 16291   gcd cgcd 16532  cprime 16709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710
This theorem is referenced by:  1259prm  17174
  Copyright terms: Public domain W3C validator