MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 17014
Description: Lemma for 1259prm 17015. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 12233 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 12438 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 12439 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13987 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 691 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12461 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 12443 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 12441 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12640 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 12444 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12640 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 12437 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12640 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 12440 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12640 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 12258 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 12645 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 17011 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 12308 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2737 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 12656 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2737 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 12666 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 16951 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 12640 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 12435 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12640 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 12640 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 12640 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 12640 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 12535 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 12535 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 16400 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 691 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 12239 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 12645 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 12255 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 12647 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 12241 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 12257 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 12706 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 11354 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 12677 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 12171 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 12757 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 12663 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 16301 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 16995 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 16594 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 691 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 229 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2765 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2737 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 12235 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mulid2i 11167 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addid1i 11349 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 7374 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 12302 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 12305 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 11354 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 12647 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2769 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 12678 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 16952 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2737 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 12326 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 11171 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addid1i 11349 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 12319 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2765 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 12245 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 12328 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 11171 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 12310 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 12647 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2769 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 12678 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 16952 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2737 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 12314 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 11354 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 7373 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 12442 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 12742 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 12254 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 12321 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 11354 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 12685 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2765 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 12260 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 12749 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 11171 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 12697 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 12687 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 12678 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 16952 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2737 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2737 . . . . . 6 39 = 39
11954addid1i 11349 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2765 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 12747 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 11171 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 12711 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 12686 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 12678 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 12329 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 7372 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2769 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 12678 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 16952 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 12432 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addid1i 11349 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mulid2i 11167 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 12707 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 12251 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mulid2i 11167 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 12716 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 11354 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 12678 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mulid2i 11167 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 7372 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addid1i 11349 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2769 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 12678 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2768 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 16952 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 16953 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cmin 11392  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  0cn0 12420  cz 12506  cdc 12625  cexp 13974  cdvds 16143   gcd cgcd 16381  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  1259prm  17015
  Copyright terms: Public domain W3C validator