MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 16836
Description: Lemma for 1259prm 16837. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 12046 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 12251 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 12252 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12452 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13795 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 689 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12274 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 12256 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 12254 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12452 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 12257 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12452 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 12249 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 12250 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12452 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 12253 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12452 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 12071 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 12457 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 16833 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 12121 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2738 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 12468 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2738 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 12478 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 16773 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 12452 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 12248 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12452 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 12452 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 12452 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 12452 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 12345 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 12345 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 16220 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 689 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 12052 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 12457 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 12068 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 12459 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 10929 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulid1i 10979 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addid2i 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 7287 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 12098 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2766 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 12054 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulid1i 10979 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 7285 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 12070 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 12518 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 11167 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2766 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 12489 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 11984 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 12569 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 12475 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 16121 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 16817 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 16416 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 689 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 229 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2766 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2738 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 12048 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mulid2i 10980 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addid1i 11162 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 7287 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 12115 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2766 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 7285 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 12118 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 11167 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 12459 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2770 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 12490 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 16774 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2738 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 12139 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 10984 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addid1i 11162 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 7287 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 12132 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2766 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 12058 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 12141 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 10984 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 7285 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 12123 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 12459 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2770 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 12490 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 16774 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2738 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 12127 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 11167 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 7286 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 12255 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 12554 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 10984 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 12067 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 12134 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 11167 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 12497 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2766 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 12073 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 12561 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 10984 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 12509 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 12499 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 12490 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 16774 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2738 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2738 . . . . . 6 39 = 39
11954addid1i 11162 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2766 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addid2i 11163 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 7287 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2766 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 12559 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 10984 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 12523 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 12498 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 12490 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 12142 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 7285 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addid2i 11163 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2770 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 12490 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 16774 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 12245 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addid1i 11162 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mulid2i 10980 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 7287 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 12519 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2766 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 12064 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mulid2i 10980 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 7285 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 12528 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 11167 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2766 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 12490 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mulid2i 10980 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 7285 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addid1i 11162 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2770 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 12490 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2769 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 16774 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 16775 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cmin 11205  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  0cn0 12233  cz 12319  cdc 12437  cexp 13782  cdvds 15963   gcd cgcd 16201  cprime 16376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377
This theorem is referenced by:  1259prm  16837
  Copyright terms: Public domain W3C validator