Theorem 1259lem5 17322

Description: Lemma for 1259prm 17323. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem5	⊢ (((2↑;34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12423	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		3nn0 12631	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12632	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12836	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		nnexpcl 14224	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ;34 ∈ ℕ0) → (2↑;34) ∈ ℕ)
6	1, 4, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ (2↑;34) ∈ ℕ
7		nnm1nn0 12654	. . 3 ⊢ ((2↑;34) ∈ ℕ → ((2↑;34) − 1) ∈ ℕ0)
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((2↑;34) − 1) ∈ ℕ0
9		8nn0 12636	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		6nn0 12634	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;86 ∈ ℕ0
12		9nn0 12637	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12836	. 2 ⊢ ;;869 ∈ ℕ0
14		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
15		1nn0 12629	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		2nn0 12630	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	15, 16	deccl 12836	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
18		5nn0 12633	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	17, 18	deccl 12836	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
20		9nn 12448	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
21	19, 20	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
22	14, 21	eqeltri 2856	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
23	14	1259lem2 17319	. . 3 ⊢ ((2↑;34) mod 𝑁) = (;;870 mod 𝑁)
24		6p1e7 12497	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
25		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;86 = ;86
26	9, 10, 24, 25	decsuc 12857	. . . 4 ⊢ (;86 + 1) = ;87
27		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;869 = ;;869
28	11, 26, 27	decsucc 12867	. . 3 ⊢ (;;869 + 1) = ;;870
29	22, 6, 15, 13, 23, 28	modsubi 17259	. 2 ⊢ (((2↑;34) − 1) mod 𝑁) = (;;869 mod 𝑁)
30	2, 12	deccl 12836	. . . 4 ⊢ ;39 ∈ ℕ0
31		0nn0 12628	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;;390 ∈ ℕ0
33	9, 12	deccl 12836	. . . 4 ⊢ ;89 ∈ ℕ0
34	16, 15	deccl 12836	. . . . . 6 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
35	15, 2	deccl 12836	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
36	34	nn0zi 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ ;21 ∈ ℤ
37	35	nn0zi 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 ∈ ℤ
38		gcdcom 16694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;21 ∈ ℤ ∧ ;13 ∈ ℤ) → (;21 gcd ;13) = (;13 gcd ;21))
39	36, 37, 38	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (;21 gcd ;13) = (;13 gcd ;21)
40		3nn 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
41	15, 40	decnncl 12845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 ∈ ℕ
42		8nn 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ
43		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;13 = ;13
44	9	dec0h 12848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = ;08
45		ax-1cn 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	45	mulridi 11320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 1) = 1
47	45	addlidi 11505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
48	46, 47	oveq12i 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49		1p1e2 12473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
50	48, 49	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51		3cn 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 1) = 3
53	52	oveq1i 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54		8cn 12447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℂ
55		8p3e11 12907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 + 3) = ;11
56	54, 51, 55	addcomli 11509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 + 8) = ;11
57	53, 56	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 1) + 8) = ;11
58	15, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57	decmac 12878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;13 · 1) + 8) = ;21
59		1nn 12353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
60		8lt10 12959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 < ;10
61	59, 2, 9, 60	declti 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 < ;13
62	41, 15, 42, 58, 61	ndvdsi 16591	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;21
63		13prm 17303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 ∈ ℙ
64		coprm 16896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;13 ∈ ℙ ∧ ;21 ∈ ℤ) → (¬ ;13 ∥ ;21 ↔ (;13 gcd ;21) = 1))
65	63, 36, 64	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ;13 ∥ ;21 ↔ (;13 gcd ;21) = 1)
66	62, 65	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 gcd ;21) = 1
67	39, 66	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (;21 gcd ;13) = 1
68		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;21 = ;21
69		2cn 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
70	69	mullidi 11321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 2) = 2
71	45	addridi 11504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
72	70, 71	oveq12i 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73		2p1e3 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
74	72, 73	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
75	46	oveq1i 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76		3p1e4 12494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
77	51, 45, 76	addcomli 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 3) = 4
78	3	dec0h 12848	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
79	75, 77, 78	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) + 3) = ;04
80	16, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79	decma2c 12879	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · ;21) + ;13) = ;34
81	15, 35, 34, 67, 80	gcdi 17260	. . . . . 6 ⊢ (;34 gcd ;21) = 1
82		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;34 = ;34
83		2t3e6 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 3) = 6
84	69	addridi 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 0) = 2
85	83, 84	oveq12i 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
86		6p2e8 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 2) = 8
87	85, 86	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
88		2t4e8 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
89	88	oveq1i 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
90		8p1e9 12499	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 1) = 9
91	12	dec0h 12848	. . . . . . . 8 ⊢ 9 = ;09
92	89, 90, 91	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 1) = ;09
93	2, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 87, 92	decma2c 12879	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;34) + ;21) = ;89
94	16, 34, 4, 81, 93	gcdi 17260	. . . . 5 ⊢ (;89 gcd ;34) = 1
95		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;89 = ;89
96		4cn 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
97		4p3e7 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 + 3) = 7
98	96, 51, 97	addcomli 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 4) = 7
99	98	oveq2i 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
100		7nn0 12635	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
101		8t4e32 12943	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 4) = ;32
102	54, 96, 101	mulcomli 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 8) = ;32
103		7cn 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
104		7p2e9 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 2) = 9
105	103, 69, 104	addcomli 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 7) = 9
106	2, 16, 100, 102, 105	decaddi 12886	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 8) + 7) = ;39
107	99, 106	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 8) + (3 + 4)) = ;39
108		9cn 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
109		9t4e36 12950	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 4) = ;36
110	108, 96, 109	mulcomli 11325	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 9) = ;36
111		6p4e10 12898	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
112	2, 10, 3, 110, 76, 111	decaddci2 12888	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 9) + 4) = ;40
113	9, 12, 2, 3, 95, 82, 3, 31, 3, 107, 112	decma2c 12879	. . . . 5 ⊢ ((4 · ;89) + ;34) = ;;390
114	3, 4, 33, 94, 113	gcdi 17260	. . . 4 ⊢ (;;390 gcd ;89) = 1
115		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;;390 = ;;390
116		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;39 = ;39
117	54	addridi 11504	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 0) = 8
118	117, 44	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (8 + 0) = ;08
119	69	addlidi 11505	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 2) = 2
120	83, 119	oveq12i 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
121	120, 86	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
122		9t2e18 12948	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
123	108, 69, 122	mulcomli 11325	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
124		8p8e16 12912	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
125	15, 9, 9, 123, 49, 10, 124	decaddci 12887	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
126	2, 12, 31, 9, 116, 118, 16, 10, 16, 121, 125	decma2c 12879	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;39) + (8 + 0)) = ;86
127		2t0e0 12520	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 0) = 0
128	127	oveq1i 7434	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
129	108	addlidi 11505	. . . . . 6 ⊢ (0 + 9) = 9
130	128, 129, 91	3eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ ((2 · 0) + 9) = ;09
131	30, 31, 9, 12, 115, 95, 16, 12, 31, 126, 130	decma2c 12879	. . . 4 ⊢ ((2 · ;;390) + ;89) = ;;869
132	16, 33, 32, 114, 131	gcdi 17260	. . 3 ⊢ (;;869 gcd ;;390) = 1
133	30	nn0cni 12625	. . . . . . 7 ⊢ ;39 ∈ ℂ
134	133	addridi 11504	. . . . . 6 ⊢ (;39 + 0) = ;39
135	54	mullidi 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
136	135, 76	oveq12i 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
137		8p4e12 12908	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 4) = ;12
138	136, 137	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 8) + (3 + 1)) = ;12
139		6cn 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
140	139	mullidi 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 6) = 6
141	140	oveq1i 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
142		9p6e15 12917	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 6) = ;15
143	108, 139, 142	addcomli 11509	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 9) = ;15
144	141, 143	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 6) + 9) = ;15
145	9, 10, 2, 12, 25, 134, 15, 18, 15, 138, 144	decma2c 12879	. . . . 5 ⊢ ((1 · ;86) + (;39 + 0)) = ;;125
146	108	mullidi 11321	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 9) = 9
147	146	oveq1i 7434	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
148	108	addridi 11504	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
149	147, 148, 91	3eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + 0) = ;09
150	11, 12, 30, 31, 27, 115, 15, 12, 31, 145, 149	decma2c 12879	. . . 4 ⊢ ((1 · ;;869) + ;;390) = ;;;1259
151	150, 14	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ ((1 · ;;869) + ;;390) = 𝑁
152	15, 32, 13, 132, 151	gcdi 17260	. 2 ⊢ (𝑁 gcd ;;869) = 1
153	8, 13, 22, 29, 152	gcdmodi 17261	1 ⊢ (((2↑;34) − 1) gcd 𝑁) = 1

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548  ℕcn 12342  2c2 12404  3c3 12405  4c4 12406  5c5 12407  6c6 12408  7c7 12409  8c8 12410  9c9 12411  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ;cdc 12821  ↑cexp 14211   ∥ cdvds 16431   gcd cgcd 16673  ℙcprime 16855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-prm 16856

This theorem is used by:  1259prm  17323