MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 17068
Description: Lemma for 1259prm 17069. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 12285 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 12490 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 12491 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12692 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14040 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 691 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12513 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 12495 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 12493 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12692 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 12496 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12692 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 12488 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 12489 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12692 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 12492 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12692 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 12310 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 12697 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2830 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 17065 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 12360 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2733 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 12708 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2733 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 12718 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 17005 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 12692 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 12487 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12692 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 12692 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 12692 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 12692 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 12587 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 12587 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 16454 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 691 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 12291 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 12697 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 12307 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 12699 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulridi 11218 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addlidi 11402 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 12337 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 12293 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulridi 11218 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 12309 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 12758 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 11406 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 12729 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 12223 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 12809 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 12715 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 16355 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 17049 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 16648 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 691 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 229 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2761 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2733 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mullidi 11219 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addridi 11401 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 7421 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 12354 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 12357 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 11406 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 12699 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 12730 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 17006 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2733 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 12378 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 11223 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addridi 11401 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 7421 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 12371 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2761 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 12297 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 12380 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 11223 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 12362 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 12699 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2765 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 12730 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 17006 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2733 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 12366 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 11406 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 7420 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 12494 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 12794 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 11223 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 12306 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 12373 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 11406 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 12737 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2761 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 12312 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 12801 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 11223 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 12749 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 12739 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 12730 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 17006 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2733 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2733 . . . . . 6 39 = 39
11954addridi 11401 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2761 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addlidi 11402 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 7421 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2761 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 12799 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 11223 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 12763 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 12738 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 12730 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 12381 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 7419 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addlidi 11402 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 12730 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 17006 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 12484 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addridi 11401 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mullidi 11219 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 7421 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 12759 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2761 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 12303 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mullidi 11219 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 7419 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 12768 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 11406 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2761 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 12730 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mullidi 11219 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 7419 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addridi 11401 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2765 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 12730 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2764 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 17006 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 17007 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  cmin 11444  cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  0cn0 12472  cz 12558  cdc 12677  cexp 14027  cdvds 16197   gcd cgcd 16435  cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  1259prm  17069
  Copyright terms: Public domain W3C validator