MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 17072
Description: Lemma for 1259prm 17073. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 12289 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 12494 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 12495 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12696 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14044 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 688 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12517 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 12499 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 12497 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12696 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 12500 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12696 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 12493 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12696 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 12496 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12696 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 12314 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 12701 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2827 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 17069 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 12364 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2730 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 12712 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2730 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 12722 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 17009 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 12696 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 12491 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12696 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 12696 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 12696 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 12696 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 12591 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 12591 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 16458 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 688 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 12295 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 12701 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 12311 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 12703 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulridi 11222 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addlidi 11406 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 12297 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulridi 11222 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 12313 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 12762 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 11410 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 12733 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 12227 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 12813 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 12719 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 16359 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 17053 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 16652 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 688 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 229 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2758 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2730 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 12291 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mullidi 11223 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addridi 11405 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 7423 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 12358 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2758 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 12361 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 11410 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 12703 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2762 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 12734 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 17010 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2730 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 12382 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 11227 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addridi 11405 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 7423 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 12375 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2758 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 12301 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 12384 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 11227 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 12366 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 12703 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2762 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 12734 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 17010 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2730 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 12370 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 11410 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 7422 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 12498 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 12798 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 12310 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 12377 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 11410 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 12741 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2758 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 12316 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 12805 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 11227 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 12753 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 12743 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 12734 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 17010 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2730 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2730 . . . . . 6 39 = 39
11954addridi 11405 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2758 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 7423 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2758 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 12803 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 11227 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 12767 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 12742 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 12734 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 12385 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 7421 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addlidi 11406 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2762 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 12734 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 17010 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 12488 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addridi 11405 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 7423 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 12763 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2758 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 12307 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 12772 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 11410 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2758 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 12734 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mullidi 11223 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 7421 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addridi 11405 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2762 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 12734 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2761 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 17010 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 17011 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cmin 11448  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  0cn0 12476  cz 12562  cdc 12681  cexp 14031  cdvds 16201   gcd cgcd 16439  cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613
This theorem is referenced by:  1259prm  17073
  Copyright terms: Public domain W3C validator