MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem5 17169
Description: Lemma for 1259prm 17170. Calculate the GCD of 2↑34 − 1≡869 with 𝑁 = 1259. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem5 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 12337 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 3nn0 12542 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 12543 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12746 . . . 4 34 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 14112 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 34 ∈ ℕ0) → (2↑34) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 692 . . 3 (2↑34) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 12565 . . 3 ((2↑34) ∈ ℕ → ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑34) − 1) ∈ ℕ0
9 8nn0 12547 . . . 4 8 ∈ ℕ0
10 6nn0 12545 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12746 . . 3 86 ∈ ℕ0
12 9nn0 12548 . . 3 9 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12746 . 2 869 ∈ ℕ0
14 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
15 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 2nn0 12541 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 12746 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
18 5nn0 12544 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12746 . . . 4 125 ∈ ℕ0
20 9nn 12362 . . . 4 9 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 12751 . . 3 1259 ∈ ℕ
2214, 21eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23141259lem2 17166 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
24 6p1e7 12412 . . . . 5 (6 + 1) = 7
25 eqid 2735 . . . . 5 86 = 86
269, 10, 24, 25decsuc 12762 . . . 4 (86 + 1) = 87
27 eqid 2735 . . . 4 869 = 869
2811, 26, 27decsucc 12772 . . 3 (869 + 1) = 870
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 17106 . 2 (((2↑34) − 1) mod 𝑁) = (869 mod 𝑁)
302, 12deccl 12746 . . . 4 39 ∈ ℕ0
31 0nn0 12539 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12746 . . 3 390 ∈ ℕ0
339, 12deccl 12746 . . . 4 89 ∈ ℕ0
3416, 15deccl 12746 . . . . . 6 21 ∈ ℕ0
3515, 2deccl 12746 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
3634nn0zi 12640 . . . . . . . . 9 21 ∈ ℤ
3735nn0zi 12640 . . . . . . . . 9 13 ∈ ℤ
38 gcdcom 16547 . . . . . . . . 9 ((21 ∈ ℤ ∧ 13 ∈ ℤ) → (21 gcd 13) = (13 gcd 21))
3936, 37, 38mp2an 692 . . . . . . . 8 (21 gcd 13) = (13 gcd 21)
40 3nn 12343 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4115, 40decnncl 12751 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℕ
42 8nn 12359 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
43 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 13 = 13
449dec0h 12753 . . . . . . . . . . 11 8 = 08
45 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4645mulridi 11263 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
4745addlidi 11447 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4846, 47oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
49 1p1e2 12389 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
5048, 49eqtri 2763 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
51 3cn 12345 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
5251mulridi 11263 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
5352oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 1) + 8) = (3 + 8)
54 8cn 12361 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
55 8p3e11 12812 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
5654, 51, 55addcomli 11451 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 8) = 11
5753, 56eqtri 2763 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 1) + 8) = 11
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 12783 . . . . . . . . . 10 ((13 · 1) + 8) = 21
59 1nn 12275 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
60 8lt10 12863 . . . . . . . . . . 11 8 < 10
6159, 2, 9, 60declti 12769 . . . . . . . . . 10 8 < 13
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 16446 . . . . . . . . 9 ¬ 13 ∥ 21
63 13prm 17150 . . . . . . . . . 10 13 ∈ ℙ
64 coprm 16745 . . . . . . . . . 10 ((13 ∈ ℙ ∧ 21 ∈ ℤ) → (¬ 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1))
6563, 36, 64mp2an 692 . . . . . . . . 9 13 ∥ 21 ↔ (13 gcd 21) = 1)
6662, 65mpbi 230 . . . . . . . 8 (13 gcd 21) = 1
6739, 66eqtri 2763 . . . . . . 7 (21 gcd 13) = 1
68 eqid 2735 . . . . . . . 8 21 = 21
69 2cn 12339 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
7069mullidi 11264 . . . . . . . . . 10 (1 · 2) = 2
7145addridi 11446 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
7270, 71oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
73 2p1e3 12406 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
7472, 73eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
7546oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 3) = (1 + 3)
76 3p1e4 12409 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
7751, 45, 76addcomli 11451 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
783dec0h 12753 . . . . . . . . 9 4 = 04
7975, 77, 783eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 3) = 04
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 12784 . . . . . . 7 ((1 · 21) + 13) = 34
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 17107 . . . . . 6 (34 gcd 21) = 1
82 eqid 2735 . . . . . . 7 34 = 34
83 3t2e6 12430 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
8451, 69, 83mulcomli 11268 . . . . . . . . 9 (2 · 3) = 6
8569addridi 11446 . . . . . . . . 9 (2 + 0) = 2
8684, 85oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (2 + 0)) = (6 + 2)
87 6p2e8 12423 . . . . . . . 8 (6 + 2) = 8
8886, 87eqtri 2763 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (2 + 0)) = 8
89 4cn 12349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
90 4t2e8 12432 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
9189, 69, 90mulcomli 11268 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
9291oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
93 8p1e9 12414 . . . . . . . 8 (8 + 1) = 9
9412dec0h 12753 . . . . . . . 8 9 = 09
9592, 93, 943eqtri 2767 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 1) = 09
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 12784 . . . . . 6 ((2 · 34) + 21) = 89
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 17107 . . . . 5 (89 gcd 34) = 1
98 eqid 2735 . . . . . 6 89 = 89
99 4p3e7 12418 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
10089, 51, 99addcomli 11451 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
101100oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((4 · 8) + (3 + 4)) = ((4 · 8) + 7)
102 7nn0 12546 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
103 8t4e32 12848 . . . . . . . . 9 (8 · 4) = 32
10454, 89, 103mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (4 · 8) = 32
105 7cn 12358 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
106 7p2e9 12425 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
107105, 69, 106addcomli 11451 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 12791 . . . . . . 7 ((4 · 8) + 7) = 39
109101, 108eqtri 2763 . . . . . 6 ((4 · 8) + (3 + 4)) = 39
110 9cn 12364 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
111 9t4e36 12855 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
112110, 89, 111mulcomli 11268 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
113 6p4e10 12803 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 12793 . . . . . 6 ((4 · 9) + 4) = 40
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 12784 . . . . 5 ((4 · 89) + 34) = 390
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 17107 . . . 4 (390 gcd 89) = 1
117 eqid 2735 . . . . 5 390 = 390
118 eqid 2735 . . . . . 6 39 = 39
11954addridi 11446 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
120119, 44eqtri 2763 . . . . . 6 (8 + 0) = 08
12169addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
12284, 121oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 2)) = (6 + 2)
123122, 87eqtri 2763 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 2)) = 8
124 9t2e18 12853 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
125110, 69, 124mulcomli 11268 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
126 8p8e16 12817 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 12792 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 12784 . . . . 5 ((2 · 39) + (8 + 0)) = 86
129 2t0e0 12433 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
130129oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 0) + 9) = (0 + 9)
131110addlidi 11447 . . . . . 6 (0 + 9) = 9
132130, 131, 943eqtri 2767 . . . . 5 ((2 · 0) + 9) = 09
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 12784 . . . 4 ((2 · 390) + 89) = 869
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 17107 . . 3 (869 gcd 390) = 1
13530nn0cni 12536 . . . . . . 7 39 ∈ ℂ
136135addridi 11446 . . . . . 6 (39 + 0) = 39
13754mullidi 11264 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
138137, 76oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((1 · 8) + (3 + 1)) = (8 + 4)
139 8p4e12 12813 . . . . . . 7 (8 + 4) = 12
140138, 139eqtri 2763 . . . . . 6 ((1 · 8) + (3 + 1)) = 12
141 6cn 12355 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
142141mullidi 11264 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
143142oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 9) = (6 + 9)
144 9p6e15 12822 . . . . . . . 8 (9 + 6) = 15
145110, 141, 144addcomli 11451 . . . . . . 7 (6 + 9) = 15
146143, 145eqtri 2763 . . . . . 6 ((1 · 6) + 9) = 15
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 12784 . . . . 5 ((1 · 86) + (39 + 0)) = 125
148110mullidi 11264 . . . . . . 7 (1 · 9) = 9
149148oveq1i 7441 . . . . . 6 ((1 · 9) + 0) = (9 + 0)
150110addridi 11446 . . . . . 6 (9 + 0) = 9
151149, 150, 943eqtri 2767 . . . . 5 ((1 · 9) + 0) = 09
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 12784 . . . 4 ((1 · 869) + 390) = 1259
153152, 14eqtr4i 2766 . . 3 ((1 · 869) + 390) = 𝑁
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 17107 . 2 (𝑁 gcd 869) = 1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 17108 1 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  0cn0 12524  cz 12611  cdc 12731  cexp 14099  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  1259prm  17170
  Copyright terms: Public domain W3C validator