MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fermltl 16663
Description: Fermat's little theorem. When ๐‘ƒ is prime, ๐ดโ†‘๐‘ƒโ‰ก๐ด (mod ๐‘ƒ) for any ๐ด, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
fermltl ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))

Proof of Theorem fermltl
StepHypRef Expression
1 prmnn 16557 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 dvdsmodexp 16151 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
323exp 1120 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))))
41, 1, 3sylc 65 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
54adantr 482 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
6 coprm 16594 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
7 prmz 16558 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8 gcdcom 16400 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘ƒ))
97, 8sylan 581 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘ƒ))
109eqeq1d 2739 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1))
116, 10bitrd 279 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1))
12 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
1313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1413phicld 16651 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
1514nnnn0d 12480 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
16 zexpcl 13989 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
1712, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
1817zred 12614 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
19 1red 11163 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2013nnrpd 12962 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
21 eulerth 16662 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
221, 21syl3an1 1164 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
23 modmul1 13836 . . . . . 6 ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ))
2418, 19, 12, 20, 22, 23syl221anc 1382 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ))
25 phiprm 16656 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
26253ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
2726oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
2827oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
2912zcnd 12615 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30 expm1t 14003 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3129, 13, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3228, 31eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘๐‘ƒ))
3332oveq1d 7377 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ))
3429mulid2d 11180 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
3534oveq1d 7377 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
3624, 33, 353eqtr3d 2785 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
37363expia 1122 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
3811, 37sylbid 239 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
395, 38pm2.61d 179 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  1c1 11059   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  โ„™cprime 16554  ฯ•cphi 16643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645
This theorem is referenced by:  fermltlchr  32194  znfermltl  32195
  Copyright terms: Public domain W3C validator