Theorem fermltl 16967

Description: Fermat's little theorem. When 𝑃 is prime, 𝐴↑𝑃≡𝐴 (mod 𝑃) for any 𝐴, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

Proof of Theorem fermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16855	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		dvdsmodexp 16436	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3	2	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))))
4	1, 1, 3	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
6		coprm 16893	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
7		prmz 16856	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
8		gcdcom 16691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
9	7, 8	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
10	9	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
11	6, 10	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
12		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
13	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	phicld 16955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
16		zexpcl 14223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
18	17	zred 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℝ)
19		1red 11313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 1 ∈ ℝ)
20	13	nnrpd 13166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℝ+)
21		eulerth 16966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
22	1, 21	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
23		modmul1 14071	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
24	18, 19, 12, 20, 22, 23	syl221anc 1408	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
25		phiprm 16960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
27	26	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(𝑃 − 1)))
28	27	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
29	12	zcnd 12808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		expm1t 14237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
31	29, 13, 30	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
32	28, 31	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = (𝐴↑𝑃))
33	32	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃))
34	29	mullidd 11331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
35	34	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((1 · 𝐴) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
36	24, 33, 35	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
37	36	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
38	11, 37	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
39	5, 38	pm2.61d 181	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  1c1 11205   · cmul 11209   − cmin 11545  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℝ⁺crp 13124   mod cmo 14013  ↑cexp 14208   ∥ cdvds 16428   gcd cgcd 16670  ℙcprime 16852  ϕcphi 16947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-phi 16949

This theorem is used by:  fermltlchr  21841  znfermltl  33969