MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fermltl 16721
Description: Fermat's little theorem. When ๐‘ƒ is prime, ๐ดโ†‘๐‘ƒโ‰ก๐ด (mod ๐‘ƒ) for any ๐ด, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
fermltl ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))

Proof of Theorem fermltl
StepHypRef Expression
1 prmnn 16615 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 dvdsmodexp 16209 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
323exp 1119 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))))
41, 1, 3sylc 65 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
54adantr 481 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
6 coprm 16652 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
7 prmz 16616 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8 gcdcom 16458 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘ƒ))
97, 8sylan 580 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘ƒ))
109eqeq1d 2734 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1))
116, 10bitrd 278 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1))
12 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
1313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1413phicld 16709 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
1514nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
16 zexpcl 14046 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
1817zred 12670 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
19 1red 11219 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2013nnrpd 13018 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
21 eulerth 16720 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
221, 21syl3an1 1163 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
23 modmul1 13893 . . . . . 6 ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ))
2418, 19, 12, 20, 22, 23syl221anc 1381 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ))
25 phiprm 16714 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
26253ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
2726oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
2827oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
2912zcnd 12671 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30 expm1t 14060 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3129, 13, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3228, 31eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘๐‘ƒ))
3332oveq1d 7426 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ))
3429mullidd 11236 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
3534oveq1d 7426 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
3624, 33, 353eqtr3d 2780 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
37363expia 1121 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
3811, 37sylbid 239 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
395, 38pm2.61d 179 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612  ฯ•cphi 16701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703
This theorem is referenced by:  fermltlchr  32740  znfermltl  32741
  Copyright terms: Public domain W3C validator