MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fermltl 16717
Description: Fermat's little theorem. When ๐‘ƒ is prime, ๐ดโ†‘๐‘ƒโ‰ก๐ด (mod ๐‘ƒ) for any ๐ด, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
fermltl ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))

Proof of Theorem fermltl
StepHypRef Expression
1 prmnn 16611 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 dvdsmodexp 16205 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
323exp 1120 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))))
41, 1, 3sylc 65 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
54adantr 482 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
6 coprm 16648 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
7 prmz 16612 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8 gcdcom 16454 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘ƒ))
97, 8sylan 581 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘ƒ))
109eqeq1d 2735 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1))
116, 10bitrd 279 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1))
12 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
1313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1413phicld 16705 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
1514nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
16 zexpcl 14042 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
1712, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
1817zred 12666 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
19 1red 11215 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2013nnrpd 13014 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
21 eulerth 16716 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
221, 21syl3an1 1164 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
23 modmul1 13889 . . . . . 6 ((((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ))
2418, 19, 12, 20, 22, 23syl221anc 1382 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ))
25 phiprm 16710 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
26253ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
2726oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
2827oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
2912zcnd 12667 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30 expm1t 14056 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3129, 13, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3228, 31eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘๐‘ƒ))
3332oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ))
3429mullidd 11232 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
3534oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
3624, 33, 353eqtr3d 2781 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
37363expia 1122 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
3811, 37sylbid 239 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
395, 38pm2.61d 179 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  1c1 11111   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027   โˆฅ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  โ„™cprime 16608  ฯ•cphi 16697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699
This theorem is referenced by:  fermltlchr  32478  znfermltl  32479
  Copyright terms: Public domain W3C validator