MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odinv 19579
Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odinv.1 𝑂 = (od‘𝐺)
odinv.2 𝐼 = (invg𝐺)
odinv.3 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) = (𝑂𝐴))

Proof of Theorem odinv
StepHypRef Expression
1 neg1z 12653 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 odinv.3 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odinv.1 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
4 eqid 2737 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
52, 3, 4odmulg 19574 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))))
61, 5mp3an3 1452 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))))
72, 3odcl 19554 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
98nn0zd 12639 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
10 gcdcom 16550 . . . . 5 ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) gcd -1))
111, 9, 10sylancr 587 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) gcd -1))
12 1z 12647 . . . . 5 1 ∈ ℤ
13 gcdneg 16559 . . . . 5 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) gcd -1) = ((𝑂𝐴) gcd 1))
149, 12, 13sylancl 586 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) gcd -1) = ((𝑂𝐴) gcd 1))
15 gcd1 16565 . . . . 5 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → ((𝑂𝐴) gcd 1) = 1)
169, 15syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) gcd 1) = 1)
1711, 14, 163eqtrd 2781 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = 1)
18 odinv.2 . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
192, 4, 18mulgm1 19112 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1(.g𝐺)𝐴) = (𝐼𝐴))
2019fveq2d 6910 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂‘(𝐼𝐴)))
2117, 20oveq12d 7449 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))) = (1 · (𝑂‘(𝐼𝐴))))
222, 18grpinvcl 19005 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
232, 3odcl 19554 . . . . 5 ((𝐼𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 12589 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℂ)
2625mullidd 11279 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (1 · (𝑂‘(𝐼𝐴))) = (𝑂‘(𝐼𝐴)))
276, 21, 263eqtrrd 2782 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) = (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   · cmul 11160  -cneg 11493  0cn0 12526  cz 12613   gcd cgcd 16531  Basecbs 17247  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  .gcmg 19085  odcod 19542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-od 19546
This theorem is referenced by:  torsubg  19872  oddvdssubg  19873
  Copyright terms: Public domain W3C validator