Theorem odinv 19630

Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odinv.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odinv.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odinv.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑂‘𝐴))

Proof of Theorem odinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12629	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		odinv.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odinv.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	odmulg 19625	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))))
6	1, 5	mp3an3 1476	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))))
7	2, 3	odcl 19605	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12615	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
10		gcdcom 16570	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) gcd -1))
11	1, 9, 10	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) gcd -1))
12		1z 12623	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		gcdneg 16579	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) gcd -1) = ((𝑂‘𝐴) gcd 1))
14	9, 12, 13	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) gcd -1) = ((𝑂‘𝐴) gcd 1))
15		gcd1 16585	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑂‘𝐴) gcd 1) = 1)
16	9, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) gcd 1) = 1)
17	11, 14, 16	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)
18		odinv.2	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 4, 18	mulgm1 19159	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1(.g‘𝐺)𝐴) = (𝐼‘𝐴))
20	19	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘(𝐼‘𝐴)))
21	17, 20	oveq12d 7429	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))) = (1 · (𝑂‘(𝐼‘𝐴))))
22	2, 18	grpinvcl 19053	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
23	2, 3	odcl 19605	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12566	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11226	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑂‘(𝐼‘𝐴))) = (𝑂‘(𝐼‘𝐴)))
27	6, 21, 26	3eqtrrd 2809	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑂‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11100   · cmul 11104  -cneg 11441  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590   gcd cgcd 16551  Basecbs 17268  Grpcgrp 18999  inv_gcminusg 19000  ._gcmg 19132  odcod 19593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-od 19597

This theorem is referenced by:  torsubg  19923  oddvdssubg  19924