Theorem odinv 19593

Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odinv.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odinv.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odinv.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑂‘𝐴))

Proof of Theorem odinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12650	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		odinv.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odinv.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	odmulg 19588	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))))
6	1, 5	mp3an3 1449	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))))
7	2, 3	odcl 19568	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12636	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
10		gcdcom 16546	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) gcd -1))
11	1, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) gcd -1))
12		1z 12644	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		gcdneg 16555	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) gcd -1) = ((𝑂‘𝐴) gcd 1))
14	9, 12, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) gcd -1) = ((𝑂‘𝐴) gcd 1))
15		gcd1 16561	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑂‘𝐴) gcd 1) = 1)
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) gcd 1) = 1)
17	11, 14, 16	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)
18		odinv.2	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 4, 18	mulgm1 19124	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1(.g‘𝐺)𝐴) = (𝐼‘𝐴))
20	19	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘(𝐼‘𝐴)))
21	17, 20	oveq12d 7448	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))) = (1 · (𝑂‘(𝐼‘𝐴))))
22	2, 18	grpinvcl 19017	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
23	2, 3	odcl 19568	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12586	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑂‘(𝐼‘𝐴))) = (𝑂‘(𝐼‘𝐴)))
27	6, 21, 26	3eqtrrd 2779	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑂‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153   · cmul 11157  -cneg 11490  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610   gcd cgcd 16527  Basecbs 17244  Grpcgrp 18963  inv_gcminusg 18964  ._gcmg 19097  odcod 19556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-od 19560

This theorem is referenced by:  torsubg  19886  oddvdssubg  19887