Theorem odinv 19527

Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odinv.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odinv.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odinv.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑂‘𝐴))

Proof of Theorem odinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12554	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		odinv.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odinv.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	odmulg 19522	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))))
6	1, 5	mp3an3 1458	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))))
7	2, 3	odcl 19502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12540	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
10		gcdcom 16473	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) gcd -1))
11	1, 9, 10	sylancr 593	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) gcd -1))
12		1z 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		gcdneg 16482	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) gcd -1) = ((𝑂‘𝐴) gcd 1))
14	9, 12, 13	sylancl 592	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) gcd -1) = ((𝑂‘𝐴) gcd 1))
15		gcd1 16488	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑂‘𝐴) gcd 1) = 1)
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) gcd 1) = 1)
17	11, 14, 16	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)
18		odinv.2	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 4, 18	mulgm1 19061	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1(.g‘𝐺)𝐴) = (𝐼‘𝐴))
20	19	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘(𝐼‘𝐴)))
21	17, 20	oveq12d 7374	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))) = (1 · (𝑂‘(𝐼‘𝐴))))
22	2, 18	grpinvcl 18954	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
23	2, 3	odcl 19502	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 12491	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11154	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑂‘(𝐼‘𝐴))) = (𝑂‘(𝐼‘𝐴)))
27	6, 21, 26	3eqtrrd 2779	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑂‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   · cmul 11034  -cneg 11369  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515   gcd cgcd 16454  Basecbs 17170  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  ._gcmg 19034  odcod 19490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-od 19494

This theorem is referenced by:  torsubg  19820  oddvdssubg  19821