Theorem goldbachth 44887

Description: Goldbach's theorem: Two different Fermat numbers are coprime. See ProofWiki "Goldbach's theorem", 31-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Goldbach%27s_Theorem or Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
goldbachth	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12172	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nn0re 12172	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		lttri4 10990	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
5	4	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
6		fmtnonn 44871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
8		fmtnonn 44871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
10		gcdcom 16148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
11	7, 9, 10	syl2anr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
12	11	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
13		goldbachthlem2 44886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)
14	12, 13	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
15	14	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
16	15	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
17	16	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
18		eqneqall 2953	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 ≠ 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
20	19	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
21		goldbachthlem2 44886	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
22	21	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
23	22	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
24	17, 20, 23	3jaod 1426	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
25	5, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   < clt 10940  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249   gcd cgcd 16129  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1lem2  44925