Theorem goldbachth 44999

Description: Goldbach's theorem: Two different Fermat numbers are coprime. See ProofWiki "Goldbach's theorem", 31-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Goldbach%27s_Theorem or Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
goldbachth	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12242	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nn0re 12242	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		lttri4 11059	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
5	4	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
6		fmtnonn 44983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
8		fmtnonn 44983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
10		gcdcom 16220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
11	7, 9, 10	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
12	11	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
13		goldbachthlem2 44998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)
14	12, 13	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
15	14	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
16	15	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
17	16	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
18		eqneqall 2954	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 ≠ 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
20	19	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
21		goldbachthlem2 44998	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
22	21	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
23	22	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
24	17, 20, 23	3jaod 1427	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
25	5, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   < clt 11009  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319   gcd cgcd 16201  FermatNocfmtno 44979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-fmtno 44980

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1lem2  45037