Theorem goldbachth 47472

Description: Goldbach's theorem: Two different Fermat numbers are coprime. See ProofWiki "Goldbach's theorem", 31-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Goldbach%27s_Theorem or Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
goldbachth	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12533	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nn0re 12533	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
3		lttri4 11343	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
5	4	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁))
6		fmtnonn 47456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
8		fmtnonn 47456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
10		gcdcom 16547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
11	7, 9, 10	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
12	11	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
13		goldbachthlem2 47471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)
14	12, 13	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
15	14	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
16	15	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
17	16	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
18		eqneqall 2949	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁 ≠ 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
20	19	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
21		goldbachthlem2 47471	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
22	21	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
23	22	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
24	17, 20, 23	3jaod 1428	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
25	5, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   < clt 11293  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611   gcd cgcd 16528  FermatNocfmtno 47452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-fmtno 47453

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1lem2  47510