Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goldbachth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem goldbachth 43927
 Description: Goldbach's theorem: Two different Fermat numbers are coprime. See ProofWiki "Goldbach's theorem", 31-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Goldbach%27s_Theorem or Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
goldbachth ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)

Proof of Theorem goldbachth
StepHypRef Expression
1 nn0re 11899 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 nn0re 11899 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3 lttri4 10717 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
41, 2, 3syl2an 598 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
543adant3 1129 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
6 fmtnonn 43911 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 12079 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
8 fmtnonn 43911 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℕ)
98nnzd 12079 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ)
10 gcdcom 15856 . . . . . . . . 9 (((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑀) ∈ ℤ) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
117, 9, 10syl2anr 599 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
12113adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)))
13 goldbachthlem2 43926 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑀) gcd (FermatNo‘𝑁)) = 1)
1412, 13eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
15143exp 1116 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)))
1615impcom 411 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
17163adant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → (𝑁 < 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
18 eqneqall 3025 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
1918com12 32 . . . 4 (𝑁𝑀 → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
20193ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
21 goldbachthlem2 43926 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
22213expia 1118 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
23223adant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → (𝑀 < 𝑁 → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
2417, 20, 233jaod 1425 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → ((𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1))
255, 24mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑁𝑀) → ((FermatNo‘𝑁) gcd (FermatNo‘𝑀)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  ℝcr 10528  1c1 10530   < clt 10667  ℕ0cn0 11890  ℤcz 11974   gcd cgcd 15837  FermatNocfmtno 43907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-prod 15256  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-fmtno 43908 This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1lem2  43965
 Copyright terms: Public domain W3C validator