MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 15809
Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 15922, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 11515 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 11509 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 10441 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 11822 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 11821 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 15795 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11763 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 679 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 463 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 11545 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2963 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 479 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 15705 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 11451 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 679 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 679 . . . . 5 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 11474 . . . 4 (3 gcd 2) ≠ 0
1815, 17pm3.2i 463 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19 3nn 11513 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
20 2nn 11507 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2119, 20pm3.2i 463 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 15805 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2322eqcomd 2778 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2421, 23mp1i 13 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25 divmul3 11098 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
2624, 25mpbird 249 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
2726eqcomd 2778 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
283, 8, 18, 27mp3an 1440 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29 gcdcom 15716 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
304, 5, 29mp2an 679 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31 1z 11819 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
32 gcdid 15729 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
34 abs1 14512 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
3533, 34eqtr2i 2797 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
36 gcdadd 15728 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
3731, 31, 36mp2an 679 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38 1p1e2 11566 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3938oveq2i 6981 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4035, 37, 393eqtri 2800 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
41 gcdcom 15716 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4231, 5, 41mp2an 679 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43 gcdadd 15728 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
445, 31, 43mp2an 679 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
4540, 42, 443eqtri 2800 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
46 1p2e3 11584 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
4746oveq2i 6981 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
4845, 47eqtr2i 2797 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
4930, 48eqtri 2796 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5049oveq2i 6981 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51 3t2e6 11607 . . . 4 (3 · 2) = 6
5251oveq1i 6980 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53 6cn 11528 . . . 4 6 ∈ ℂ
5453div1i 11163 . . 3 (6 / 1) = 6
5552, 54eqtri 2796 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
5628, 50, 553eqtri 2800 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10327  0cc0 10329  1c1 10330   + caddc 10332   · cmul 10334   / cdiv 11092  cn 11433  2c2 11489  3c3 11490  6c6 11493  cz 11787  abscabs 14448   gcd cgcd 15697   lcm clcm 15782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-sup 8695  df-inf 8696  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fl 12971  df-mod 13047  df-seq 13179  df-exp 13239  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-dvds 15462  df-gcd 15698  df-lcm 15784
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15841
  Copyright terms: Public domain W3C validator