Theorem 3lcm2e6woprm 16589

Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 16707, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12326	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12320	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11253	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 12628	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 12627	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 16575	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12567	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 690	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 12349	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2931	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 485	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 16480	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12261	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 12285	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	15, 17	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19		3nn 12324	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		2nn 12318	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	19, 20	pm3.2i 469	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16585	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
23	22	eqcomd 2731	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
24	21, 23	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25		divmul3 11910	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
26	24, 25	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
27	26	eqcomd 2731	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
28	3, 8, 18, 27	mp3an 1457	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29		gcdcom 16491	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
30	4, 5, 29	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31		1z 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		gcdid 16505	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
34		abs1 15280	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2754	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
36		gcdadd 16504	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
37	31, 31, 36	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38		1p1e2 12370	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
39	38	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
40	35, 37, 39	3eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
41		gcdcom 16491	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
42	31, 5, 41	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43		gcdadd 16504	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
44	5, 31, 43	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
45	40, 42, 44	3eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
46		1p2e3 12388	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
47	46	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
48	45, 47	eqtr2i 2754	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
49	30, 48	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
50	49	oveq2i 7430	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51		3t2e6 12411	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
52	51	oveq1i 7429	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53		6cn 12336	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	div1i 11975	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
55	52, 54	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
56	28, 50, 55	3eqtri 2757	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   / cdiv 11903  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  6c6 12304  ℤcz 12591  abscabs 15217   gcd cgcd 16472   lcm clcm 16562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-lcm 16564

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16621