Theorem 3lcm2e6woprm 16668

Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 16786, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12317	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12311	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11211	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 12622	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 12621	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 16654	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12562	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 704	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 12342	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2960	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 491	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 16555	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12244	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 12271	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	15, 17	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19		3nn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		2nn 12309	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	19, 20	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16664	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
23	22	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
24	21, 23	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25		divmul3 11872	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
26	24, 25	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
27	26	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
28	3, 8, 18, 27	mp3an 1490	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29		gcdcom 16566	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
30	4, 5, 29	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31		1z 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		gcdid 16580	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
34		abs1 15344	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2787	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
36		gcdadd 16579	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
37	31, 31, 36	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38		1p1e2 12359	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
39	38	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
40	35, 37, 39	3eqtri 2790	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
41		gcdcom 16566	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
42	31, 5, 41	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43		gcdadd 16579	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
44	5, 31, 43	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
45	40, 42, 44	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
46		1p2e3 12378	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
47	46	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
48	45, 47	eqtr2i 2787	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
49	30, 48	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
50	49	oveq2i 7421	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51		3t2e6 12401	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
52	51	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53		6cn 12327	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	div1i 11938	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
55	52, 54	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
56	28, 50, 55	3eqtri 2790	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  6c6 12294  ℤcz 12586  abscabs 15281   gcd cgcd 16547   lcm clcm 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-lcm 16643

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16700