Theorem 3lcm2e6woprm 16683

Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 16801, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12332	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12326	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11226	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 12637	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 12636	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 16669	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12577	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 12357	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2963	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 492	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 16570	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12259	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 12286	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	15, 17	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19		3nn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		2nn 12324	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	19, 20	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16679	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
23	22	eqcomd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
24	21, 23	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25		divmul3 11887	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
26	24, 25	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
27	26	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
28	3, 8, 18, 27	mp3an 1490	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29		gcdcom 16581	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
30	4, 5, 29	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31		1z 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		gcdid 16595	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
34		abs1 15359	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2790	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
36		gcdadd 16594	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
37	31, 31, 36	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38		1p1e2 12374	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
39	38	oveq2i 7427	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
40	35, 37, 39	3eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
41		gcdcom 16581	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
42	31, 5, 41	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43		gcdadd 16594	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
44	5, 31, 43	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
45	40, 42, 44	3eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
46		1p2e3 12393	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
47	46	oveq2i 7427	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
48	45, 47	eqtr2i 2790	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
49	30, 48	eqtri 2789	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
50	49	oveq2i 7427	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51		3t2e6 12416	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
52	51	oveq1i 7426	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53		6cn 12342	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	div1i 11953	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
55	52, 54	eqtri 2789	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
56	28, 50, 55	3eqtri 2793	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   / cdiv 11881  ℕcn 12243  2c2 12305  3c3 12306  6c6 12309  ℤcz 12601  abscabs 15296   gcd cgcd 16562   lcm clcm 16656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-fl 13836  df-mod 13914  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-dvds 16321  df-gcd 16563  df-lcm 16658

This theorem is used by:  lcmf2a3a4e12  16715