Theorem 3lcm2e6woprm 16552

Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 16668, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12293	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12287	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11221	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 12595	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 12594	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 16538	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12534	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 691	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 12316	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2943	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 488	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 16443	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12228	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 12252	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	15, 17	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19		3nn 12291	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		2nn 12285	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	19, 20	pm3.2i 472	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16548	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
23	22	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
24	21, 23	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25		divmul3 11877	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
26	24, 25	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
27	26	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
28	3, 8, 18, 27	mp3an 1462	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29		gcdcom 16454	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
30	4, 5, 29	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31		1z 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		gcdid 16468	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
34		abs1 15244	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2762	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
36		gcdadd 16467	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
37	31, 31, 36	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38		1p1e2 12337	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
39	38	oveq2i 7420	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
40	35, 37, 39	3eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
41		gcdcom 16454	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
42	31, 5, 41	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43		gcdadd 16467	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
44	5, 31, 43	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
45	40, 42, 44	3eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
46		1p2e3 12355	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
47	46	oveq2i 7420	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
48	45, 47	eqtr2i 2762	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
49	30, 48	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
50	49	oveq2i 7420	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51		3t2e6 12378	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
52	51	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53		6cn 12303	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	div1i 11942	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
55	52, 54	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
56	28, 50, 55	3eqtri 2765	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   / cdiv 11871  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  6c6 12271  ℤcz 12558  abscabs 15181   gcd cgcd 16435   lcm clcm 16525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-lcm 16527

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16584