MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 16589
Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 16707, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 12326 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 12320 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 11253 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 12628 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 12627 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 16575 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12567 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 690 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 469 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 12349 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2931 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 485 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 16480 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 12261 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 690 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 690 . . . . 5 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 12285 . . . 4 (3 gcd 2) ≠ 0
1815, 17pm3.2i 469 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19 3nn 12324 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
20 2nn 12318 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2119, 20pm3.2i 469 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 16585 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2322eqcomd 2731 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2421, 23mp1i 13 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25 divmul3 11910 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
2624, 25mpbird 256 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
2726eqcomd 2731 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
283, 8, 18, 27mp3an 1457 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29 gcdcom 16491 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
304, 5, 29mp2an 690 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31 1z 12625 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
32 gcdid 16505 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
34 abs1 15280 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
3533, 34eqtr2i 2754 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
36 gcdadd 16504 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
3731, 31, 36mp2an 690 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38 1p1e2 12370 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3938oveq2i 7430 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4035, 37, 393eqtri 2757 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
41 gcdcom 16491 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4231, 5, 41mp2an 690 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43 gcdadd 16504 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
445, 31, 43mp2an 690 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
4540, 42, 443eqtri 2757 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
46 1p2e3 12388 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
4746oveq2i 7430 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
4845, 47eqtr2i 2754 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
4930, 48eqtri 2753 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5049oveq2i 7430 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51 3t2e6 12411 . . . 4 (3 · 2) = 6
5251oveq1i 7429 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53 6cn 12336 . . . 4 6 ∈ ℂ
5453div1i 11975 . . 3 (6 / 1) = 6
5552, 54eqtri 2753 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
5628, 50, 553eqtri 2757 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  3c3 12301  6c6 12304  cz 12591  abscabs 15217   gcd cgcd 16472   lcm clcm 16562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-lcm 16564
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16621
  Copyright terms: Public domain W3C validator