Theorem 3lcm2e6woprm 16592

Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 16709, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12274	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12268	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11188	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 12573	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 12572	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 16578	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12512	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 12297	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2928	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 16479	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12209	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 12233	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	15, 17	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19		3nn 12272	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
20		2nn 12266	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	19, 20	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16588	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
23	22	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
24	21, 23	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25		divmul3 11849	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
26	24, 25	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
27	26	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
28	3, 8, 18, 27	mp3an 1463	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29		gcdcom 16490	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
30	4, 5, 29	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31		1z 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		gcdid 16504	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
34		abs1 15270	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2754	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
36		gcdadd 16503	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
37	31, 31, 36	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38		1p1e2 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
39	38	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
40	35, 37, 39	3eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
41		gcdcom 16490	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
42	31, 5, 41	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43		gcdadd 16503	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
44	5, 31, 43	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
45	40, 42, 44	3eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
46		1p2e3 12331	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
47	46	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
48	45, 47	eqtr2i 2754	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
49	30, 48	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
50	49	oveq2i 7401	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51		3t2e6 12354	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
52	51	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53		6cn 12284	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	div1i 11917	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
55	52, 54	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
56	28, 50, 55	3eqtri 2757	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  6c6 12252  ℤcz 12536  abscabs 15207   gcd cgcd 16471   lcm clcm 16565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-lcm 16567

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  16624