Theorem vfermltl 16828

Description: Variant of Fermat's little theorem if 𝐴 is not a multiple of 𝑃, see theorem 5.18 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
vfermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem vfermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phiprm 16803	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
2	1	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) = (ϕ‘𝑃))
3	2	3ad2ant1 1145	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) = (ϕ‘𝑃))
4	3	oveq2d 7407	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 1)) = (𝐴↑(ϕ‘𝑃)))
5	4	oveq1d 7406	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃))
6		prmnn 16699	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
8		simp2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		prmz 16700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
10	9	anim1ci 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
11	10	3adant3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
12		gcdcom 16538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
14		coprm 16737	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
15	14	biimp3a 1489	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
16	13, 15	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
17		eulerth 16809	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
18	7, 8, 16, 17	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
19	6	nnred 12219	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
20		prmgt1 16723	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
21	19, 20	jca 519	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
22	21	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
23		1mod 13907	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (1 mod 𝑃) = 1)
25	5, 18, 24	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  1c1 11068   < clt 11210   − cmin 11408  ℕcn 12204  ℤcz 12562   mod cmo 13873  ↑cexp 14068   ∥ cdvds 16277   gcd cgcd 16519  ℙcprime 16696  ϕcphi 16790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-prm 16697  df-phi 16792

This theorem is referenced by:  sfprmdvdsmersenne  48173