Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vfermltl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vfermltl 16193
 Description: Variant of Fermat's little theorem if 𝐴 is not a multiple of 𝑃, see theorem 5.18 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
vfermltl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem vfermltl
StepHypRef Expression
1 phiprm 16169 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
21eqcomd 2764 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) = (ϕ‘𝑃))
323ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) = (ϕ‘𝑃))
43oveq2d 7166 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 1)) = (𝐴↑(ϕ‘𝑃)))
54oveq1d 7165 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃))
6 prmnn 16070 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
763ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
8 simp2 1134 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
9 prmz 16071 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
109anim1ci 618 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
11103adant3 1129 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
12 gcdcom 15912 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
14 coprm 16107 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
1514biimp3a 1466 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
1613, 15eqtrd 2793 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
17 eulerth 16175 . . 3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
187, 8, 16, 17syl3anc 1368 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
196nnred 11689 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
20 prmgt1 16093 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2119, 20jca 515 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
22213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
23 1mod 13320 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
2422, 23syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (1 mod 𝑃) = 1)
255, 18, 243eqtrd 2797 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  1c1 10576   < clt 10713   − cmin 10908  ℕcn 11674  ℤcz 12020   mod cmo 13286  ↑cexp 13479   ∥ cdvds 15655   gcd cgcd 15893  ℙcprime 16067  ϕcphi 16156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-gcd 15894  df-prm 16068  df-phi 16158 This theorem is referenced by:  sfprmdvdsmersenne  44488
 Copyright terms: Public domain W3C validator