Theorem lgsprme0 27465

Description: The Legendre symbol at any prime (even at 2) is 0 iff the prime does not divide the first argument. See definition in [ApostolNT] p. 179. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsprme0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Proof of Theorem lgsprme0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16729	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		lgsne0 27461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
3	1, 2	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
4		coprm 16766	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
5	4	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
6	1	anim1i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
7	6	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
8		gcdcom 16567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
10	9	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
11	5, 10	bitr2d 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
12		prmnn 16728	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13		dvdsval3 16310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
14	12, 13	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
15	14	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
16	15	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
17	3, 11, 16	3bitrd 308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
18	17	necon4abid 3004	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097  ℕcn 12229  ℤcz 12587   mod cmo 13898   ∥ cdvds 16306   gcd cgcd 16548  ℙcprime 16725   /_L clgs 27420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-phi 16821  df-pc 16893  df-lgs 27421

This theorem is referenced by:  lgsqrmodndvds  27479