Theorem lgsprme0 26839

Description: The Legendre symbol at any prime (even at 2) is 0 iff the prime does not divide the first argument. See definition in [ApostolNT] p. 179. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsprme0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Proof of Theorem lgsprme0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16611	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		lgsne0 26835	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
3	1, 2	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
4		coprm 16647	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
5	4	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
6	1	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
7	6	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
8		gcdcom 16453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
10	9	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
11	5, 10	bitr2d 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
12		prmnn 16610	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13		dvdsval3 16200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
14	12, 13	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
15	14	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
16	15	notbid 317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
17	3, 11, 16	3bitrd 304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
18	17	necon4abid 2981	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110  ℕcn 12211  ℤcz 12557   mod cmo 13833   ∥ cdvds 16196   gcd cgcd 16434  ℙcprime 16607   /_L clgs 26794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-phi 16698  df-pc 16769  df-lgs 26795

This theorem is referenced by:  lgsqrmodndvds  26853