MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashimarni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashimarni 14477
Description: If the size of the image of a one-to-one function 𝐸 under the range of a function 𝐹 which is a one-to-one function into the domain of 𝐸 is a nonnegative integer, the size of the function 𝐹 is the same nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashimarni ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))

Proof of Theorem hashimarni
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6916 . . . . . . . 8 (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
21adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
3 hashimarn 14476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹)))
43impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹))
5 id 22 . . . . . . . . . 10 ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁)
64, 5sylan9req 2796 . . . . . . . . 9 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) ∧ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
76ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
92, 8sylbid 240 . . . . . 6 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
109exp31 419 . . . . 5 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
1110com23 86 . . . 4 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
1211com34 91 . . 3 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
13123imp 1110 . 2 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))
1413com12 32 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ..^cfzo 13691  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-hash 14367
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator