Theorem hashimarni 14593

Description: If the size of the image of a one-to-one function 𝐸 under the range of a function 𝐹 which is a one-to-one function into the domain of 𝐸 is a nonnegative integer, the size of the function 𝐹 is the same nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashimarni	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))

Proof of Theorem hashimarni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
2	1	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
3		hashimarn 14592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹)))
4	3	impcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹))
5		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁)
6	4, 5	sylan9req 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
7	6	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
9	2, 8	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
10	9	exp31 425	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
11	10	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
12	11	com34 92	. . 3 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
13	12	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))
14	13	com12 33	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  0cc0 11207  ..^cfzo 13795  ♯chash 14481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-hash 14482

This theorem is used by: (None)