MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashimarni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashimarni 14480
Description: If the size of the image of a one-to-one function 𝐸 under the range of a function 𝐹 which is a one-to-one function into the domain of 𝐸 is a nonnegative integer, the size of the function 𝐹 is the same nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashimarni ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))

Proof of Theorem hashimarni
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6915 . . . . . . . 8 (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
21adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
3 hashimarn 14479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹)))
43impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹))
5 id 22 . . . . . . . . . 10 ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁)
64, 5sylan9req 2798 . . . . . . . . 9 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) ∧ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
76ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
92, 8sylbid 240 . . . . . 6 (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
109exp31 419 . . . . 5 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
1110com23 86 . . . 4 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
1211com34 91 . . 3 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
13123imp 1111 . 2 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))
1413com12 32 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  1-1wf1 6558  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ..^cfzo 13694  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-hash 14370
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator