Theorem hashimarni 14367

Description: If the size of the image of a one-to-one function 𝐸 under the range of a function 𝐹 which is a one-to-one function into the domain of 𝐸 is a nonnegative integer, the size of the function 𝐹 is the same nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashimarni	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))

Proof of Theorem hashimarni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
3		hashimarn 14366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹)))
4	3	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹))
5		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁)
6	4, 5	sylan9req 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
7	6	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
9	2, 8	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
10	9	exp31 419	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
11	10	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
12	11	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
13	12	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))
14	13	com12 32	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626  –1-1→wf1 6483  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  ..^cfzo 13576  ♯chash 14256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-hash 14257

This theorem is referenced by: (None)