Theorem hashimarni 14454

Description: If the size of the image of a one-to-one function 𝐸 under the range of a function 𝐹 which is a one-to-one function into the domain of 𝐸 is a nonnegative integer, the size of the function 𝐹 is the same nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashimarni	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))

Proof of Theorem hashimarni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
2	1	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁))
3		hashimarn 14453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹)))
4	3	impcom 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = (♯‘𝐹))
5		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁)
6	4, 5	sylan9req 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ (♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
7	6	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘(𝐸 “ ran 𝐹)) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
9	2, 8	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹)) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))
10	9	exp31 423	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
11	10	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
12	11	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → (𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) → ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))))
13	12	3imp 1123	. 2 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐹) = 𝑁))
14	13	com12 32	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃 = (𝐸 “ ran 𝐹) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (♯‘𝐹) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  dom cdm 5647  ran crn 5648   “ cima 5650  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-hash 14344

This theorem is referenced by: (None)