Theorem hh0v 28624

Description: The zero vector of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hh0v	⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)

Proof of Theorem hh0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 28621	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		eqid 2793	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
5	3, 4	0vfval 28062	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)))
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0vec‘𝑈) = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈))
7	1	hhva 28622	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
8	7	fveq2i 6533	. 2 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈))
9		hilid 28617	. 2 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
10	6, 8, 9	3eqtr2ri 2824	1 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ⟨cop 4472  ‘cfv 6217  GIdcgi 27946  NrmCVeccnv 28040   +_𝑣 cpv 28041  0_veccn0v 28044   +_ℎ cva 28376   ·_ℎ csm 28377  norm_ℎcno 28379  0_ℎc0v 28380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-hilex 28455  ax-hfvadd 28456  ax-hvcom 28457  ax-hvass 28458  ax-hv0cl 28459  ax-hvaddid 28460  ax-hfvmul 28461  ax-hvmulid 28462  ax-hvmulass 28463  ax-hvdistr1 28464  ax-hvdistr2 28465  ax-hvmul0 28466  ax-hfi 28535  ax-his1 28538  ax-his2 28539  ax-his3 28540  ax-his4 28541

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-grpo 27949  df-gid 27950  df-ablo 28001  df-vc 28015  df-nv 28048  df-va 28051  df-0v 28054  df-hnorm 28424  df-hvsub 28427

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  28724  hh0oi  29359