MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iihalf2 24675
Description: Map the second half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆˆ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 12290 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
2 remulcl 11197 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„)
31, 2mpan 686 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„)
4 1re 11218 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
5 resubcl 11528 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
63, 4, 5sylancl 584 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
763ad2ant1 1131 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
8 subge0 11731 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘‹)))
93, 4, 8sylancl 584 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘‹)))
10 2pos 12319 . . . . . . . 8 0 < 2
111, 10pm3.2i 469 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
12 ledivmul 12094 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘‹)))
134, 11, 12mp3an13 1450 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ ((1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘‹)))
149, 13bitr4d 281 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ†” (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹))
1514biimpar 476 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹) โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))
16153adant3 1130 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1) โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))
17 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
18172timesi 12354 . . . . . . . 8 (2 ยท 1) = (1 + 1)
1918a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท 1) = (1 + 1))
2019breq2d 5159 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โ‰ค (2 ยท 1) โ†” (2 ยท ๐‘‹) โ‰ค (1 + 1)))
21 lemul2 12071 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค 1 โ†” (2 ยท ๐‘‹) โ‰ค (2 ยท 1)))
224, 11, 21mp3an23 1451 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ โ‰ค 1 โ†” (2 ยท ๐‘‹) โ‰ค (2 ยท 1)))
23 lesubadd 11690 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ‰ค 1 โ†” (2 ยท ๐‘‹) โ‰ค (1 + 1)))
244, 4, 23mp3an23 1451 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„ โ†’ (((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ‰ค 1 โ†” (2 ยท ๐‘‹) โ‰ค (1 + 1)))
253, 24syl 17 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ‰ค 1 โ†” (2 ยท ๐‘‹) โ‰ค (1 + 1)))
2620, 22, 253bitr4d 310 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ โ‰ค 1 โ†” ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ‰ค 1))
2726biimpa 475 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ‰ค 1)
28273adant2 1129 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ‰ค 1)
297, 16, 283jca 1126 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1) โ†’ (((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆง ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ‰ค 1))
30 halfre 12430 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
3130, 4elicc2i 13394 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1))
32 elicc01 13447 . 2 (((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆˆ (0[,]1) โ†” (((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆง ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โ‰ค 1))
3329, 31, 323imtr4i 291 1 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) โˆˆ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  24676  iihalf2cnOLD  24677  phtpycc  24737  copco  24765  pcohtpylem  24766  pcopt  24769  pcopt2  24770  pcorevlem  24773
  Copyright terms: Public domain W3C validator