MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iihalf2 23541
Description: Map the second half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 11703 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 remulcl 10615 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 689 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4 1re 10634 . . . . 5 1 ∈ ℝ
5 resubcl 10943 . . . . 5 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
63, 4, 5sylancl 589 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
8 subge0 11146 . . . . . . 7 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
93, 4, 8sylancl 589 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
10 2pos 11732 . . . . . . . 8 0 < 2
111, 10pm3.2i 474 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12 ledivmul 11509 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
134, 11, 12mp3an13 1449 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
149, 13bitr4d 285 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ (1 / 2) ≤ 𝑋))
1514biimpar 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
16153adant3 1129 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
17 ax-1cn 10588 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
18172timesi 11767 . . . . . . . 8 (2 · 1) = (1 + 1)
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 1) = (1 + 1))
2019breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ (2 · 1) ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
21 lemul2 11486 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
224, 11, 21mp3an23 1450 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
23 lesubadd 11105 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
244, 4, 23mp3an23 1450 . . . . . . 7 ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
253, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
2620, 22, 253bitr4d 314 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
2726biimpa 480 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
28273adant2 1128 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
297, 16, 283jca 1125 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
30 halfre 11843 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
3130, 4elicc2i 12795 . 2 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
32 elicc01 12848 . 2 (((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1) ↔ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
3329, 31, 323imtr4i 295 1 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  [,]cicc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11692  df-icc 12737
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  23542  phtpycc  23599  copco  23626  pcohtpylem  23627  pcopt  23630  pcopt2  23631  pcorevlem  23634
  Copyright terms: Public domain W3C validator