Theorem iihalf2 24333

Description: Map the second half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iihalf2	⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12236	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		remulcl 11145	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4		1re 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		resubcl 11474	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
8		subge0 11677	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
9	3, 4, 8	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
10		2pos 12265	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
11	1, 10	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12		ledivmul 12040	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
13	4, 11, 12	mp3an13 1452	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
14	9, 13	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ (1 / 2) ≤ 𝑋))
15	14	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
16	15	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
17		ax-1cn 11118	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	2timesi 12300	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 1) = (1 + 1))
20	19	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ (2 · 1) ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
21		lemul2 12017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
22	4, 11, 21	mp3an23 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
23		lesubadd 11636	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
24	4, 4, 23	mp3an23 1453	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
25	3, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
26	20, 22, 25	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
27	26	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
28	27	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
29	7, 16, 28	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
30		halfre 12376	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
31	30, 4	elicc2i 13340	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
32		elicc01 13393	. 2 ⊢ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1) ↔ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
33	29, 31, 32	3imtr4i 291	1 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394   / cdiv 11821  2c2 12217  [,]cicc 13277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-2 12225  df-icc 13281

This theorem is referenced by:  iihalf2cn  24334  phtpycc  24391  copco  24418  pcohtpylem  24419  pcopt  24422  pcopt2  24423  pcorevlem  24426