Theorem iihalf2 25167

Description: Map the second half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iihalf2	⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12343	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		remulcl 11213	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4		1re 11236	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		resubcl 11550	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
8		subge0 11755	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
9	3, 4, 8	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
10		2pos 12373	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
11	1, 10	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12		ledivmul 12119	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
13	4, 11, 12	mp3an13 1481	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
14	9, 13	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ (1 / 2) ≤ 𝑋))
15	14	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
16	15	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
17		ax-1cn 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	2timesi 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 1) = (1 + 1))
20	19	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ (2 · 1) ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
21		lemul2 12096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
22	4, 11, 21	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
23		lesubadd 11714	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
24	4, 4, 23	mp3an23 1482	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
25	3, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
26	20, 22, 25	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
27	26	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
28	27	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
29	7, 16, 28	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
30		halfre 12485	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
31	30, 4	elicc2i 13469	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
32		elicc01 13523	. 2 ⊢ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1) ↔ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
33	29, 31, 32	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469   / cdiv 11899  2c2 12323  [,]cicc 13405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-icc 13409

This theorem is used by:  iihalf2cn  25168  phtpycc  25225  copco  25252  pcohtpylem  25253  pcopt  25256  pcopt2  25257  pcorevlem  25260