Theorem iihalf2 24975

Description: Map the second half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iihalf2	⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12289	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		remulcl 11155	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 700	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4		1re 11178	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		resubcl 11492	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
8		subge0 11697	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
9	3, 4, 8	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
10		2pos 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
11	1, 10	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12		ledivmul 12065	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
13	4, 11, 12	mp3an13 1472	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
14	9, 13	bitr4d 284	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ (1 / 2) ≤ 𝑋))
15	14	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
16	15	3adant3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
17		ax-1cn 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	2timesi 12352	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 1) = (1 + 1))
20	19	breq2d 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ (2 · 1) ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
21		lemul2 12041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
22	4, 11, 21	mp3an23 1473	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
23		lesubadd 11656	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
24	4, 4, 23	mp3an23 1473	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
25	3, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
26	20, 22, 25	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
27	26	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
28	27	3adant2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
29	7, 16, 28	3jca 1140	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
30		halfre 12431	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
31	30, 4	elicc2i 13413	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
32		elicc01 13467	. 2 ⊢ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1) ↔ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
33	29, 31, 32	3imtr4i 294	1 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411   / cdiv 11841  2c2 12269  [,]cicc 13349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-icc 13353

This theorem is referenced by:  iihalf2cn  24976  phtpycc  25033  copco  25060  pcohtpylem  25061  pcopt  25064  pcopt2  25065  pcorevlem  25068