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Theorem iihalf2 24975
Description: Map the second half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf2 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf2
StepHypRef Expression
1 2re 12338 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 remulcl 11238 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 690 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4 1re 11259 . . . . 5 1 ∈ ℝ
5 resubcl 11571 . . . . 5 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
63, 4, 5sylancl 586 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
8 subge0 11774 . . . . . . 7 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
93, 4, 8sylancl 586 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
10 2pos 12367 . . . . . . . 8 0 < 2
111, 10pm3.2i 470 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12 ledivmul 12142 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
134, 11, 12mp3an13 1451 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
149, 13bitr4d 282 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ (1 / 2) ≤ 𝑋))
1514biimpar 477 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
16153adant3 1131 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
17 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
18172timesi 12402 . . . . . . . 8 (2 · 1) = (1 + 1)
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 1) = (1 + 1))
2019breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ (2 · 1) ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
21 lemul2 12118 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
224, 11, 21mp3an23 1452 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
23 lesubadd 11733 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
244, 4, 23mp3an23 1452 . . . . . . 7 ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
253, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
2620, 22, 253bitr4d 311 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
2726biimpa 476 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
28273adant2 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
297, 16, 283jca 1127 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
30 halfre 12478 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
3130, 4elicc2i 13450 . 2 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
32 elicc01 13503 . 2 (((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1) ↔ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
3329, 31, 323imtr4i 292 1 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-icc 13391
This theorem is referenced by:  iihalf2cn  24976  iihalf2cnOLD  24977  phtpycc  25037  copco  25065  pcohtpylem  25066  pcopt  25069  pcopt2  25070  pcorevlem  25073
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