Theorem iihalf2 23255

Description: Map the second half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iihalf2	⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11512	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		remulcl 10418	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 678	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4		1re 10437	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		resubcl 10749	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 578	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1114	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
8		subge0 10952	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
9	3, 4, 8	sylancl 578	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
10		2pos 11548	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
11	1, 10	pm3.2i 463	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12		ledivmul 11315	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
13	4, 11, 12	mp3an13 1432	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((1 / 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑋)))
14	9, 13	bitr4d 274	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ↔ (1 / 2) ≤ 𝑋))
15	14	biimpar 470	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
16	15	3adant3 1113	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1))
17		ax-1cn 10391	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	2timesi 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 1) = (1 + 1))
20	19	breq2d 4937	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ (2 · 1) ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
21		lemul2 11292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
22	4, 11, 21	mp3an23 1433	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (2 · 1)))
23		lesubadd 10911	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
24	4, 4, 23	mp3an23 1433	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
25	3, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1 ↔ (2 · 𝑋) ≤ (1 + 1)))
26	20, 22, 25	3bitr4d 303	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 1 ↔ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
27	26	biimpa 469	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
28	27	3adant2 1112	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1)
29	7, 16, 28	3jca 1109	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
30		halfre 11659	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
31	30, 4	elicc2i 12616	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
32		elicc01 12668	. 2 ⊢ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1) ↔ (((2 · 𝑋) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑋) − 1) ∧ ((2 · 𝑋) − 1) ≤ 1))
33	29, 31, 32	3imtr4i 284	1 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑋) − 1) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472   ≤ cle 10473   − cmin 10668   / cdiv 11096  2c2 11493  [,]cicc 12555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-2 11501  df-icc 12559

This theorem is referenced by:  iihalf2cn  23256  phtpycc  23313  copco  23340  pcohtpylem  23341  pcopt  23344  pcopt2  23345  pcorevlem  23348