Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inagrud Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inagrud 44251
Description: Inaccessible levels of the cumulative hierarchy are Grothendieck universes. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
inagrud.1 (𝜑𝐼 ∈ Inacc)
Assertion
Ref Expression
inagrud (𝜑 → (𝑅1𝐼) ∈ Univ)

Proof of Theorem inagrud
StepHypRef Expression
1 inagrud.1 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Inacc)
2 inatsk 10809 . . 3 (𝐼 ∈ Inacc → (𝑅1𝐼) ∈ Tarski)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑅1𝐼) ∈ Tarski)
4 r1tr 9807 . 2 Tr (𝑅1𝐼)
5 grutsk1 10852 . 2 (((𝑅1𝐼) ∈ Tarski ∧ Tr (𝑅1𝐼)) → (𝑅1𝐼) ∈ Univ)
63, 4, 5sylancl 585 1 (𝜑 → (𝑅1𝐼) ∈ Univ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2104  Tr wtr 5266  cfv 6558  𝑅1cr1 9793  Inacccina 10714  Tarskictsk 10779  Univcgru 10821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-smo 8379  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-oi 9541  df-har 9588  df-r1 9795  df-rank 9796  df-card 9970  df-aleph 9971  df-cf 9972  df-acn 9973  df-ac 10147  df-wina 10715  df-ina 10716  df-tsk 10780  df-gru 10822
This theorem is referenced by:  gruex  44253
  Copyright terms: Public domain W3C validator