Theorem inagrud 44293

Description: Inaccessible levels of the cumulative hierarchy are Grothendieck universes. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
inagrud.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Inacc)

Assertion

Ref	Expression
inagrud	⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐼) ∈ Univ)

Proof of Theorem inagrud

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inagrud.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Inacc)
2		inatsk 10814	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Inacc → (𝑅1‘𝐼) ∈ Tarski)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐼) ∈ Tarski)
4		r1tr 9812	. 2 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐼)
5		grutsk1 10857	. 2 ⊢ (((𝑅1‘𝐼) ∈ Tarski ∧ Tr (𝑅1‘𝐼)) → (𝑅1‘𝐼) ∈ Univ)
6	3, 4, 5	sylancl 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐼) ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Tr wtr 5257  ‘cfv 6559  𝑅₁cr1 9798  Inacccina 10719  Tarskictsk 10784  Univcgru 10826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-ac2 10499

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-smo 8382  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-oi 9546  df-har 9593  df-r1 9800  df-rank 9801  df-card 9975  df-aleph 9976  df-cf 9977  df-acn 9978  df-ac 10152  df-wina 10720  df-ina 10721  df-tsk 10785  df-gru 10827

This theorem is referenced by:  gruex  44295