Theorem inagrud 43045

Description: Inaccessible levels of the cumulative hierarchy are Grothendieck universes. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
inagrud.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Inacc)

Assertion

Ref	Expression
inagrud	⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐼) ∈ Univ)

Proof of Theorem inagrud

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inagrud.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Inacc)
2		inatsk 10772	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Inacc → (𝑅1‘𝐼) ∈ Tarski)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐼) ∈ Tarski)
4		r1tr 9770	. 2 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐼)
5		grutsk1 10815	. 2 ⊢ (((𝑅1‘𝐼) ∈ Tarski ∧ Tr (𝑅1‘𝐼)) → (𝑅1‘𝐼) ∈ Univ)
6	3, 4, 5	sylancl 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐼) ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Tr wtr 5265  ‘cfv 6543  𝑅₁cr1 9756  Inacccina 10677  Tarskictsk 10742  Univcgru 10784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-smo 8345  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-r1 9758  df-rank 9759  df-card 9933  df-aleph 9934  df-cf 9935  df-acn 9936  df-ac 10110  df-wina 10678  df-ina 10679  df-tsk 10743  df-gru 10785

This theorem is referenced by:  gruex  43047