Theorem indstr 12969

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr.2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 408	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2		nnre 12268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 12268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		lenlt 11316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
5	2, 3, 4	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
6	5	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7		con34b 319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
8	6, 7	bitr4di 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
9	8	ralbidva 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
11	9, 10	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑))
12	11	anim2d 624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ 𝜑 ∧ 𝜑)))
13		ancom 466	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝜑 ∧ 𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
14	12, 13	imbitrdi 254	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
15	1, 14	mtoi 202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	15	nrex 3092	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))
17		indstr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
18	17	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
19	18	nnwos 12968	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
20	16, 19	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21		dfral2 3115	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
22	20, 21	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑
23	22	rspec 3255	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ℝcr 11127   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕcn 12261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892

This theorem is used by:  indstr2  12980  indstrd  43067  unitscyglem3  43071