MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indstr 12305
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr.2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr
StepHypRef Expression
1 pm3.24 403 . . . . . 6 ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2 nnre 11634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 nnre 11634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4 lenlt 10708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
52, 3, 4syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
65imbi2d 342 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7 con34b 317 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 < 𝑥𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
86, 7syl6bbr 290 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
98ralbidva 3201 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
10 indstr.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
119, 10sylbid 241 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦) → 𝜑))
1211anim2d 611 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)) → (¬ 𝜑𝜑)))
13 ancom 461 . . . . . . 7 ((¬ 𝜑𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
1412, 13syl6ib 252 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
151, 14mtoi 200 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)))
1615nrex 3274 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦))
17 indstr.1 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
1817notbid 319 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
1918nnwos 12304 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)))
2016, 19mto 198 . . 3 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21 dfral2 3242 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
2220, 21mpbir 232 . 2 𝑥 ∈ ℕ 𝜑
2322rspec 3212 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144   class class class wbr 5063  cr 10525   < clt 10664  cle 10665  cn 11627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233
This theorem is referenced by:  indstr2  12316
  Copyright terms: Public domain W3C validator