MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indstr 12895
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr.2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr
StepHypRef Expression
1 pm3.24 404 . . . . . 6 ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2 nnre 12214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 nnre 12214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4 lenlt 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
52, 3, 4syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
65imbi2d 341 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7 con34b 316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 < 𝑥𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
86, 7bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
98ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
10 indstr.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
119, 10sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦) → 𝜑))
1211anim2d 613 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)) → (¬ 𝜑𝜑)))
13 ancom 462 . . . . . . 7 ((¬ 𝜑𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
1412, 13syl6ib 251 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
151, 14mtoi 198 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)))
1615nrex 3075 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦))
17 indstr.1 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
1817notbid 318 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
1918nnwos 12894 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)))
2016, 19mto 196 . . 3 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21 dfral2 3100 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
2220, 21mpbir 230 . 2 𝑥 ∈ ℕ 𝜑
2322rspec 3248 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5146  cr 11104   < clt 11243  cle 11244  cn 12207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818
This theorem is referenced by:  indstr2  12906
  Copyright terms: Public domain W3C validator