Theorem indstr 12317

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr.2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 405	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2		nnre 11645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 11645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		lenlt 10719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
5	2, 3, 4	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
6	5	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7		con34b 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
8	6, 7	syl6bbr 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
9	8	ralbidva 3196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
11	9, 10	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑))
12	11	anim2d 613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ 𝜑 ∧ 𝜑)))
13		ancom 463	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝜑 ∧ 𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
14	12, 13	syl6ib 253	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
15	1, 14	mtoi 201	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	15	nrex 3269	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))
17		indstr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
18	17	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
19	18	nnwos 12316	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
20	16, 19	mto 199	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21		dfral2 3237	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
22	20, 21	mpbir 233	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑
23	22	rspec 3207	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ℝcr 10536   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℕcn 11638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245

This theorem is referenced by:  indstr2  12328