Theorem indstr 12956

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr.2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 402	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2		nnre 12271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 12271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		lenlt 11337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
5	2, 3, 4	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
6	5	imbi2d 340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7		con34b 316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
8	6, 7	bitr4di 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
9	8	ralbidva 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
11	9, 10	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑))
12	11	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ 𝜑 ∧ 𝜑)))
13		ancom 460	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝜑 ∧ 𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
14	12, 13	imbitrdi 251	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
15	1, 14	mtoi 199	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	15	nrex 3072	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))
17		indstr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
18	17	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
19	18	nnwos 12955	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
20	16, 19	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21		dfral2 3097	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
22	20, 21	mpbir 231	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑
23	22	rspec 3248	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕcn 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  indstr2  12967  indstrd  42175  unitscyglem3  42179