MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indstr 12899
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr.2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr
StepHypRef Expression
1 pm3.24 402 . . . . . 6 ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2 nnre 12218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 nnre 12218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4 lenlt 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
52, 3, 4syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
65imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7 con34b 316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 < 𝑥𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
86, 7bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
98ralbidva 3167 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
10 indstr.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
119, 10sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦) → 𝜑))
1211anim2d 611 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)) → (¬ 𝜑𝜑)))
13 ancom 460 . . . . . . 7 ((¬ 𝜑𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
1412, 13imbitrdi 250 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
151, 14mtoi 198 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)))
1615nrex 3066 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦))
17 indstr.1 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
1817notbid 318 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
1918nnwos 12898 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)))
2016, 19mto 196 . . 3 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21 dfral2 3091 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
2220, 21mpbir 230 . 2 𝑥 ∈ ℕ 𝜑
2322rspec 3239 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062   class class class wbr 5139  cr 11106   < clt 11247  cle 11248  cn 12211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822
This theorem is referenced by:  indstr2  12910
  Copyright terms: Public domain W3C validator