Theorem indstr 13024

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr.2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 408	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2		nnre 12323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		nnre 12323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		lenlt 11369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
5	2, 3, 4	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
6	5	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7		con34b 319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
8	6, 7	bitr4di 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
9	8	ralbidva 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
11	9, 10	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑))
12	11	anim2d 624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ 𝜑 ∧ 𝜑)))
13		ancom 466	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝜑 ∧ 𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
14	12, 13	imbitrdi 254	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
15	1, 14	mtoi 202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	15	nrex 3091	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))
17		indstr.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
18	17	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
19	18	nnwos 13023	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
20	16, 19	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21		dfral2 3114	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
22	20, 21	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑
23	22	rspec 3254	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ℝcr 11180   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947

This theorem is used by:  indstr2  13035  indstrd  43211  unitscyglem3  43215