Theorem elnn1uz2 13052

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 13049	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2	1	orbi2i 926	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ↔ (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
3		exmidne 2966	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1)
4		ordi 1023	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1)))
5	3, 4	mpbiran2 723	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)) ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
6		1nn 12346	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		pm2.621 912	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		olc 882	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
12	10, 11	impbii 212	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
13	2, 5, 12	3bitrri 301	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  1c1 11201  ℕcn 12335  2c2 12397  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  indstr2  13054  fldiv4lem1div2  13977  relexpaddg  15206  dfphi2  16951  pc2dvds  17057  oddprmdvds  17081  prmreclem3  17096  4sqlem18  17140  vdwlem13  17171  efgs1b  19950  efgredlema  19954  ablfacrplem  20281  ablsimpgprmd  20331  bposlem2  27612  ostthlem1  27954  ostth  27966  psgnfzto1stlem  33661  subfacval3  35954  aks4d1p5  43130  jm2.23  44002  expdioph  44029  relexpaddss  44717  stirlinglem12  47094  nnmul2  48399  ceilhalfnn  48409  fmtnofac1  48654  lighneallem2  48690  ppivalnn  48716  nn0o1gt2ALTV  48791  ztprmneprm  49458  nn0sumshdiglemB  49731