Theorem inelsiga 34679

Description: A sigma-algebra is closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
inelsiga	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem inelsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfin4 4224	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝐵))
2		difelsiga 34678	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
3		difelsiga 34678	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ 𝑆)
4	2, 3	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ 𝑆)
5	1, 4	eqeltrid 2864	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ∪ cuni 4867  ran crn 5656  sigAlgebracsiga 34651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-oi 9489  df-dju 9931  df-card 9969  df-siga 34652

This theorem is used by:  measunl  34760  measinblem  34764  measinb  34765  mbfmco2  34809  sxbrsigalem2  34830  sxbrsiga  34834  sibfinima  34883  sibfof  34884  probdif  34964  totprobd  34970  probmeasb  34974  cndprobin  34978  cndprob01  34979