Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totprobd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem totprobd 31792
 Description: Law of total probability, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
totprobd.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
totprobd.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑃)
totprobd.3 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃)
totprobd.4 (𝜑 𝐵 = dom 𝑃)
totprobd.5 (𝜑𝐵 ≼ ω)
totprobd.6 (𝜑Disj 𝑏𝐵 𝑏)
Assertion
Ref Expression
totprobd (𝜑 → (𝑃𝐴) = Σ*𝑏𝐵(𝑃‘(𝑏𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏

Proof of Theorem totprobd
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totprobd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑃)
2 elssuni 4833 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐴 dom 𝑃)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 dom 𝑃)
4 totprobd.4 . . . . 5 (𝜑 𝐵 = dom 𝑃)
53, 4sseqtrrd 3959 . . . 4 (𝜑𝐴 𝐵)
6 sseqin2 4145 . . . 4 (𝐴 𝐵 ↔ ( 𝐵𝐴) = 𝐴)
75, 6sylib 221 . . 3 (𝜑 → ( 𝐵𝐴) = 𝐴)
87fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (𝑃‘( 𝐵𝐴)) = (𝑃𝐴))
9 totprobd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
10 domprobmeas 31776 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
12 measinb 31588 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴))) ∈ (measures‘dom 𝑃))
1311, 1, 12syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴))) ∈ (measures‘dom 𝑃))
14 totprobd.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃)
15 totprobd.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ≼ ω)
16 totprobd.6 . . . 4 (𝜑Disj 𝑏𝐵 𝑏)
17 measvun 31576 . . . 4 (((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴))) ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏)) → ((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴)))‘ 𝐵) = Σ*𝑏𝐵((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴)))‘𝑏))
1813, 14, 15, 16, 17syl112anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴)))‘ 𝐵) = Σ*𝑏𝐵((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴)))‘𝑏))
19 eqidd 2802 . . . 4 (𝜑 → (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴))) = (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴))))
20 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 = 𝐵) → 𝑐 = 𝐵)
2120ineq1d 4141 . . . . 5 ((𝜑𝑐 = 𝐵) → (𝑐𝐴) = ( 𝐵𝐴))
2221fveq2d 6653 . . . 4 ((𝜑𝑐 = 𝐵) → (𝑃‘(𝑐𝐴)) = (𝑃‘( 𝐵𝐴)))
23 domprobsiga 31777 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
249, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
25 sigaclcu 31484 . . . . 5 ((dom 𝑃 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
2624, 14, 15, 25syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 𝐵 ∈ dom 𝑃)
27 inelsiga 31502 . . . . . 6 ((dom 𝑃 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃𝐴 ∈ dom 𝑃) → ( 𝐵𝐴) ∈ dom 𝑃)
2824, 26, 1, 27syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝐵𝐴) ∈ dom 𝑃)
29 prob01 31779 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ ( 𝐵𝐴) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘( 𝐵𝐴)) ∈ (0[,]1))
309, 28, 29syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑃‘( 𝐵𝐴)) ∈ (0[,]1))
3119, 22, 26, 30fvmptd 6756 . . 3 (𝜑 → ((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴)))‘ 𝐵) = (𝑃‘( 𝐵𝐴)))
32 eqidd 2802 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴))) = (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴))))
33 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑐 = 𝑏) → 𝑐 = 𝑏)
3433ineq1d 4141 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑐 = 𝑏) → (𝑐𝐴) = (𝑏𝐴))
3534fveq2d 6653 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑐 = 𝑏) → (𝑃‘(𝑐𝐴)) = (𝑃‘(𝑏𝐴)))
36 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
3714adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃)
38 elelpwi 4512 . . . . . 6 ((𝑏𝐵𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃) → 𝑏 ∈ dom 𝑃)
3936, 37, 38syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝑃)
409adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑃 ∈ Prob)
4124adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
421adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
43 inelsiga 31502 . . . . . . 7 ((dom 𝑃 ran sigAlgebra ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑃𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑏𝐴) ∈ dom 𝑃)
4441, 39, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑏𝐴) ∈ dom 𝑃)
45 prob01 31779 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑏𝐴) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑏𝐴)) ∈ (0[,]1))
4640, 44, 45syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑃‘(𝑏𝐴)) ∈ (0[,]1))
4732, 35, 39, 46fvmptd 6756 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴)))‘𝑏) = (𝑃‘(𝑏𝐴)))
4847esumeq2dv 31405 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑏𝐵((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘(𝑐𝐴)))‘𝑏) = Σ*𝑏𝐵(𝑃‘(𝑏𝐴)))
4918, 31, 483eqtr3d 2844 . 2 (𝜑 → (𝑃‘( 𝐵𝐴)) = Σ*𝑏𝐵(𝑃‘(𝑏𝐴)))
508, 49eqtr3d 2838 1 (𝜑 → (𝑃𝐴) = Σ*𝑏𝐵(𝑃‘(𝑏𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500  ∪ cuni 4803  Disj wdisj 4998   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564   ≼ cdom 8494  0cc0 10530  1c1 10531  [,]cicc 12733  Σ*cesum 31394  sigAlgebracsiga 31475  measurescmeas 31562  Probcprb 31773 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-ordt 16769  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-abv 19584  df-lmod 19632  df-scaf 19633  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-tsms 22735  df-trg 22768  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nrg 23195  df-nlm 23196  df-ii 23485  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-esum 31395  df-siga 31476  df-meas 31563  df-prob 31774 This theorem is referenced by:  totprob  31793
 Copyright terms: Public domain W3C validator