Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totprobd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem totprobd 33955
Description: Law of total probability, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
totprobd.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
totprobd.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑃)
totprobd.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 dom 𝑃)
totprobd.4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ dom 𝑃)
totprobd.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰Ό Ο‰)
totprobd.6 (πœ‘ β†’ Disj 𝑏 ∈ 𝐡 𝑏)
Assertion
Ref Expression
totprobd (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = Ξ£*𝑏 ∈ 𝐡(π‘ƒβ€˜(𝑏 ∩ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐡,𝑏   𝑃,𝑏   πœ‘,𝑏

Proof of Theorem totprobd
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totprobd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑃)
2 elssuni 4934 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑃 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑃)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑃)
4 totprobd.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ dom 𝑃)
53, 4sseqtrrd 4018 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡)
6 sseqin2 4210 . . . 4 (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡 ↔ (βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴) = 𝐴)
75, 6sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴) = 𝐴)
87fveq2d 6889 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴)) = (π‘ƒβ€˜π΄))
9 totprobd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
10 domprobmeas 33939 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
119, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
12 measinb 33749 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
1311, 1, 12syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
14 totprobd.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 dom 𝑃)
15 totprobd.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰Ό Ο‰)
16 totprobd.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ Disj 𝑏 ∈ 𝐡 𝑏)
17 measvun 33737 . . . 4 (((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃) ∧ 𝐡 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐡 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑏 ∈ 𝐡 𝑏)) β†’ ((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝐡) = Ξ£*𝑏 ∈ 𝐡((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)))β€˜π‘))
1813, 14, 15, 16, 17syl112anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝐡) = Ξ£*𝑏 ∈ 𝐡((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)))β€˜π‘))
19 eqidd 2727 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴))) = (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴))))
20 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑐 = βˆͺ 𝐡)
2120ineq1d 4206 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑐 ∩ 𝐴) = (βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴))
2221fveq2d 6889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = βˆͺ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)) = (π‘ƒβ€˜(βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴)))
23 domprobsiga 33940 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
249, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
25 sigaclcu 33645 . . . . 5 ((dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ 𝐡 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ dom 𝑃)
2624, 14, 15, 25syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ dom 𝑃)
27 inelsiga 33663 . . . . . 6 ((dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝐡 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
2824, 26, 1, 27syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
29 prob01 33942 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴) ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜(βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]1))
309, 28, 29syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]1))
3119, 22, 26, 30fvmptd 6999 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝐡) = (π‘ƒβ€˜(βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴)))
32 eqidd 2727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴))) = (𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴))))
33 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 = 𝑏) β†’ 𝑐 = 𝑏)
3433ineq1d 4206 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 = 𝑏) β†’ (𝑐 ∩ 𝐴) = (𝑏 ∩ 𝐴))
3534fveq2d 6889 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 = 𝑏) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)) = (π‘ƒβ€˜(𝑏 ∩ 𝐴)))
36 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
3714adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 dom 𝑃)
38 elelpwi 4607 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝒫 dom 𝑃) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝑃)
3936, 37, 38syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ dom 𝑃)
409adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
4124adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
421adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑃)
43 inelsiga 33663 . . . . . . 7 ((dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑏 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
4441, 39, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
45 prob01 33942 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑏 ∩ 𝐴) ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑏 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]1))
4640, 44, 45syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑏 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]1))
4732, 35, 39, 46fvmptd 6999 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)))β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜(𝑏 ∩ 𝐴)))
4847esumeq2dv 33566 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑏 ∈ 𝐡((𝑐 ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜(𝑐 ∩ 𝐴)))β€˜π‘) = Ξ£*𝑏 ∈ 𝐡(π‘ƒβ€˜(𝑏 ∩ 𝐴)))
4918, 31, 483eqtr3d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(βˆͺ 𝐡 ∩ 𝐴)) = Ξ£*𝑏 ∈ 𝐡(π‘ƒβ€˜(𝑏 ∩ 𝐴)))
508, 49eqtr3d 2768 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = Ξ£*𝑏 ∈ 𝐡(π‘ƒβ€˜(𝑏 ∩ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  Disj wdisj 5106   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Ο‰com 7852   β‰Ό cdom 8939  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13333  Ξ£*cesum 33555  sigAlgebracsiga 33636  measurescmeas 33723  Probcprb 33936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-plusf 18572  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-abv 20660  df-lmod 20708  df-scaf 20709  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tmd 23931  df-tgp 23932  df-tsms 23986  df-trg 24019  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nrg 24449  df-nlm 24450  df-ii 24752  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-esum 33556  df-siga 33637  df-meas 33724  df-prob 33937
This theorem is referenced by:  totprob  33956
  Copyright terms: Public domain W3C validator