Theorem probdif 33020

Description: The probability of the difference of two event sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probdif	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Proof of Theorem probdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑃‘𝐴)
3		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
4		domprobsiga 33011	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		inelsiga 32734	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
6	4, 5	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
7		difelsiga 32732	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
8	4, 7	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
9		inindif 31443	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
10		probun 33019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅ → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
11	9, 10	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
12	3, 6, 8, 11	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
13	2, 12	eqtr3id 2790	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
14	13	oveq1d 7372	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
15		unitsscn 13417	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
16		prob01 33013	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
17	3, 6, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
18	15, 17	sselid 3942	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
19		prob01 33013	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
20	3, 8, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
21	15, 20	sselid 3942	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
22	18, 21	pncan2d 11514	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
23	14, 22	eqtr2d 2777	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909  ∅c0 4282  ∪ cuni 4865  dom cdm 5633  ran crn 5634  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   − cmin 11385  [,]cicc 13267  sigAlgebracsiga 32707  Probcprb 33007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tmd 23423  df-tgp 23424  df-tsms 23478  df-trg 23511  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-ii 24240  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-esum 32627  df-siga 32708  df-meas 32795  df-prob 33008

This theorem is referenced by:  probdsb  33022