Theorem probdif 35099

Description: The probability of the difference of two event sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probdif	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Proof of Theorem probdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4434	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	fveq2i 6889	. . . 4 ⊢ (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑃‘𝐴)
3		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
4		domprobsiga 35090	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		inelsiga 34815	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
6	4, 5	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
7		difelsiga 34814	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
8	4, 7	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
9		inindif 4323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
10		probun 35098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅ → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
11	9, 10	mpi 21	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
12	3, 6, 8, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
13	2, 12	eqtr3id 2809	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
14	13	oveq1d 7436	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
15		unitsscn 13635	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
16		prob01 35092	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
17	3, 6, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
18	15, 17	sselid 3906	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
19		prob01 35092	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
20	3, 8, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
21	15, 20	sselid 3906	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
22	18, 21	pncan2d 11675	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
23	14, 22	eqtr2d 2796	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  dom cdm 5650  ran crn 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   − cmin 11545  [,]cicc 13483  sigAlgebracsiga 34787  Probcprb 35086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-ordt 17679  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-ps 18746  df-tsr 18747  df-plusf 18821  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-abv 21072  df-lmod 21143  df-scaf 21144  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-tmd 24397  df-tgp 24398  df-tsms 24452  df-trg 24485  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-nm 24907  df-ngp 24908  df-nrg 24910  df-nlm 24911  df-ii 25204  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-log 26890  df-esum 34707  df-siga 34788  df-meas 34876  df-prob 35087

This theorem is used by:  probdsb  35101