Theorem probdif 35035

Description: The probability of the difference of two event sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probdif	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

Proof of Theorem probdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4435	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	fveq2i 6880	. . . 4 ⊢ (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = (𝑃‘𝐴)
3		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
4		domprobsiga 35026	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		inelsiga 34750	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
6	4, 5	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
7		difelsiga 34749	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
8	4, 7	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃)
9		inindif 4324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
10		probun 35034	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅ → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)))))
11	9, 10	mpi 21	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
12	3, 6, 8, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
13	2, 12	eqtr3id 2810	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) = ((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
14	13	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
15		unitsscn 13612	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
16		prob01 35028	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
17	3, 6, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
18	15, 17	sselid 3929	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
19		prob01 35028	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
20	3, 8, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]1))
21	15, 20	sselid 3929	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℂ)
22	18, 21	pncan2d 11652	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (((𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵))) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)))
23	14, 22	eqtr2d 2797	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝑃‘𝐴) − (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  dom cdm 5651  ran crn 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   − cmin 11522  [,]cicc 13460  sigAlgebracsiga 34722  Probcprb 35022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-ordt 17653  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-ps 18720  df-tsr 18721  df-plusf 18795  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-abv 21046  df-lmod 21117  df-scaf 21118  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-tmd 24371  df-tgp 24372  df-tsms 24426  df-trg 24459  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-nm 24881  df-ngp 24882  df-nrg 24884  df-nlm 24885  df-ii 25178  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-esum 34642  df-siga 34723  df-meas 34811  df-prob 35023

This theorem is used by:  probdsb  35037