Theorem ringinvval 33682

Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvval.p	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ringinvval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvval.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
ringinvval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   1 (𝑦)   ∗ (𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem ringinvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrpbas 20529	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4	1	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
5		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6		ringinvval.p	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
7	5, 6	mgpplusg 20283	. . . . . 6 ⊢ ∗ = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	2, 7	ressplusg 17382	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		ringinvval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
12	1, 2, 11	invrfval 20536	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13	3, 9, 10, 12	grpinvval 19110	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
14	13	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
15		ringinvval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	1, 2, 15	unitgrpid 20532	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
18	17	eqeq2d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
19	18	riotabidva 7393	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
20	19	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
21	14, 20	eqtr4d 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ‘cfv 6537  ℩crio 7373  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  0_gc0g 17530  mulGrpcmgp 20279  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  Unitcui 20502  inv_rcinvr 20534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535

This theorem is used by: (None)