Theorem ringinvval 33209

Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvval.p	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ringinvval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvval.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
ringinvval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   1 (𝑦)   ∗ (𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem ringinvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrpbas 20302	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4	1	fvexi 6842	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6		ringinvval.p	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
7	5, 6	mgpplusg 20064	. . . . . 6 ⊢ ∗ = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	2, 7	ressplusg 17197	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		ringinvval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
12	1, 2, 11	invrfval 20309	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13	3, 9, 10, 12	grpinvval 18895	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
15		ringinvval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	1, 2, 15	unitgrpid 20305	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
18	17	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
19	18	riotabidva 7328	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
21	14, 20	eqtr4d 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ‘cfv 6486  ℩crio 7308  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  +_gcplusg 17163  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345  mulGrpcmgp 20060  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  Unitcui 20275  inv_rcinvr 20307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308

This theorem is referenced by: (None)