Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringinvval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringinvval 32379
Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringinvval.p βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
ringinvval.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
ringinvval.n 𝑁 = (invrβ€˜π‘…)
ringinvval.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringinvval ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑦)   1 (𝑦)   βˆ— (𝑦)   𝑁(𝑦)
Proof of Theorem ringinvval
StepHypRef Expression
1 ringinvval.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
31, 2unitgrpbas 20195 . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
41fvexi 6905 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
6 ringinvval.p . . . . . . 7 βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
75, 6mgpplusg 19990 . . . . . 6 βˆ— = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
82, 7ressplusg 17234 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V β†’ βˆ— = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
94, 8ax-mp 5 . . . 4 βˆ— = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
10 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
11 ringinvval.n . . . . 5 𝑁 = (invrβ€˜π‘…)
121, 2, 11invrfval 20202 . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
133, 9, 10, 12grpinvval 18864 . . 3 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
1413adantl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
15 ringinvval.o . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘…)
161, 2, 15unitgrpid 20198 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
1817eqeq2d 2743 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
1918riotabidva 7384 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
2019adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
2114, 20eqtr4d 2775 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  Ringcrg 20055  Unitcui 20168  invrcinvr 20200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator