Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringinvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvval 30513
Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvval.p = (.r𝑅)
ringinvval.o 1 = (1r𝑅)
ringinvval.n 𝑁 = (invr𝑅)
ringinvval.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringinvval ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem ringinvval
StepHypRef Expression
1 ringinvval.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 eqid 2797 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
31, 2unitgrpbas 19110 . . . 4 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
41fvexi 6559 . . . . 5 𝑈 ∈ V
5 eqid 2797 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6 ringinvval.p . . . . . . 7 = (.r𝑅)
75, 6mgpplusg 18937 . . . . . 6 = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
82, 7ressplusg 16445 . . . . 5 (𝑈 ∈ V → = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
94, 8ax-mp 5 . . . 4 = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10 eqid 2797 . . . 4 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11 ringinvval.n . . . . 5 𝑁 = (invr𝑅)
121, 2, 11invrfval 19117 . . . 4 𝑁 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
133, 9, 10, 12grpinvval 17905 . . 3 (𝑋𝑈 → (𝑁𝑋) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
1413adantl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
15 ringinvval.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
161, 2, 15unitgrpid 19113 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1817eqeq2d 2807 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → ((𝑦 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
1918riotabidva 7000 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = 1 ) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
2019adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = 1 ) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
2114, 20eqtr4d 2836 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  Vcvv 3440  cfv 6232  crio 6983  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  s cress 16317  +gcplusg 16398  .rcmulr 16399  0gc0g 16546  mulGrpcmgp 18933  1rcur 18945  Ringcrg 18991  Unitcui 19083  invrcinvr 19115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator