Theorem ringinvval 31391

Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvval.p	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ringinvval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvval.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
ringinvval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   1 (𝑦)   ∗ (𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem ringinvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrpbas 19823	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4	1	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6		ringinvval.p	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
7	5, 6	mgpplusg 19639	. . . . . 6 ⊢ ∗ = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	2, 7	ressplusg 16926	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		ringinvval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
12	1, 2, 11	invrfval 19830	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13	3, 9, 10, 12	grpinvval 18535	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
15		ringinvval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	1, 2, 15	unitgrpid 19826	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
18	17	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
19	18	riotabidva 7232	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
21	14, 20	eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  Unitcui 19796  inv_rcinvr 19828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829

This theorem is referenced by: (None)