Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringinvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvval 32126
Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringinvval.p βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
ringinvval.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
ringinvval.n 𝑁 = (invrβ€˜π‘…)
ringinvval.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringinvval ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑦)   1 (𝑦)   βˆ— (𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem ringinvval
StepHypRef Expression
1 ringinvval.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
31, 2unitgrpbas 20103 . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
41fvexi 6860 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
6 ringinvval.p . . . . . . 7 βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
75, 6mgpplusg 19908 . . . . . 6 βˆ— = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
82, 7ressplusg 17179 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V β†’ βˆ— = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
94, 8ax-mp 5 . . . 4 βˆ— = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
10 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
11 ringinvval.n . . . . 5 𝑁 = (invrβ€˜π‘…)
121, 2, 11invrfval 20110 . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
133, 9, 10, 12grpinvval 18799 . . 3 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
1413adantl 483 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
15 ringinvval.o . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘…)
161, 2, 15unitgrpid 20106 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
1716adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
1817eqeq2d 2744 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
1918riotabidva 7337 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
2019adantr 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
2114, 20eqtr4d 2776 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ π‘ˆ (𝑦 βˆ— 𝑋) = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  Unitcui 20076  invrcinvr 20108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator