Theorem ringinvval 33185

Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvval.p	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ringinvval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvval.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
ringinvval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   1 (𝑦)   ∗ (𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem ringinvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrpbas 20285	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4	1	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6		ringinvval.p	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
7	5, 6	mgpplusg 20047	. . . . . 6 ⊢ ∗ = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	2, 7	ressplusg 17213	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		ringinvval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
12	1, 2, 11	invrfval 20292	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13	3, 9, 10, 12	grpinvval 18877	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
15		ringinvval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	1, 2, 15	unitgrpid 20288	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
18	17	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
19	18	riotabidva 7329	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
21	14, 20	eqtr4d 2767	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ‘cfv 6486  ℩crio 7309  (class class class)co 7353  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  Unitcui 20258  inv_rcinvr 20290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291

This theorem is referenced by: (None)