Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringinvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvval 31027
 Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvval.p = (.r𝑅)
ringinvval.o 1 = (1r𝑅)
ringinvval.n 𝑁 = (invr𝑅)
ringinvval.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringinvval ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = 1 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem ringinvval
StepHypRef Expression
1 ringinvval.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 eqid 2758 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
31, 2unitgrpbas 19500 . . . 4 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
41fvexi 6677 . . . . 5 𝑈 ∈ V
5 eqid 2758 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6 ringinvval.p . . . . . . 7 = (.r𝑅)
75, 6mgpplusg 19324 . . . . . 6 = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
82, 7ressplusg 16683 . . . . 5 (𝑈 ∈ V → = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
94, 8ax-mp 5 . . . 4 = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10 eqid 2758 . . . 4 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11 ringinvval.n . . . . 5 𝑁 = (invr𝑅)
121, 2, 11invrfval 19507 . . . 4 𝑁 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
133, 9, 10, 12grpinvval 18224 . . 3 (𝑋𝑈 → (𝑁𝑋) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
1413adantl 485 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
15 ringinvval.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
161, 2, 15unitgrpid 19503 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1716adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1817eqeq2d 2769 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → ((𝑦 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
1918riotabidva 7133 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = 1 ) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
2019adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = 1 ) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
2114, 20eqtr4d 2796 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝑈 (𝑦 𝑋) = 1 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ‘cfv 6340  ℩crio 7113  (class class class)co 7156  Basecbs 16554   ↾s cress 16555  +gcplusg 16636  .rcmulr 16637  0gc0g 16784  mulGrpcmgp 19320  1rcur 19332  Ringcrg 19378  Unitcui 19473  invrcinvr 19505 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator