Theorem ringinvval 33323

Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvval.p	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ringinvval.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvval.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
ringinvval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvval	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   1 (𝑦)   ∗ (𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem ringinvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrpbas 20360	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4	1	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
5		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6		ringinvval.p	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
7	5, 6	mgpplusg 20123	. . . . . 6 ⊢ ∗ = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	2, 7	ressplusg 17252	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∗ = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		ringinvval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
12	1, 2, 11	invrfval 20367	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13	3, 9, 10, 12	grpinvval 18954	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
14	13	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
15		ringinvval.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	1, 2, 15	unitgrpid 20363	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
18	17	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ↔ (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
19	18	riotabidva 7339	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
20	19	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
21	14, 20	eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦 ∗ 𝑋) = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ‘cfv 6492  ℩crio 7319  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  mulGrpcmgp 20119  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  Unitcui 20333  inv_rcinvr 20365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366

This theorem is referenced by: (None)