MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitlinv 20107
Description: A unit times its inverse is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitinvcl.2 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
unitinvcl.3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
unitinvcl.4 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitlinv ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem unitlinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
2 eqid 2737 . . . 4 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
31, 2unitgrp 20097 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
41, 2unitgrpbas 20096 . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
51fvexi 6857 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
7 unitinvcl.3 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
86, 7mgpplusg 19901 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
92, 8ressplusg 17172 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
105, 9ax-mp 5 . . . 4 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
11 eqid 2737 . . . 4 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
12 unitinvcl.2 . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
131, 2, 12invrfval 20103 . . . 4 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
144, 10, 11, 13grplinv 18801 . . 3 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
153, 14sylan 581 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
16 unitinvcl.4 . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
171, 2, 16unitgrpid 20099 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
1817adantr 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
1915, 18eqtr4d 2780 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β†Ύs cress 17113  +gcplusg 17134  .rcmulr 17135  0gc0g 17322  Grpcgrp 18749  mulGrpcmgp 19897  1rcur 19914  Ringcrg 19965  Unitcui 20069  invrcinvr 20101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102
This theorem is referenced by:  dvrcan1  20121  rhmunitinv  20185  drnginvrl  20209  subrginv  20241  subrgunit  20243  unitrrg  20766  matinv  22029  matunit  22030  slesolinv  22032  nrginvrcnlem  24058  uc1pmon1p  25519  ornglmullt  32105  kerunit  32117  lincresunit3lem3  46562
  Copyright terms: Public domain W3C validator