Theorem unitlinv 20421

Description: A unit times its inverse is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
unitinvcl.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitinvcl.4	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitlinv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem unitlinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrp 20411	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
4	1, 2	unitgrpbas 20410	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5	1	fvexi 6877	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
6		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		unitinvcl.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	6, 7	mgpplusg 20173	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	2, 8	ressplusg 17303	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12		unitinvcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
13	1, 2, 12	invrfval 20417	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
14	4, 10, 11, 13	grplinv 19014	. . 3 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
15	3, 14	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
16		unitinvcl.4	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 2, 16	unitgrpid 20413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
18	17	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
19	15, 18	eqtr4d 2799	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↾_s cress 17249  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  Grpcgrp 18958  mulGrpcmgp 20169  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  Unitcui 20383  inv_rcinvr 20415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416

This theorem is referenced by:  ringunitnzdiv  20426  dvrcan1  20437  rhmunitinv  20540  subrginv  20617  subrgunit  20619  unitrrg  20732  drnginvrl  20785  ornglmullt  20898  matinv  22717  matunit  22718  slesolinv  22720  nrginvrcnlem  24731  uc1pmon1p  26192  kerunit  33472  dvdsruassoi  33531  lidlunitel  33570  unitmulrprm  33685  ply1unit  33732  lincresunit3lem3  49060