MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitlinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitlinv 20280
Description: A unit times its inverse is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitinvcl.2 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
unitinvcl.3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
unitinvcl.4 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitlinv ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) = 1 )
Proof of Theorem unitlinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
2 eqid 2724 . . . 4 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
31, 2unitgrp 20270 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
41, 2unitgrpbas 20269 . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
51fvexi 6895 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
6 eqid 2724 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
7 unitinvcl.3 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
86, 7mgpplusg 20028 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
92, 8ressplusg 17231 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
105, 9ax-mp 5 . . . 4 Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
11 eqid 2724 . . . 4 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
12 unitinvcl.2 . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
131, 2, 12invrfval 20276 . . . 4 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
144, 10, 11, 13grplinv 18906 . . 3 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
153, 14sylan 579 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
16 unitinvcl.4 . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
171, 2, 16unitgrpid 20272 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
1817adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
1915, 18eqtr4d 2767 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Grpcgrp 18850  mulGrpcmgp 20024  1rcur 20071  Ringcrg 20123  Unitcui 20242  invrcinvr 20274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275
This theorem is referenced by:  ringunitnzdiv  20285  dvrcan1  20296  rhmunitinv  20398  subrginv  20475  subrgunit  20477  drnginvrl  20597  unitrrg  21188  matinv  22489  matunit  22490  slesolinv  22492  nrginvrcnlem  24518  uc1pmon1p  25997  ornglmullt  32852  kerunit  32864  dvdsruassoi  32920  lidlunitel  32972  lincresunit3lem3  47309
  Copyright terms: Public domain W3C validator