MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitlinv 19347
Description: A unit times its inverse is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2 𝐼 = (invr𝑅)
unitinvcl.3 · = (.r𝑅)
unitinvcl.4 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitlinv ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → ((𝐼𝑋) · 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem unitlinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 eqid 2826 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
31, 2unitgrp 19337 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
41, 2unitgrpbas 19336 . . . 4 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
51fvexi 6681 . . . . 5 𝑈 ∈ V
6 eqid 2826 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 unitinvcl.3 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
86, 7mgpplusg 19163 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
92, 8ressplusg 16602 . . . . 5 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
105, 9ax-mp 5 . . . 4 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11 eqid 2826 . . . 4 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12 unitinvcl.2 . . . . 5 𝐼 = (invr𝑅)
131, 2, 12invrfval 19343 . . . 4 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
144, 10, 11, 13grplinv 18082 . . 3 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈) → ((𝐼𝑋) · 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
153, 14sylan 580 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → ((𝐼𝑋) · 𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
16 unitinvcl.4 . . . 4 1 = (1r𝑅)
171, 2, 16unitgrpid 19339 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1817adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1915, 18eqtr4d 2864 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → ((𝐼𝑋) · 𝑋) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  cfv 6352  (class class class)co 7148  s cress 16474  +gcplusg 16555  .rcmulr 16556  0gc0g 16703  Grpcgrp 18033  mulGrpcmgp 19159  1rcur 19171  Ringcrg 19217  Unitcui 19309  invrcinvr 19341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342
This theorem is referenced by:  dvrcan1  19361  drnginvrl  19441  subrginv  19471  subrgunit  19473  unitrrg  19985  matinv  21202  matunit  21203  slesolinv  21205  nrginvrcnlem  23215  uc1pmon1p  24660  ornglmullt  30794  rhmunitinv  30809  kerunit  30810  lincresunit3lem3  44361
  Copyright terms: Public domain W3C validator