MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitinvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitinvcl 20204
Description: The inverse of a unit exists and is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitinvcl.2 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitinvcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem unitinvcl
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . 3 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
31, 2unitgrp 20197 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
41, 2unitgrpbas 20196 . . 3 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
5 unitinvcl.2 . . . 4 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
61, 2, 5invrfval 20203 . . 3 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
74, 6grpinvcl 18872 . 2 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
83, 7sylan 581 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύs cress 17173  Grpcgrp 18819  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  Unitcui 20169  invrcinvr 20201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202
This theorem is referenced by:  ringinvcl  20206  unitdvcl  20219  dvrdir  20226  rdivmuldivd  20227  rhmunitinv  20290  subrgugrp  20338  drnginvrn0  20380  gzrngunit  21011  uc1pmon1p  25669  ig1peu  25689  sum2dchr  26777  dvrcan5  32385  lidlunitel  32541  fldhmf1  40955
  Copyright terms: Public domain W3C validator