Theorem unitrinv 20372

Description: A unit times its inverse is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
unitinvcl.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitinvcl.4	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitrinv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = 1 )

Proof of Theorem unitrinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrp 20361	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
4	1, 2	unitgrpbas 20360	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5	1	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
6		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		unitinvcl.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	6, 7	mgpplusg 20123	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	2, 8	ressplusg 17252	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12		unitinvcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
13	1, 2, 12	invrfval 20367	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
14	4, 10, 11, 13	grprinv 18964	. . 3 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
15	3, 14	sylan 586	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
16		unitinvcl.4	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 2, 16	unitgrpid 20363	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
18	17	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
19	15, 18	eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  mulGrpcmgp 20119  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  Unitcui 20333  inv_rcinvr 20365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366

This theorem is referenced by:  1rinv  20373  0unit  20374  dvrid  20384  subrguss  20566  subrginv  20567  subrgunit  20569  drnginvrr  20736  matunit  22668  slesolinvbi  22671  nminvr  24659  nrginvrcnlem  24681  ply1divalg  26128  dchrn0  27238  dvrcan5  33324  dvdsruasso2  33476  fldhmf1  42576  invginvrid  48859