MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitrinv 19065
Description: A unit times its inverse is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2 𝐼 = (invr𝑅)
unitinvcl.3 · = (.r𝑅)
unitinvcl.4 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitrinv ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋 · (𝐼𝑋)) = 1 )

Proof of Theorem unitrinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 eqid 2777 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
31, 2unitgrp 19054 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
41, 2unitgrpbas 19053 . . . 4 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
51fvexi 6460 . . . . 5 𝑈 ∈ V
6 eqid 2777 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 unitinvcl.3 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
86, 7mgpplusg 18880 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
92, 8ressplusg 16385 . . . . 5 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
105, 9ax-mp 5 . . . 4 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11 eqid 2777 . . . 4 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12 unitinvcl.2 . . . . 5 𝐼 = (invr𝑅)
131, 2, 12invrfval 19060 . . . 4 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
144, 10, 11, 13grprinv 17856 . . 3 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋 · (𝐼𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
153, 14sylan 575 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋 · (𝐼𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
16 unitinvcl.4 . . . 4 1 = (1r𝑅)
171, 2, 16unitgrpid 19056 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1817adantr 474 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
1915, 18eqtr4d 2816 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈) → (𝑋 · (𝐼𝑋)) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  Vcvv 3397  cfv 6135  (class class class)co 6922  s cress 16256  +gcplusg 16338  .rcmulr 16339  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  mulGrpcmgp 18876  1rcur 18888  Ringcrg 18934  Unitcui 19026  invrcinvr 19058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059
This theorem is referenced by:  1rinv  19066  0unit  19067  dvrid  19075  drnginvrr  19159  subrguss  19187  subrginv  19188  subrgunit  19190  matunit  20890  slesolinvbi  20893  nminvr  22881  nrginvrcnlem  22903  ply1divalg  24334  dchrn0  25427  dvrcan5  30355  invginvrid  43145
  Copyright terms: Public domain W3C validator