Theorem unitrinv 19988

Description: A unit times its inverse is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
unitinvcl.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitinvcl.4	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitrinv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = 1 )

Proof of Theorem unitrinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrp 19977	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
4	1, 2	unitgrpbas 19976	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5	1	fvexi 6825	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		unitinvcl.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	6, 7	mgpplusg 19792	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	2, 8	ressplusg 17070	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12		unitinvcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
13	1, 2, 12	invrfval 19983	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
14	4, 10, 11, 13	grprinv 18698	. . 3 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
15	3, 14	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
16		unitinvcl.4	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 2, 16	unitgrpid 19979	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
18	17	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
19	15, 18	eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315   ↾_s cress 17011  +_gcplusg 17032  ._rcmulr 17033  0_gc0g 17220  Grpcgrp 18646  mulGrpcmgp 19788  1_rcur 19805  Ringcrg 19851  Unitcui 19949  inv_rcinvr 19981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-2nd 7877  df-tpos 8089  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-0g 17222  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-oppr 19930  df-dvdsr 19951  df-unit 19952  df-invr 19982

This theorem is referenced by:  1rinv  19989  0unit  19990  dvrid  19998  drnginvrr  20083  subrguss  20111  subrginv  20112  subrgunit  20114  matunit  21899  slesolinvbi  21902  nminvr  23905  nrginvrcnlem  23927  ply1divalg  25374  dchrn0  26470  dvrcan5  31598  fldhmf1  40303  invginvrid  45955