Theorem invrcn2 24532

Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
invrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrcn2	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Proof of Theorem invrcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		invrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	tdrgunit 24519	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ TopGrp)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
5		mulrcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6	1, 5	mgptopn 20401	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	resstopn 23537	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑈) = (TopOpen‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
8		invrcn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
9	2, 4, 8	invrfval 20652	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10	7, 9	tgpinv 24437	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
11	3, 10	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↾_s cress 17440   ↾_t crest 17623  TopOpenctopn 17624  mulGrpcmgp 20393  Unitcui 20618  inv_rcinvr 20650   Cn ccn 23575  TopGrpctgp 24423  TopDRingctdrg 24509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-tset 17479  df-rest 17625  df-topn 17626  df-minusg 19180  df-mgp 20394  df-invr 20651  df-tgp 24425  df-tdrg 24513

This theorem is used by:  invrcn  24533