MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrcn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem invrcn2 24034
Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
invrcn.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
invrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
invrcn2 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
Proof of Theorem invrcn2
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 invrcn.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2tdrgunit 24021 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ TopGrp)
4 eqid 2726 . . . 4 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
5 mulrcn.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
61, 5mgptopn 20048 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
74, 6resstopn 23040 . . 3 (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
8 invrcn.i . . . 4 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
92, 4, 8invrfval 20288 . . 3 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
107, 9tgpinv 23939 . 2 (((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ TopGrp β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
113, 10syl 17 1 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   β†Ύs cress 17179   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  mulGrpcmgp 20036  Unitcui 20254  invrcinvr 20286   Cn ccn 23078  TopGrpctgp 23925  TopDRingctdrg 24011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-tset 17222  df-rest 17374  df-topn 17375  df-minusg 18864  df-mgp 20037  df-invr 20287  df-tgp 23927  df-tdrg 24015
This theorem is referenced by:  invrcn  24035
  Copyright terms: Public domain W3C validator