Theorem invrcn2 22352

Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
invrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrcn2	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Proof of Theorem invrcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		invrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	tdrgunit 22339	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ TopGrp)
4		eqid 2824	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
5		mulrcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6	1, 5	mgptopn 18851	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	resstopn 21360	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑈) = (TopOpen‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
8		invrcn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
9	2, 4, 8	invrfval 19026	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
10	7, 9	tgpinv 22258	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
11	3, 10	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ↾_s cress 16222   ↾_t crest 16433  TopOpenctopn 16434  mulGrpcmgp 18842  Unitcui 18992  inv_rcinvr 19024   Cn ccn 21398  TopGrpctgp 22244  TopDRingctdrg 22329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-tset 16323  df-rest 16435  df-topn 16436  df-minusg 17779  df-mgp 18843  df-invr 19025  df-tgp 22246  df-tdrg 22333

This theorem is referenced by:  invrcn  22353