MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem1 25543
Description: Lemma for dvfsumrlim 25548. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
dvfsum.z ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
dvfsum.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
dvfsum.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
dvfsum.md (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
dvfsum.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
dvfsum.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvfsum.b1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvfsum.b2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
dvfsum.b3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
dvfsum.c (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
dvfsum.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
dvfsum.l ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ต)
dvfsum.h ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))
dvfsumlem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
dvfsumlem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
dvfsumlem1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
dvfsumlem1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
dvfsumlem1.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
dvfsumlem1.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘Œ) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐ท   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘˜,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ˆ,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘˜)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10 ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
2 ioossre 13385 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡(,)+โˆž) โŠ† โ„
31, 2eqsstri 4017 . . . . . . . . 9 ๐‘† โŠ† โ„
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
53, 4sselid 3981 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
73, 6sselid 3981 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
87flcld 13763 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
9 reflcl 13761 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
11 flle 13764 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘‹)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘‹)
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
1410, 7, 5, 12, 13letrd 11371 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘Œ)
15 flbi 13781 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ†” ((โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))))
1615baibd 541 . . . . . . . 8 (((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค) โˆง (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘Œ) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ†” ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
175, 8, 14, 16syl21anc 837 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ†” ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
1817biimpar 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
1918oveq2d 7425 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
2019oveq1d 7424 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
2118oveq2d 7425 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
2221sumeq1d 15647 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
2322oveq1d 7424 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
2420, 23oveq12d 7427 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
25 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
267adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2726flcld 13763 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
2827peano2zd 12669 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„ค)
2925, 28eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)
30 flid 13773 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) = ๐‘Œ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) = ๐‘Œ)
3231, 25eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
3332oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
3433oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
355recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
3610recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3735, 36subcld 11571 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
38 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„)
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 25541 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4443recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4544ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„‚)
46 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
4746nfel1 2920 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
48 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
4948eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
5047, 49rspc 3601 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
514, 45, 50sylc 65 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5237, 38, 51subdird 11671 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆ’ 1) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
5335, 36, 38subsub4d 11602 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆ’ 1) = (๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
5453oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆ’ 1) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
5551mullidd 11232 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
5655oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
5752, 54, 563eqtr3d 2781 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
5857adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
5934, 58eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
618peano2zd 12669 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„ค)
6260zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
63 peano2rem 11527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
67 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6862, 67, 65lesubaddd 11811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐ท โ†” ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1)))
6966, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐ท)
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
7164, 65, 7, 69, 70letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘‹)
72 peano2zm 12605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
7360, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
74 flge 13770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
757, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
7671, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐‘‹))
7762, 67, 10lesubaddd 11811 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
7876, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
79 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . 12 (((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8281recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8382ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„‚)
84 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
8684, 85eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
8887eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ถ โˆˆ โ„‚))
8988rspccva 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9083, 86, 89syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
91 eqvisset 3492 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ V)
92 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†” ๐‘ฅ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
9392biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆง ๐‘ฅ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘˜)
9493, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆง ๐‘ฅ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
9591, 94csbied 3932 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†’ โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ถ)
9695eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†’ ๐ถ = โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
9780, 90, 96fsumm1 15697 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
98 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
99 pncan 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
10036, 98, 99sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
101100oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
102101sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
103102oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
10497, 103eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
105104adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
10632oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
107106sumeq1d 15647 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))๐ถ)
10825csbeq1d 3898 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
109108oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
110105, 107, 1093eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
111110oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
112 fzfid 13938 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ Fin)
113 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
114113, 85eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
11583, 114, 89syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
116112, 115fsumcl 15679 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆˆ โ„‚)
11740recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
118117ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„‚)
119 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
120119nfel1 2920 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
121 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
122121eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
123120, 122rspc 3601 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
1244, 118, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
125116, 51, 124addsubd 11592 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
126125adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
127111, 126eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
12859, 127oveq12d 7427 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
12937, 51mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
130129adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
13151adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
132116, 124subcld 11571 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
133132adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
134130, 131, 133nppcan3d 11598 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
135128, 134eqtrd 2773 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
136 dvfsumlem1.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
137 peano2re 11387 . . . . . 6 ((โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„)
13810, 137syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„)
1395, 138leloed 11357 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†” (๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆจ ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))))
140136, 139mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆจ ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
14124, 135, 140mpjaodan 958 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
142 ovex 7442 . . 3 (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ V
143 nfcv 2904 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Œ
144 nfcv 2904 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
145 nfcv 2904 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
146144, 145, 46nfov 7439 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
147 nfcv 2904 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ +
148 nfcv 2904 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ
149 nfcv 2904 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ โˆ’
150148, 149, 119nfov 7439 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
151146, 147, 150nfov 7439 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
152 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
153 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
154152, 153oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
155154, 48oveq12d 7427 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
156153oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
157156sumeq1d 15647 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ)
158157, 121oveq12d 7427 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
159155, 158oveq12d 7427 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
160 dvfsum.h . . . 4 ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))
161143, 151, 159, 160fvmptf 7020 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ V) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
1624, 142, 161sylancl 587 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
163129, 124, 116subadd23d 11593 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
164141, 162, 1633eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘Œ) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475  โฆ‹csb 3894   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  ฮฃcsu 15632   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  25544  gg-dvfsumlem2  35183
  Copyright terms: Public domain W3C validator