MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem1 25778
Description: Lemma for dvfsumrlim 25783. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
dvfsum.z ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
dvfsum.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
dvfsum.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
dvfsum.md (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
dvfsum.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
dvfsum.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvfsum.b1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvfsum.b2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
dvfsum.b3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
dvfsum.c (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
dvfsum.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
dvfsum.l ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ต)
dvfsum.h ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))
dvfsumlem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
dvfsumlem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
dvfsumlem1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
dvfsumlem1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
dvfsumlem1.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
dvfsumlem1.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘Œ) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐ท   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘˜,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ˆ,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘˜)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10 ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
2 ioossre 13389 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡(,)+โˆž) โІ โ„
31, 2eqsstri 4015 . . . . . . . . 9 ๐‘† โІ โ„
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
53, 4sselid 3979 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
73, 6sselid 3979 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
87flcld 13767 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
9 reflcl 13765 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
11 flle 13768 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘‹)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘‹)
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
1410, 7, 5, 12, 13letrd 11375 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘Œ)
15 flbi 13785 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ†” ((โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))))
1615baibd 538 . . . . . . . 8 (((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค) โˆง (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ‰ค ๐‘Œ) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ†” ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
175, 8, 14, 16syl21anc 834 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘Œ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ†” ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
1817biimpar 476 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
1918oveq2d 7427 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
2019oveq1d 7426 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
2118oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
2221sumeq1d 15651 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
2322oveq1d 7426 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
2420, 23oveq12d 7429 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
25 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
267adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2726flcld 13767 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
2827peano2zd 12673 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„ค)
2925, 28eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)
30 flid 13777 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) = ๐‘Œ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) = ๐‘Œ)
3231, 25eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
3332oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
3433oveq1d 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
355recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
3610recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
3735, 36subcld 11575 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
38 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โІ โ„)
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 25776 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4443recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4544ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„‚)
46 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
4746nfel1 2917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
48 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
4948eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
5047, 49rspc 3599 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
514, 45, 50sylc 65 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5237, 38, 51subdird 11675 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆ’ 1) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
5335, 36, 38subsub4d 11606 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆ’ 1) = (๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
5453oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆ’ 1) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
5551mullidd 11236 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
5655oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
5752, 54, 563eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
5857adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
5934, 58eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
618peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„ค)
6260zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
63 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
67 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6862, 67, 65lesubaddd 11815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐ท โ†” ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1)))
6966, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐ท)
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
7164, 65, 7, 69, 70letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘‹)
72 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
7360, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
74 flge 13774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
757, 73, 74syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
7671, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐‘‹))
7762, 67, 10lesubaddd 11815 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐‘‹) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
7876, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
79 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . 12 (((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8281recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8382ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„‚)
84 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
8684, 85eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
8887eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ถ โˆˆ โ„‚))
8988rspccva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9083, 86, 89syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
91 eqvisset 3490 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ V)
92 eqeq2 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†” ๐‘ฅ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
9392biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆง ๐‘ฅ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘˜)
9493, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆง ๐‘ฅ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
9591, 94csbied 3930 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†’ โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = ๐ถ)
9695eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†’ ๐ถ = โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
9780, 90, 96fsumm1 15701 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
98 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
99 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
10036, 98, 99sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
101100oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
102101sumeq1d 15651 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
103102oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆ’ 1))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
10497, 103eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
105104adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
10632oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
107106sumeq1d 15651 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))๐ถ)
10825csbeq1d 3896 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
109108oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
110105, 107, 1093eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
111110oveq1d 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
112 fzfid 13942 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ Fin)
113 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
114113, 85eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
11583, 114, 89syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
116112, 115fsumcl 15683 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆˆ โ„‚)
11740recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
118117ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„‚)
119 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
120119nfel1 2917 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
121 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
122121eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
123120, 122rspc 3599 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
1244, 118, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
125116, 51, 124addsubd 11596 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
126125adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
127111, 126eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
12859, 127oveq12d 7429 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
12937, 51mulcld 11238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
130129adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
13151adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
132116, 124subcld 11575 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
133132adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
134130, 131, 133nppcan3d 11602 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
135128, 134eqtrd 2770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)) โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
136 dvfsumlem1.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))
137 peano2re 11391 . . . . . 6 ((โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„)
13810, 137syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆˆ โ„)
1395, 138leloed 11361 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โ†” (๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆจ ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1))))
140136, 139mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ < ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1) โˆจ ๐‘Œ = ((โŒŠโ€˜๐‘‹) + 1)))
14124, 135, 140mpjaodan 955 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
142 ovex 7444 . . 3 (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ V
143 nfcv 2901 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Œ
144 nfcv 2901 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
145 nfcv 2901 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
146144, 145, 46nfov 7441 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
147 nfcv 2901 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ +
148 nfcv 2901 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ
149 nfcv 2901 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ โˆ’
150148, 149, 119nfov 7441 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
151146, 147, 150nfov 7441 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
152 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
153 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
154152, 153oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
155154, 48oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
156153oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
157156sumeq1d 15651 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ)
158157, 121oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
159155, 158oveq12d 7429 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
160 dvfsum.h . . . 4 ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))
161143, 151, 159, 160fvmptf 7018 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ V) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
1624, 142, 161sylancl 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
163129, 124, 116subadd23d 11597 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
164141, 162, 1633eqtr4d 2780 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘Œ) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472  โฆ‹csb 3892   โІ wss 3947   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  (,)cioo 13328  ...cfz 13488  โŒŠcfl 13759  ฮฃcsu 15636   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  25779  gg-dvfsumlem2  35469
  Copyright terms: Public domain W3C validator