Theorem dvfsumlem1 26236

Description: Lemma for dvfsumrlim 26241. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsum.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
dvfsumlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsumlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsumlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsumlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	3, 6	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
8	7	flcld 13849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
9		reflcl 13847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
11		flle 13850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
13		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
14	10, 7, 5, 12, 13	letrd 11382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌)
15		flbi 13867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ ((⌊‘𝑋) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
16	15	baibd 549	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
17	5, 8, 14, 16	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
18	17	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋))
19	18	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − (⌊‘𝑋)))
20	19	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
21	18	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
22	21	sumeq1d 15775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
23	22	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
24	20, 23	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
25		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))
26	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
27	26	flcld 13849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
29	25, 28	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
30		flid 13859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
32	31, 25	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = ((⌊‘𝑋) + 1))
33	32	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
34	33	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
35	5	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
36	10	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
38		1cnd 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
39	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
40		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
42		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
43	39, 40, 41, 42	dvmptrecl 26234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
46		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵
47	46	nfel1 2943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
48		csbeq1a 3868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
49	48	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
50	47, 49	rspc 3571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
51	4, 45, 50	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
52	37, 38, 51	subdird 11686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
53	35, 36, 38	subsub4d 11615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
54	53	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
55	51	mullidd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
56	55	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
58	57	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
59	34, 58	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
60		dvfsum.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
61	8	peano2zd 12719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
62	60	zred 12716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
63		peano2rem 11540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
65		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
66		dvfsum.md	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
67		1red 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
68	62, 67, 65	lesubaddd 11826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝐷 ↔ 𝑀 ≤ (𝐷 + 1)))
69	66, 68	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝐷)
70		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
71	64, 65, 7, 69, 70	letrd 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝑋)
72		peano2zm 12652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
73	60, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
74		flge 13856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
75	7, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
76	71, 75	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋))
77	62, 67, 10	lesubaddd 11826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
78	76, 77	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
79		eluz2 12884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
80	60, 61, 78, 79	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
81		dvfsum.b2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
82	81	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
83	82	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
84		elfzuz 13564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
85		dvfsum.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
86	84, 85	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
87		dvfsum.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
88	87	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
89	88	rspccva 3582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	83, 86, 89	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91		eqvisset 3477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V)
92		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
93	92	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑥 = 𝑘)
94	93, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
95	91, 94	csbied 3890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵 = 𝐶)
96	95	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝐶 = ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵)
97	80, 90, 96	fsumm1 15825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
98		ax-1cn 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
99		pncan 11478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
100	36, 98, 99	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
101	100	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
102	101	sumeq1d 15775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
103	102	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
104	97, 103	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
105	104	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
106	32	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)))
107	106	sumeq1d 15775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶)
108	25	csbeq1d 3858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵)
109	108	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
110	105, 107, 109	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
111	110	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
112		fzfid 14027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
113		elfzuz 13564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
114	113, 85	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
115	83, 114, 89	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
116	112, 115	fsumcl 15807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
117	40	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
118	117	ralrimiva 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
119		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
120	119	nfel1 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
121		csbeq1a 3868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
122	121	eleq1d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
123	120, 122	rspc 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
124	4, 118, 123	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
125	116, 51, 124	addsubd 11605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
126	125	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
127	111, 126	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
128	59, 127	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
129	37, 51	mulcld 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
130	129	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
131	51	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
132	116, 124	subcld 11584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
133	132	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
134	130, 131, 133	nppcan3d 11611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
135	128, 134	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
136		dvfsumlem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
137		peano2re 11398	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
138	10, 137	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
139	5, 138	leloed 11368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1) ↔ (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))))
140	136, 139	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
141	24, 135, 140	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
142		ovex 7452	. . 3 ⊢ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ V
143		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
144		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
145		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
146	144, 145, 46	nfov 7449	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
147		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 +
148		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
149		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 −
150	148, 149, 119	nfov 7449	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
151	146, 147, 150	nfov 7449	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
152		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
153		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
154	152, 153	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
155	154, 48	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
156	153	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
157	156	sumeq1d 15775	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
158	157, 121	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
159	155, 158	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
160		dvfsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
161	143, 151, 159, 160	fvmptf 7015	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ V) → (𝐻‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
162	4, 142, 161	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
163	129, 124, 116	subadd23d 11606	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
164	141, 162, 163	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457  ⦋csb 3854   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  +∞cpnf 11255  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  (,)cioo 13388  ...cfz 13551  ⌊cfl 13841  Σcsu 15761   D cdv 26073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-rest 17497  df-topn 17498  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077

This theorem is used by:  dvfsumlem2  26237