MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem1 24083
Description: Lemma for dvfsumrlim 24088. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsumlem1.6 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12440 . . . . . . . . . 10 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3797 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sseldi 3761 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
87flcld 12810 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
9 reflcl 12808 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
11 flle 12811 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑌)
1410, 7, 5, 12, 13letrd 10450 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌)
15 flbi 12828 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ ((⌊‘𝑋) ≤ 𝑌𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
1615baibd 535 . . . . . . . 8 (((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
175, 8, 14, 16syl21anc 866 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
1817biimpar 469 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋))
1918oveq2d 6860 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − (⌊‘𝑋)))
2019oveq1d 6859 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
2118oveq2d 6860 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
2221sumeq1d 14719 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
2322oveq1d 6859 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
2420, 23oveq12d 6862 . . 3 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
25 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))
267adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
2726flcld 12810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
2827peano2zd 11735 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
2925, 28eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
30 flid 12820 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℤ → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3231, 25eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = ((⌊‘𝑋) + 1))
3332oveq2d 6860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
3433oveq1d 6859 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
355recnd 10324 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3610recnd 10324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 10648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
38 1cnd 10290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 24081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443recnd 10324 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
46 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵
4746nfel1 2922 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
48 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
4948eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
5047, 49rspc 3456 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
514, 45, 50sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
5237, 38, 51subdird 10743 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
5335, 36, 38subsub4d 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
5453oveq1d 6859 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
5551mulid2d 10314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
5655oveq2d 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5752, 54, 563eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5857adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5934, 58eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
618peano2zd 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
6260zred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
63 peano2rem 10604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
67 1red 10296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6862, 67, 65lesubaddd 10880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝐷𝑀 ≤ (𝐷 + 1)))
6966, 68mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝐷)
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷𝑋)
7164, 65, 7, 69, 70letrd 10450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝑋)
72 peano2zm 11670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7360, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
74 flge 12817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
757, 73, 74syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
7671, 75mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋))
7762, 67, 10lesubaddd 10880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
7876, 77mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
79 eluz2 11895 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
8281recnd 10324 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
8382ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
84 elfzuz 12548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
8684, 85syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘𝑍)
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
8887eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
8988rspccva 3461 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
9083, 86, 89syl2an 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91 eqvisset 3364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V)
92 eqeq2 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑥 = 𝑘𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
9392biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑥 = 𝑘)
9493, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
9591, 94csbied 3720 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 = 𝐶)
9695eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝐶 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
9780, 90, 96fsumm1 14768 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
98 ax-1cn 10249 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
99 pncan 10543 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
10036, 98, 99sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
101100oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
102101sumeq1d 14719 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
103102oveq1d 6859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10497, 103eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
105104adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10632oveq2d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)))
107106sumeq1d 14719 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶)
10825csbeq1d 3700 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
109108oveq2d 6860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
110105, 107, 1093eqtr4d 2809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵))
111110oveq1d 6859 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
112 fzfid 12983 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
113 elfzuz 12548 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
114113, 85syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
11583, 114, 89syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
116112, 115fsumcl 14752 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
11740recnd 10324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
118117ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
119 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
120119nfel1 2922 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
121 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
122121eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
123120, 122rspc 3456 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
1244, 118, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
125116, 51, 124addsubd 10669 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
126125adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
127111, 126eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
12859, 127oveq12d 6862 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)))
12937, 51mulcld 10316 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
130129adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
13151adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
132116, 124subcld 10648 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
133132adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
134130, 131, 133nppcan3d 10675 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
135128, 134eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
136 dvfsumlem1.6 . . . 4 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
137 peano2re 10465 . . . . . 6 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13810, 137syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
1395, 138leloed 10436 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1) ↔ (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))))
140136, 139mpbid 223 . . 3 (𝜑 → (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
14124, 135, 140mpjaodan 981 . 2 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
142 ovex 6876 . . 3 (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V
143 nfcv 2907 . . . 4 𝑥𝑌
144 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
145 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥 ·
146144, 145, 46nfov 6874 . . . . 5 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)
147 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥 +
148 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
149 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥
150148, 149, 119nfov 6874 . . . . 5 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
151146, 147, 150nfov 6874 . . . 4 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
152 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
153 fveq2 6377 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
154152, 153oveq12d 6862 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
155154, 48oveq12d 6862 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
156153oveq2d 6860 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
157156sumeq1d 14719 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
158157, 121oveq12d 6862 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
159155, 158oveq12d 6862 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
160 dvfsum.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
161143, 151, 159, 160fvmptf 6492 . . 3 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V) → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
1624, 142, 161sylancl 580 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
163129, 124, 116subadd23d 10670 . 2 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
164141, 162, 1633eqtr4d 2809 1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3693  wss 3734   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  +∞cpnf 10327  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522  cz 11626  cuz 11889  (,)cioo 12380  ...cfz 12536  cfl 12802  Σcsu 14704   D cdv 23921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-clim 14507  df-sum 14705  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-rest 16352  df-topn 16353  df-topgen 16373  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-haus 21402  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-cncf 22963  df-limc 23924  df-dv 23925
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  24084
  Copyright terms: Public domain W3C validator