Theorem dvfsumlem1 25908

Description: Lemma for dvfsumrlim 25914. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsum.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
dvfsumlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsumlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsumlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsumlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem1	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	3, 6	sselid 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
8	7	flcld 13736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
9		reflcl 13734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
11		flle 13737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
13		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
14	10, 7, 5, 12, 13	letrd 11307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌)
15		flbi 13754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ ((⌊‘𝑋) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
16	15	baibd 539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
17	5, 8, 14, 16	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
18	17	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋))
19	18	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − (⌊‘𝑋)))
20	19	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
21	18	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
22	21	sumeq1d 15642	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
23	22	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
24	20, 23	oveq12d 7387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
25		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))
26	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
27	26	flcld 13736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 12617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
29	25, 28	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
30		flid 13746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
32	31, 25	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = ((⌊‘𝑋) + 1))
33	32	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
34	33	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
35	5	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
36	10	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
38		1cnd 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
39	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
40		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
42		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
43	39, 40, 41, 42	dvmptrecl 25906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
46		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵
47	46	nfel1 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
48		csbeq1a 3873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
49	48	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
50	47, 49	rspc 3573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
51	4, 45, 50	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
52	37, 38, 51	subdird 11611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
53	35, 36, 38	subsub4d 11540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
54	53	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
55	51	mullidd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
56	55	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
58	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
59	34, 58	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
60		dvfsum.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
61	8	peano2zd 12617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
62	60	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
63		peano2rem 11465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
65		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
66		dvfsum.md	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
67		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
68	62, 67, 65	lesubaddd 11751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝐷 ↔ 𝑀 ≤ (𝐷 + 1)))
69	66, 68	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝐷)
70		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
71	64, 65, 7, 69, 70	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝑋)
72		peano2zm 12552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
73	60, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
74		flge 13743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
75	7, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
76	71, 75	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋))
77	62, 67, 10	lesubaddd 11751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
78	76, 77	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
79		eluz2 12775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
80	60, 61, 78, 79	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
81		dvfsum.b2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
82	81	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
83	82	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
84		elfzuz 13457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
85		dvfsum.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
86	84, 85	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
87		dvfsum.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
88	87	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
89	88	rspccva 3584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	83, 86, 89	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91		eqvisset 3464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V)
92		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
93	92	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑥 = 𝑘)
94	93, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
95	91, 94	csbied 3895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵 = 𝐶)
96	95	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝐶 = ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵)
97	80, 90, 96	fsumm1 15693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
98		ax-1cn 11102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
99		pncan 11403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
100	36, 98, 99	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
101	100	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
102	101	sumeq1d 15642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
103	102	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
104	97, 103	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
105	104	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
106	32	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)))
107	106	sumeq1d 15642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶)
108	25	csbeq1d 3863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵)
109	108	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥⦌𝐵))
110	105, 107, 109	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
111	110	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
112		fzfid 13914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
113		elfzuz 13457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
114	113, 85	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
115	83, 114, 89	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
116	112, 115	fsumcl 15675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
117	40	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
118	117	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
119		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴
120	119	nfel1 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
121		csbeq1a 3873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
122	121	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
123	120, 122	rspc 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
124	4, 118, 123	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
125	116, 51, 124	addsubd 11530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
126	125	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
127	111, 126	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
128	59, 127	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
129	37, 51	mulcld 11170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
130	129	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
131	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
132	116, 124	subcld 11509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
133	132	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
134	130, 131, 133	nppcan3d 11536	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
135	128, 134	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
136		dvfsumlem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
137		peano2re 11323	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
138	10, 137	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
139	5, 138	leloed 11293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1) ↔ (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))))
140	136, 139	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
141	24, 135, 140	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
142		ovex 7402	. . 3 ⊢ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ V
143		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
144		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
145		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
146	144, 145, 46	nfov 7399	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
147		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 +
148		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
149		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 −
150	148, 149, 119	nfov 7399	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
151	146, 147, 150	nfov 7399	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
152		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
153		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
154	152, 153	oveq12d 7387	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
155	154, 48	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
156	153	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
157	156	sumeq1d 15642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
158	157, 121	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
159	155, 158	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
160		dvfsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
161	143, 151, 159, 160	fvmptf 6971	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ V) → (𝐻‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
162	4, 142, 161	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
163	129, 124, 116	subadd23d 11531	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
164	141, 162, 163	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444  ⦋csb 3859   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  (,)cioo 13282  ...cfz 13444  ⌊cfl 13728  Σcsu 15628   D cdv 25740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17361  df-topn 17362  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744

This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  25909  dvfsumlem2OLD  25910