MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem1 25390
Description: Lemma for dvfsumrlim 25395. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsumlem1.6 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13325 . . . . . . . . . 10 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3978 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sselid 3942 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sselid 3942 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
87flcld 13703 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
9 reflcl 13701 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
11 flle 13704 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑌)
1410, 7, 5, 12, 13letrd 11312 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌)
15 flbi 13721 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ ((⌊‘𝑋) ≤ 𝑌𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
1615baibd 540 . . . . . . . 8 (((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
175, 8, 14, 16syl21anc 836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
1817biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋))
1918oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − (⌊‘𝑋)))
2019oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
2118oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
2221sumeq1d 15586 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
2322oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
2420, 23oveq12d 7375 . . 3 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
25 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))
267adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
2726flcld 13703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
2827peano2zd 12610 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
2925, 28eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
30 flid 13713 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℤ → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3231, 25eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = ((⌊‘𝑋) + 1))
3332oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
3433oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
355recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3610recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 11512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
38 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 25388 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
46 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵
4746nfel1 2923 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
48 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
4948eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
5047, 49rspc 3569 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
514, 45, 50sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
5237, 38, 51subdird 11612 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
5335, 36, 38subsub4d 11543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
5453oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
5551mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
5655oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5752, 54, 563eqtr3d 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5857adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5934, 58eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
618peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
6260zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
63 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
67 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6862, 67, 65lesubaddd 11752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝐷𝑀 ≤ (𝐷 + 1)))
6966, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝐷)
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷𝑋)
7164, 65, 7, 69, 70letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝑋)
72 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7360, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
74 flge 13710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
757, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
7671, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋))
7762, 67, 10lesubaddd 11752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
7876, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
79 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
8281recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
8382ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
84 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
8684, 85eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘𝑍)
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
8887eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
8988rspccva 3580 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
9083, 86, 89syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91 eqvisset 3462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V)
92 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑥 = 𝑘𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
9392biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑥 = 𝑘)
9493, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
9591, 94csbied 3893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 = 𝐶)
9695eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝐶 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
9780, 90, 96fsumm1 15636 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
98 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
99 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
10036, 98, 99sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
101100oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
102101sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
103102oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10497, 103eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
105104adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10632oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)))
107106sumeq1d 15586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶)
10825csbeq1d 3859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
109108oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
110105, 107, 1093eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵))
111110oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
112 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
113 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
114113, 85eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
11583, 114, 89syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
116112, 115fsumcl 15618 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
11740recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
118117ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
119 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
120119nfel1 2923 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
121 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
122121eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
123120, 122rspc 3569 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
1244, 118, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
125116, 51, 124addsubd 11533 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
126125adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
127111, 126eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
12859, 127oveq12d 7375 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)))
12937, 51mulcld 11175 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
130129adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
13151adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
132116, 124subcld 11512 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
133132adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
134130, 131, 133nppcan3d 11539 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
135128, 134eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
136 dvfsumlem1.6 . . . 4 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
137 peano2re 11328 . . . . . 6 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13810, 137syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
1395, 138leloed 11298 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1) ↔ (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))))
140136, 139mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
14124, 135, 140mpjaodan 957 . 2 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
142 ovex 7390 . . 3 (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V
143 nfcv 2907 . . . 4 𝑥𝑌
144 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
145 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥 ·
146144, 145, 46nfov 7387 . . . . 5 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)
147 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥 +
148 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
149 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥
150148, 149, 119nfov 7387 . . . . 5 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
151146, 147, 150nfov 7387 . . . 4 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
152 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
153 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
154152, 153oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
155154, 48oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
156153oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
157156sumeq1d 15586 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
158157, 121oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
159155, 158oveq12d 7375 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
160 dvfsum.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
161143, 151, 159, 160fvmptf 6969 . . 3 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V) → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
1624, 142, 161sylancl 586 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
163129, 124, 116subadd23d 11534 . 2 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
164141, 162, 1633eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  cfl 13695  Σcsu 15570   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  25391
  Copyright terms: Public domain W3C validator