MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem1 26080
Description: Lemma for dvfsumrlim 26086. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsumlem1.6 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13444 . . . . . . . . . 10 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 4029 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sselid 3992 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sselid 3992 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
87flcld 13834 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
9 reflcl 13832 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
11 flle 13835 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑌)
1410, 7, 5, 12, 13letrd 11415 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌)
15 flbi 13852 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ ((⌊‘𝑋) ≤ 𝑌𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
1615baibd 539 . . . . . . . 8 (((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
175, 8, 14, 16syl21anc 838 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
1817biimpar 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋))
1918oveq2d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − (⌊‘𝑋)))
2019oveq1d 7445 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
2118oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
2221sumeq1d 15732 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
2322oveq1d 7445 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
2420, 23oveq12d 7448 . . 3 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
25 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))
267adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
2726flcld 13834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
2827peano2zd 12722 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
2925, 28eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
30 flid 13844 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℤ → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3231, 25eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = ((⌊‘𝑋) + 1))
3332oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
3433oveq1d 7445 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
355recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3610recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 11617 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
38 1cnd 11253 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 26078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
46 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵
4746nfel1 2919 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
48 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
4948eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
5047, 49rspc 3609 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
514, 45, 50sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
5237, 38, 51subdird 11717 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
5335, 36, 38subsub4d 11648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
5453oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
5551mullidd 11276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
5655oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5752, 54, 563eqtr3d 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5857adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5934, 58eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
618peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
6260zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
63 peano2rem 11573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
67 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6862, 67, 65lesubaddd 11857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝐷𝑀 ≤ (𝐷 + 1)))
6966, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝐷)
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷𝑋)
7164, 65, 7, 69, 70letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝑋)
72 peano2zm 12657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7360, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
74 flge 13841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
757, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
7671, 75mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋))
7762, 67, 10lesubaddd 11857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
7876, 77mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
79 eluz2 12881 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
8281recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
8382ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
84 elfzuz 13556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
8684, 85eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘𝑍)
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
8887eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
8988rspccva 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
9083, 86, 89syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91 eqvisset 3497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V)
92 eqeq2 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑥 = 𝑘𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
9392biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑥 = 𝑘)
9493, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
9591, 94csbied 3945 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 = 𝐶)
9695eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝐶 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
9780, 90, 96fsumm1 15783 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
98 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
99 pncan 11511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
10036, 98, 99sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
101100oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
102101sumeq1d 15732 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
103102oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10497, 103eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
105104adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10632oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)))
107106sumeq1d 15732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶)
10825csbeq1d 3911 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
109108oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
110105, 107, 1093eqtr4d 2784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵))
111110oveq1d 7445 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
112 fzfid 14010 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
113 elfzuz 13556 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
114113, 85eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
11583, 114, 89syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
116112, 115fsumcl 15765 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
11740recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
118117ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
119 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
120119nfel1 2919 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
121 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
122121eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
123120, 122rspc 3609 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
1244, 118, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
125116, 51, 124addsubd 11638 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
126125adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
127111, 126eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
12859, 127oveq12d 7448 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)))
12937, 51mulcld 11278 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
130129adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
13151adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
132116, 124subcld 11617 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
133132adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
134130, 131, 133nppcan3d 11644 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
135128, 134eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
136 dvfsumlem1.6 . . . 4 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
137 peano2re 11431 . . . . . 6 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13810, 137syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
1395, 138leloed 11401 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1) ↔ (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))))
140136, 139mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
14124, 135, 140mpjaodan 960 . 2 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
142 ovex 7463 . . 3 (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V
143 nfcv 2902 . . . 4 𝑥𝑌
144 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
145 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥 ·
146144, 145, 46nfov 7460 . . . . 5 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)
147 nfcv 2902 . . . . 5 𝑥 +
148 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
149 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥
150148, 149, 119nfov 7460 . . . . 5 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
151146, 147, 150nfov 7460 . . . 4 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
152 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
153 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
154152, 153oveq12d 7448 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
155154, 48oveq12d 7448 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
156153oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
157156sumeq1d 15732 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
158157, 121oveq12d 7448 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
159155, 158oveq12d 7448 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
160 dvfsum.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
161143, 151, 159, 160fvmptf 7036 . . 3 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V) → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
1624, 142, 161sylancl 586 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
163129, 124, 116subadd23d 11639 . 2 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
164141, 162, 1633eqtr4d 2784 1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  csb 3907  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cz 12610  cuz 12875  (,)cioo 13383  ...cfz 13543  cfl 13826  Σcsu 15718   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082
  Copyright terms: Public domain W3C validator