MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthle2 25492
Description: The intermediate value theorem with weak inequality, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivthle2.9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐴)))
Assertion
Ref Expression
ivthle2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle2
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13473 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2 ivth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ivth.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8 ivth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 < 𝐵)
10 ivth.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12 ivth.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
173, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16ivth2 25490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
18 ssrexv 4053 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
191, 17, 18mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
2019anassrs 467 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
212rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
224rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
232, 4, 8ltled 11409 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
24 lbicc2 13504 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 eqcom 2744 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝑐))
27 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
2827eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐴 → (𝑈 = (𝐹𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹𝐴)))
2926, 28bitrid 283 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝐴)))
3029rspcev 3622 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3125, 30sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐹𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3231adantlr 715 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
33 ivthle2.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐴)))
3433simprd 495 . . . . 5 (𝜑𝑈 ≤ (𝐹𝐴))
35 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
3635eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3714ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3836, 37, 25rspcdva 3623 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
396, 38leloed 11404 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑈 < (𝐹𝐴) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐴))))
4034, 39mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐴) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐴)))
4140adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹𝐴) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐴)))
4220, 32, 41mpjaodan 961 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
43 ubicc2 13505 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4421, 22, 23, 43syl3anc 1373 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45 fveqeq2 6915 . . . 4 (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹𝐵) = 𝑈))
4645rspcev 3622 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐵) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4744, 46sylan 580 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐵) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4833simpld 494 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ 𝑈)
49 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
5049eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
5150, 37, 44rspcdva 3623 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
5251, 6leloed 11404 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹𝐵) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐵) = 𝑈)))
5348, 52mpbid 232 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐵) = 𝑈))
5442, 47, 53mpjaodan 961 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  ivthicc  25493  recosf1o  26577
  Copyright terms: Public domain W3C validator